Filosofia della Matematica #3
Le geometrie non euclidee hanno rimesso in discussioni molti temi.
La mia domanda è:
Se esistono tanti sistemi geometri diversi e incompatibili ha senso continuare a parlare della geometria come scenza dello spazio, e se si, quale modello descrive meglio il reale? E se la geometria non può più essere considerata tale allora la possiamo mettere la geometria - le geometrie - allo stesso piano di un gioco formale?
La mia domanda è:
Se esistono tanti sistemi geometri diversi e incompatibili ha senso continuare a parlare della geometria come scenza dello spazio, e se si, quale modello descrive meglio il reale? E se la geometria non può più essere considerata tale allora la possiamo mettere la geometria - le geometrie - allo stesso piano di un gioco formale?
Risposte
"nato_pigro":
[quote="desko"]
Visto che New York si trova alla latitidine di Napoli io credevo che da Milano saremmo andati subito verso sud, pensando in modo euclideo; ma poi ho visto che abbiamo quasi sfiorato la Groenlandia! Questo perché la Terra è rotonda (ebbene sì, so ti sto sconvolgendo con queste rivelazioni) e quindi la via più corta è un arco di circonferenza massima.
ebbene si: mi hai sconvolto...
rispiegami un po' meglio perchè ora sono curioso 
allora, tu vai da milano a new york, e quesy'ultmo è alla latitudine di napoli, e noi sappiamo che napoli è più a sud di milano. Ora, tu invece sei andato verso nord?
per trovare l'arco più piccolo tra due punti che si trovano su una sfera la mia intuizione mi dice: prendo in esame la circonferenza appartenente alla sfera che abbia per centro il centro della sfera e che passi per i due punti, quindi l'arco più breve sarà quell'arco della circonferenza delimitato dai due punti. è sbagliato? [/quote]
No, tutto perfetto.
allora, considera il piano passante per il centro della Terra, Milano e New York e ti accorgerai che l'intersezione fra questo piano e la superficie dela Terra, spostandosi verso ovest da Milano ve verso Nord e non verso sud.
"nato_pigro":
poi ho un'altra domanda: visto che per andare a new york sei andato verso nord, se volessi andare a napoli, partendo sempre da milano, anche in questo caso andresti verso nord? e se no, che differenza c'è tra la rotta per new york e quella per napoli?
C'è una differenza sostanziale: Napoli e Milano hanno circa la stessa longitudine, quindi la circonferenza massima passante per queste due città è quasi un meridiano.
Per fare delle prove c'è uno strumento bellissimo: GoogleEarth.
In una versione recente hanno introdotto il righello, che ti permette di misurare la distanza fra due punti qualunque della Terra. qui non interessa la distanza, quanto vedere come traccia la distanza minima fra due posti. Prova a misurare la distanz afra Milano e New York: l'effetto che si ottiene non è identico a quello che ricordavo io, ovvero non si passa così vicini alla Groenlandia (o ricordavo male, o Google è approsimativo), ma comunque si nota ugualmente l'andamento verso Nord, passando vicino a Ginevra, Parigi e la costa inglese.
Su Napoli invece non c'è nulla di strano, perché la geometria sferica in regioni piccole abbastanza è approssimabile con quella euclidea.
"desko":
Visto che New York si trova alla latitidine di Napoli io credevo che da Milano saremmo andati subito verso sud, pensando in modo euclideo; ma poi ho visto che abbiamo quasi sfiorato la Groenlandia! Questo perché la Terra è rotonda (ebbene sì, so ti sto sconvolgendo con queste rivelazioni) e quindi la via più corta è un arco di circonferenza massima.
ebbene si: mi hai sconvolto...
rispiegami un po' meglio perchè ora sono curioso allora, tu vai da milano a new york, e quesy'ultmo è alla latitudine di napoli, e noi sappiamo che napoli è più a sud di milano. Ora, tu invece sei andato verso nord?
per trovare l'arco più piccolo tra due punti che si trovano su una sfera la mia intuizione mi dice: prendo in esame la circonferenza appartenente alla sfera che abbia per centro il centro della sfera e che passi per i due punti, quindi l'arco più breve sarà quell'arco della circonferenza delimitato dai due punti. è sbagliato?
poi ho un'altra domanda: visto che per andare a new york sei andato verso nord, se volessi andare a napoli, partendo sempre da milano, anche in questo caso andresti verso nord? e se no, che differenza c'è tra la rotta per new york e quella per napoli?
Asp , prendiamo un sistema di riferimento, due assi ortogonali x y , una retta (y=0) e una cironferenza con centro sull'asse y e tangente all'x, il limite per x che tende ad infinito della retta è 0 , e il limite per r ed x che tendono ad infinito dell'equazione della semicirconferenza ? Dobbiamo distinguere gli ordini di infinito di r ed x, può essere 0, infinito, non esistere.
A questo punto possono coincidere due funzioni che in generale hanno limite diverso per x che tende ad infinito? Non lo so non sono un matematico
A questo punto possono coincidere due funzioni che in generale hanno limite diverso per x che tende ad infinito? Non lo so non sono un matematico
"nnsoxke":
Ma una circonferenza di raggio infinito coincide con una retta?
Per me no, si può dire solo che un segmento e un arco di circonferenza coincidono quando il raggio tende ad infinito.
Cosa sia una circonferenza di raggio infinito non lo so; ma se di una circonferenza teniamo fisso un punto e facciamo tendere il suo centro all'infinito, allora la circonferenza tende ad una retta.
ma siete sicuri di avere idea di come funziona il ragionamento matematico?
Per me, per te.....
Per me, per te.....
Ma una circonferenza di raggio infinito coincide con una retta?
Per me no, si può dire solo che un segmento e un arco di circonferenza coincidono quando il raggio tende ad infinito.
Per me no, si può dire solo che un segmento e un arco di circonferenza coincidono quando il raggio tende ad infinito.
Geometria come scienza dello spazio?
Come definizione secondo me può andar bene a scuola, ma già a livello di università e ancor più di ricerca è una definizione che regge poco.
La geometria è sempre stta una sola per secoli, poi sono nate le altre geometrie, ma in questa diversificazione subito dopo è stata introdotta una nuova riunificazione da Felix Klein nel suo famoso "Programma di Erlangen" del 1872.
Qui si definisce una geometria semplicemente come una coppia formata da un insieme ed un gruppo di trasformazioni interne all'insieme. (ho semplificato molto)
Al variare dell'insieme e del gruppo si trovano geometrie differenti. Cosa c'entra lo spazio in tutto questo?
Quale modello è il più adatto per descrivere il mondo reale?
Ovviamente, questa domanda ha avuto senso porsela soltanto dopo la scoperta (o invenzione? si rimanda all'altro topic) delle geometrie non euclidee. Si cercò di dare una risposta a questa domanda misurando il triangolo avente per vertici le cime di tre montagne distanti in Germania, ma si ottennero risultati troppo vicini a quelli previsti dalla geometria euclidea, per poter dirimere la questione.
Su scala astronomica sembra proprio che la geometria euclidea debba cedere il passo alle altre, visto che si parla di spazio curvo per spiegare la gravità. Ma se si prende una porzione abbastanza piccola di uno spazio non euclideo, ecco che questo sembra euclideo. Piccolo quanto? magari anche la distanza della nostra sonda spaziale più distante può essere troppo piccolo per poter misurare discordanze apprezzabili dalla geometria euclidea.
Ma la geometria sferica ha una sua utilità descrittiva del mondo reale fondamentale. Io me ne sono accorto quando ho compiuto un volo fra Milano e New York: un monitor mostra tutta la rotta e la posizone dell'aereo. Visto che New York si trova alla latitidine di Napoli io credevo che da Milano saremmo andati subito verso sud, pensando in modo euclideo; ma poi ho visto che abbiamo quasi sfiorato la Groenlandia! Questo perché la Terra è rotonda (ebbene sì, so ti sto sconvolgendo con queste rivelazioni) e quindi la via più corta è un arco di circonferenza massima.
Le geometrie sono un gioco formale? direi proprio di sì, ma un gioco estremamente serio.
Come definizione secondo me può andar bene a scuola, ma già a livello di università e ancor più di ricerca è una definizione che regge poco.
La geometria è sempre stta una sola per secoli, poi sono nate le altre geometrie, ma in questa diversificazione subito dopo è stata introdotta una nuova riunificazione da Felix Klein nel suo famoso "Programma di Erlangen" del 1872.
Qui si definisce una geometria semplicemente come una coppia formata da un insieme ed un gruppo di trasformazioni interne all'insieme. (ho semplificato molto)
Al variare dell'insieme e del gruppo si trovano geometrie differenti. Cosa c'entra lo spazio in tutto questo?
Quale modello è il più adatto per descrivere il mondo reale?
Ovviamente, questa domanda ha avuto senso porsela soltanto dopo la scoperta (o invenzione? si rimanda all'altro topic) delle geometrie non euclidee. Si cercò di dare una risposta a questa domanda misurando il triangolo avente per vertici le cime di tre montagne distanti in Germania, ma si ottennero risultati troppo vicini a quelli previsti dalla geometria euclidea, per poter dirimere la questione.
Su scala astronomica sembra proprio che la geometria euclidea debba cedere il passo alle altre, visto che si parla di spazio curvo per spiegare la gravità. Ma se si prende una porzione abbastanza piccola di uno spazio non euclideo, ecco che questo sembra euclideo. Piccolo quanto? magari anche la distanza della nostra sonda spaziale più distante può essere troppo piccolo per poter misurare discordanze apprezzabili dalla geometria euclidea.
Ma la geometria sferica ha una sua utilità descrittiva del mondo reale fondamentale. Io me ne sono accorto quando ho compiuto un volo fra Milano e New York: un monitor mostra tutta la rotta e la posizone dell'aereo. Visto che New York si trova alla latitidine di Napoli io credevo che da Milano saremmo andati subito verso sud, pensando in modo euclideo; ma poi ho visto che abbiamo quasi sfiorato la Groenlandia! Questo perché la Terra è rotonda (ebbene sì, so ti sto sconvolgendo con queste rivelazioni) e quindi la via più corta è un arco di circonferenza massima.
Le geometrie sono un gioco formale? direi proprio di sì, ma un gioco estremamente serio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo