Fattoriali/Prodotti sul continuo
Come sarebbe un prodotto sul continuo? Esiste qualcosa del genere?
Intendo qualcosa che sta al prodotto come gli integrali stanno alla somma.
Per intenderci $#_1^2$ si intende moltiplicare tutti i numeri reali tra 1 e 2.
Chiaramente l'unico modo per non far divergere il prodotto è quello di inserire i numeri dal -1 all'1, 0 escluso.
Sarebbe interessante sapere quanto fa ad esempio $#_{1/2}^{3/2}$...
...un'idea è quella di vederla come il limite del prodotto dei termini di una successione. Cosí proverei prima a fare
$5/10*6/10*7/10*8/10*9/10*10/10*11/10*12/10*13/10*14/10*15/10=0,544864...$ e poi fare intervallini (che in questo caso sono di 1/10) sempre piú piccoli... Al momento mi sembra che $#_{1/2}^{3/2}$ converga... Bisognerà vedere gli altri valori... Ah, e poi non credo che convergerà ad un valore diverso da zero, ma non si sa mai... Mi chiedo: esistono a e b t.c. $#_{a}^{b}$=c!=0$?
grazie dell'attenzione. Ciao.
Intendo qualcosa che sta al prodotto come gli integrali stanno alla somma.
Per intenderci $#_1^2$ si intende moltiplicare tutti i numeri reali tra 1 e 2.
Chiaramente l'unico modo per non far divergere il prodotto è quello di inserire i numeri dal -1 all'1, 0 escluso.
Sarebbe interessante sapere quanto fa ad esempio $#_{1/2}^{3/2}$...
...un'idea è quella di vederla come il limite del prodotto dei termini di una successione. Cosí proverei prima a fare
$5/10*6/10*7/10*8/10*9/10*10/10*11/10*12/10*13/10*14/10*15/10=0,544864...$ e poi fare intervallini (che in questo caso sono di 1/10) sempre piú piccoli... Al momento mi sembra che $#_{1/2}^{3/2}$ converga... Bisognerà vedere gli altri valori... Ah, e poi non credo che convergerà ad un valore diverso da zero, ma non si sa mai... Mi chiedo: esistono a e b t.c. $#_{a}^{b}$=c!=0$?
grazie dell'attenzione. Ciao.
Risposte
Ci sta questo?
A) Se $a+b=2$, come fatto vedere anche da seven, va a zero.
B) Se $a+b!2$, il termine generale della produttoria non tende ad 1, dunque la produttoria non puó arrivare a $c>0$.
A) Se $a+b=2$, come fatto vedere anche da seven, va a zero.
B) Se $a+b!2$, il termine generale della produttoria non tende ad 1, dunque la produttoria non puó arrivare a $c>0$.
Beh, quello ha una definizione ben precisa (basata sull'idea del passaggio al logaritmo) ma non mi sembra abbia corrispondenza con quanto proposto da kobe.
Che ne pensate di questa diavoleria?
(I link esterni a fine pagina rimandano a dispense più corpose.)
(I link esterni a fine pagina rimandano a dispense più corpose.)
Grazie della risposta.
Provo a dare un significato rigoroso:
$#_a^b= lim_{n to +infty} [\prod_{j=1}^n (a+frac{b-a}{2n}*j) *\prod_{k=1}^n (b-frac{b-a}{2n}*k) ]*frac{2}{b-a}$
Ps1: la devo ricontrollare la scrittura, ma mi sembra ok.
Ps2: scusa ma non il concetto di reti, ma ora guarderó il tuo link.
Provo a dare un significato rigoroso:
$#_a^b= lim_{n to +infty} [\prod_{j=1}^n (a+frac{b-a}{2n}*j) *\prod_{k=1}^n (b-frac{b-a}{2n}*k) ]*frac{2}{b-a}$
Ps1: la devo ricontrollare la scrittura, ma mi sembra ok.
Ps2: scusa ma non il concetto di reti, ma ora guarderó il tuo link.
A meno di passare ai logaritmi (in modo da trasformare il tuo "prodotto sul continuo" in una "somma sul continuo), ti puoi ricondurre (ovviamente, solo formalmente) a qualcosa del tipo
\[
\sum_{x\in [a,b]} \log x\,.
\]
Le sommatorie di questo tipo possono essere definite in maniera consistente usando le reti.
Tuttavia, un oggetto del tipo \(\sum_{x\in I} f(x)\) converge nel senso delle reti allora l'insieme \(J:=\{x\in I:\ f(x)\neq 0\}\) è al più numerabile e tale somma coincide con la somma della serie.
Per concludere, dubito che si possa dare un significato rigoroso alla tua produttoria iniziale.
\[
\sum_{x\in [a,b]} \log x\,.
\]
Le sommatorie di questo tipo possono essere definite in maniera consistente usando le reti.
Tuttavia, un oggetto del tipo \(\sum_{x\in I} f(x)\) converge nel senso delle reti allora l'insieme \(J:=\{x\in I:\ f(x)\neq 0\}\) è al più numerabile e tale somma coincide con la somma della serie.
Per concludere, dubito che si possa dare un significato rigoroso alla tua produttoria iniziale.
E se cercassi di trovare $a$ e $b$ t.c. $#_a^b=1$? O, meglio ancora $=c!=0!=1$?
"kobeilprofeta":
Sí, probabilmente hai ragione... Ma si è capito il concetto?
Si.
Per me il tuo primo esempio converge a zero, euristicamente:
$1/2 \dot 3/2 < 1$
$999/1000 \dot 1001/1000<1$
In generale anche per gli irrazionali
$(1- a) (1+a)<1$
Sí, probabilmente hai ragione... Ma si è capito il concetto?
Quello che dici non mi sembra che stia al prodotto come gli integrali stanno alla somma.
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