Eulero e campo C

[spassky]

Mi son detto : "Come si dimostra l' equazione euleriana :

e^(ix)=cosx+isinx

?"
La risposta, pensando e leggiucchiando qua e là si è palesata : basta calcolare gli sviluppi in serie di Taylor di cosx e isinx e si vede che la loro somma è uguale allo sviluppo di e^(ix).
Ma la domanda è : questo tipo di dimostrazione ha dignità di dimostrazione ? Ossia è una dimostrazione con tutti i crismi ?!?!
Resto in attesa.

[Sk_Anonymous]

Si, questo si, e ti faccio notare che e' sempre maggiore o uguale a 1 (e' il coseno iperbolico).

Luca.

[Sk_Anonymous]

E' pensare che avevo interpretato cosi come
un avverbio!!
karl.

[Sk_Anonymous]

In effetti hai ragione.Quello che volevo dire era che nell'insieme C dei numeri complessi che possone essere posti nella forma ai+b con a e b reali il sottoinsieme proprio dei numeri complessi ai(con b=0) ha coseno reale e rappresenta un amplimento della funzione cosx

[Sk_Anonymous]

Certo, puo' anche darsi che per certi numeri complessi, il coseno sia un numero reale maggiore di 1. Quello che volevo dire e' che non e' assolutamente da scrivere una roba simile: cos z > 1, con z in C. Essa non ha senso, poiche' a priori cos z e' complesso e non reale.

Luca.

[Sk_Anonymous]

Sostituendo alla formula di taylor:
cosx=1-x^2/2+x^4/4!...
x=i
viene cosi=1+1/2+1/4!+1/6!...
e quindi 1,54

[Sk_Anonymous]

Per Denn.
Che cosa e' quell'" 1,54"?
karl.

[Sk_Anonymous]

Forse era meglio se non rispondevi. Hai commesso un errore madornale; il coseno di un numero complesso e', in generale, un numero complesso: non ha senso chiedersi se tale numero sia o no maggiore di 1: in C non esiste un ordine.

Luca.

[Sk_Anonymous]

Voglio dire che la richiesta di trovare un angolo con coseno maggiore di 1 nn trova soluzione nel campo dei numeri reali ma solo in quello dei numeri complessi

[Sk_Anonymous]

Sai che non ho capito nulla di quello che hai scritto?

Luca.

[Sk_Anonymous]

Basta pensare che l'utilizzo dei nuemri irreali nelle formule di taylor permette di risolvere parecchie questioni:
L'equazione y=arccos(secx) non avrebbe significato se nn nel campo C.

[Sk_Anonymous]

Dipende da cosa assumi; se hai gia' definito e^x, sen e cos. In realta', in Analisi, la funzione e^x, con x complesso, si definisce proprio attraverso il suo sviluppo in serie; invece sen e cos sono definite in un altro modo, un po' piu' complicato. Si dimostrano poi gli sviluppi di sen e cos e in tal modo risulta quell'identita' molto utile.

Luca.