Esame di matematica, senza calcolatrice!
Il 16 gennaio dovrò sostenere l'esame di matematica generale, nella facoltà di economia. Per fortuna quest'anno finisco, ma stupidamente mi sono lasciato matematica tra gli ultimi.
Il programma è di analisi 1, ma il compito si articola in una prima parte, composta da equazioni, disequazioni, campi di esistenza, limiti ed altri esercizi che possono variare tra calcolo di gradienti, facili integrali, matrici, rette tangenti, determinare matrice hessiana, prodotti scalari tra vettori ecc ecc.; e una seconda parte, composta da esercizi riguardanti il programma di analisi 1: studio di funzioni, studio di derivabilità e continuità, sistemi lineari al variare di parametri, limiti, integrali, serie, equazioni al variare di un parametro, calcolo di punti stazionari di funzioni in due variabili...
Ora, negli anni il professore ha aumentato sempre di più la difficoltà: orale che prima era facoltativo, ora obbligatorio ecc... fino a vietare, la calcolatrice. Anche quella stupida, che al massimo ha la radice.
Il punto è: facendo i compiti vecchi ed esercitandomi, noto che comunque la calcolatrice l'ho sempre usata pochissimo. Però, per alcune cose, permetteva di darti una sicurezza in più che ora mi viene a mancare.
Pensate sia un grosso problema voi? Nel senso, un esempio stupido: come fai a vedere da solo se una radice di un numero intero viene un numero intero, oppure no? E se viene intero, come fai a calcolare quanto viene?
Cioè per uno che mastica matematica tutti i giorni, sono piccole cose che non sono un problema. Ma per me, che già mi sono fatto un mazzo tanto per riuscire a prendere un 24/25/26 se sono fortunato, perchè devi anche penalizzarmi con questi comportamenti da... ?
Il programma è di analisi 1, ma il compito si articola in una prima parte, composta da equazioni, disequazioni, campi di esistenza, limiti ed altri esercizi che possono variare tra calcolo di gradienti, facili integrali, matrici, rette tangenti, determinare matrice hessiana, prodotti scalari tra vettori ecc ecc.; e una seconda parte, composta da esercizi riguardanti il programma di analisi 1: studio di funzioni, studio di derivabilità e continuità, sistemi lineari al variare di parametri, limiti, integrali, serie, equazioni al variare di un parametro, calcolo di punti stazionari di funzioni in due variabili...
Ora, negli anni il professore ha aumentato sempre di più la difficoltà: orale che prima era facoltativo, ora obbligatorio ecc... fino a vietare, la calcolatrice. Anche quella stupida, che al massimo ha la radice.
Il punto è: facendo i compiti vecchi ed esercitandomi, noto che comunque la calcolatrice l'ho sempre usata pochissimo. Però, per alcune cose, permetteva di darti una sicurezza in più che ora mi viene a mancare.
Pensate sia un grosso problema voi? Nel senso, un esempio stupido: come fai a vedere da solo se una radice di un numero intero viene un numero intero, oppure no? E se viene intero, come fai a calcolare quanto viene?
Cioè per uno che mastica matematica tutti i giorni, sono piccole cose che non sono un problema. Ma per me, che già mi sono fatto un mazzo tanto per riuscire a prendere un 24/25/26 se sono fortunato, perchè devi anche penalizzarmi con questi comportamenti da... ?
Risposte
[ot]
[/ot]
"gugo82":
Se poi si ha bisogno di informazioni precise si chiede al signor Wolf(ram) che, come noto, risolve problemi (cit.).
[/ot]
Chissà se lo rivedremo mai più in questo topic
Abbiamo perso di vista la cosa più importante...
Come è andato l'esame Baldur?
"Baldur":
Il 16 gennaio dovrò sostenere l'esame di matematica generale
Come è andato l'esame Baldur?
Se tutti questi problemucci li postaste in "scervelliamoci un po'"? 
Senza contare che queste discussioni dimostrano che è un calcolatore è solo un "mezzo" per velocizzare la mente
.
Senza contare che queste discussioni dimostrano che è un calcolatore è solo un "mezzo" per velocizzare la mente
.
"gugo82":
Va bene vict85.
Ma alla fin fine, non si trattava di compilare tavole numeriche...
Il più delle volte basta il primo decimale per collocare decentemente un punto sulla retta reale in un esercizio di Analisi, quindi prendere i primi due/tre termini di uno sviluppo in serie basta e avanza.
Se poi si ha bisogno di informazioni precise si chiede al signor Wolf(ram) che, come noto, risolve problemi (cit.).
Più che altro in genere è meglio non calcolarlo affatto. Se devi trovare per esempio se è maggiore $\sqrt{2e}$ o $4/5e$ ci sono modi migliori che calcolarsi entrambi i valori (anche perché i due valori non sono particolarmente distanti tra di loro). Non usarla serve probabilmente anche per costringerti a cercare metodi migliori.
Va bene vict85.
Ma alla fin fine, non si trattava di compilare tavole numeriche...
Il più delle volte basta il primo decimale per collocare decentemente un punto sulla retta reale in un esercizio di Analisi, quindi prendere i primi due/tre termini di uno sviluppo in serie basta e avanza.
Se poi si ha bisogno di informazioni precise si chiede al signor Wolf(ram) che, come noto, risolve problemi (cit.).
Ma alla fin fine, non si trattava di compilare tavole numeriche...
Il più delle volte basta il primo decimale per collocare decentemente un punto sulla retta reale in un esercizio di Analisi, quindi prendere i primi due/tre termini di uno sviluppo in serie basta e avanza.
Se poi si ha bisogno di informazioni precise si chiede al signor Wolf(ram) che, come noto, risolve problemi (cit.).
Beh, ma i calcoli non sono semplicissimi. Inoltre esiste anche il metodo di approssimazione di Newton che converge molto più in fretta ad una buona approssimazione. Però i calcoli si complicano un po', anche arrotondando \(2e\) con \(5,5\). D'altra parte arrivi a \(2,375\) con una sola facile iterazione. Andare oltre è inutile a meno di usare una approssimazione di \(2e\) migliore.
@vict85: La tecnica che ho usato è ben nota (la conosceva pure Newton, mi sembra).
Per limitare gli errori nel calcolare \(\sqrt[n]{x}\) con lo sviluppo di Taylor bisogna farsi un'idea della più grande potenze \(n\)-esima perfetta \(N^n\) minore di \(x\) e procedere nel modo che segue: si approssima
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{x} &= \sqrt[n]{N^n+x-N^n} \\
&= N\ \sqrt[n]{1+\frac{x-N^n}{N^n}} \\
&\approx N\ \left( 1+\frac{1}{n}\ \frac{x-N^n}{N^n} + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1)}{2!}\ \left( \frac{x-N^n}{N^n}\right)^2 + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1) (\frac{1}{n} -2)}{3!}\ \left( \frac{x-N^n}{N^n}\right)^3 +\cdots \right) \\
\end{split}
\]
se \(\frac{x-N^n}{N^n}<\frac{1}{2}\), oppure si approssima con:
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{x} &= \sqrt[n]{(N+1)^n+x-(N+1)^n} \\
&= (N+1)\ \sqrt[n]{1+\frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n}} \\
&\approx (N+1)\ \left( 1+\frac{1}{n}\ \frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n} + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1)}{2!}\ \left( \frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n}\right)^2 \right. \\
&\phantom{=} \left. + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1) (\frac{1}{n} -2)}{3!}\ \left( \frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n}\right)^3 +\cdots \right) \\
\end{split}
\]
se \(\frac{x-N^n}{N^n}>\frac{1}{2}\).
La velocità di convergenza della serie binomiale non è il massimo, ma va bene per il calcolo "a occhio".
Per limitare gli errori nel calcolare \(\sqrt[n]{x}\) con lo sviluppo di Taylor bisogna farsi un'idea della più grande potenze \(n\)-esima perfetta \(N^n\) minore di \(x\) e procedere nel modo che segue: si approssima
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{x} &= \sqrt[n]{N^n+x-N^n} \\
&= N\ \sqrt[n]{1+\frac{x-N^n}{N^n}} \\
&\approx N\ \left( 1+\frac{1}{n}\ \frac{x-N^n}{N^n} + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1)}{2!}\ \left( \frac{x-N^n}{N^n}\right)^2 + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1) (\frac{1}{n} -2)}{3!}\ \left( \frac{x-N^n}{N^n}\right)^3 +\cdots \right) \\
\end{split}
\]
se \(\frac{x-N^n}{N^n}<\frac{1}{2}\), oppure si approssima con:
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{x} &= \sqrt[n]{(N+1)^n+x-(N+1)^n} \\
&= (N+1)\ \sqrt[n]{1+\frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n}} \\
&\approx (N+1)\ \left( 1+\frac{1}{n}\ \frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n} + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1)}{2!}\ \left( \frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n}\right)^2 \right. \\
&\phantom{=} \left. + \frac{\frac{1}{n}\ (\frac{1}{n}-1) (\frac{1}{n} -2)}{3!}\ \left( \frac{x-(N+1)^n}{(N+1)^n}\right)^3 +\cdots \right) \\
\end{split}
\]
se \(\frac{x-N^n}{N^n}>\frac{1}{2}\).
La velocità di convergenza della serie binomiale non è il massimo, ma va bene per il calcolo "a occhio".
X Gugo: si vede che sei un analista. Farei comunque notare che Taylor diventa MOLTO impreciso al crescere alla distanza dal punto considerato. Tanto che i computer non usano quel metodo per calcolare le radici quadrate. Non mi sembra che tu l'abbia fatto notare abbastanza. Nel caso di \(\sqrt{6}\) l'utilizzo diretto di Taylor avrebbe prodotto il risultato \(\displaystyle 1 + \frac12 5 = 3,5\) ben lontano dal corretto \(2,44948974\). Il dividere per \(4\) era indispensabile per una approssimazione più attendibile.
Tra l'altro potevi raggiungere qualcosa di più (considerando che usando la bisezione si raggiungeva lo stesso risultato). Usando l'approssimazione di \(\displaystyle \sqrt{5} = 2\sqrt{1+\frac14} = 2\biggl(1+\frac18\biggr) = 2+\frac14 = 2,25\). Ma in questo caso avresti avuto il problema che \(2,25\) approssima per eccesso \(\sqrt{5}\) e non sai con certezza che sia minore di \(\sqrt{2e}\) (a meno di calcolarne il quadrato). Di fatto hai lo stesso problema con \(\sqrt{6}\) quanto usi Taylor al secondo ordine, che ti viene \(\displaystyle 2\sqrt{1+\frac12} = 2\biggl(1+\frac12\frac12 -\frac18\frac14\biggr) = 2 + \frac12 -\frac{1}{16} = 2 + \frac{8 - 1}{16} = 2 + \frac{7}{16} = 2,4375\). Per quanto in realtà \(2.25<\sqrt{2e}<2,4375\) tu non lo puoi, a meno di calcolarne il quadrato, saperlo con precisione.
Volendo si può ovviare al problema usando l'approssimazione del secondo ordine di \(\sqrt{5}\) e quella del primo di \(\sqrt{6}\), raggiungendo un accettabile \(2,2343<\sqrt{2e}<2,5\). È meno preciso dell'altro ma sei sicuro che l'intervallo contenga effettivamente \(\sqrt{2e}\).
D'altra parte con la bisezione si raggiungeva il risultato \(2,25<\sqrt{2e}<2,375\) calcolando solo \(3\) quadrati (\(2.5\), \(2.25\), \(2,375\)). Inoltre farei notare che il calcolo esplicito del quadrato si può evitare:
\(2,5^2 = 6,25\) ma si poteva calcolare anche così \(\displaystyle 2,5^2 = \biggl(2 + \frac12 \biggr)^2 = 4 + \frac14 + \frac{2\cdot 2}{2} = 4 + 2 + \frac14 = 6,25\).
Similmente \(\displaystyle 2,25^2 = \biggl(2 + \frac14 \biggr)^2 = 4 + \frac{1}{16} + \frac{2\cdot 2}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{16} < 5 + \frac14 < 5,4\)
Infine
\begin{align} 2,375^2 &= \biggl(2,5 - \frac18 \biggr)^2 \\ &= 6 + \frac{1}{4} + \frac{1}{64} - \frac{2\cdot 2,5}{8} \\ &= 6 + \frac{16 + 1 - 5\cdot 8}{64} \\ &= 6 - \frac{40-17}{64} \\ &= 6 - \frac{23}{64} \\ &> 6 - \frac{1}{2} > 5,42 \end{align}
In definitiva quindi con la bisezione si arrivava ad un risultato più preciso con meno calcoli (devi però sapere a memoria almeno le prime due cifre decimali di \(e\)).
Tra l'altro potevi raggiungere qualcosa di più (considerando che usando la bisezione si raggiungeva lo stesso risultato). Usando l'approssimazione di \(\displaystyle \sqrt{5} = 2\sqrt{1+\frac14} = 2\biggl(1+\frac18\biggr) = 2+\frac14 = 2,25\). Ma in questo caso avresti avuto il problema che \(2,25\) approssima per eccesso \(\sqrt{5}\) e non sai con certezza che sia minore di \(\sqrt{2e}\) (a meno di calcolarne il quadrato). Di fatto hai lo stesso problema con \(\sqrt{6}\) quanto usi Taylor al secondo ordine, che ti viene \(\displaystyle 2\sqrt{1+\frac12} = 2\biggl(1+\frac12\frac12 -\frac18\frac14\biggr) = 2 + \frac12 -\frac{1}{16} = 2 + \frac{8 - 1}{16} = 2 + \frac{7}{16} = 2,4375\). Per quanto in realtà \(2.25<\sqrt{2e}<2,4375\) tu non lo puoi, a meno di calcolarne il quadrato, saperlo con precisione.
Volendo si può ovviare al problema usando l'approssimazione del secondo ordine di \(\sqrt{5}\) e quella del primo di \(\sqrt{6}\), raggiungendo un accettabile \(2,2343<\sqrt{2e}<2,5\). È meno preciso dell'altro ma sei sicuro che l'intervallo contenga effettivamente \(\sqrt{2e}\).
D'altra parte con la bisezione si raggiungeva il risultato \(2,25<\sqrt{2e}<2,375\) calcolando solo \(3\) quadrati (\(2.5\), \(2.25\), \(2,375\)). Inoltre farei notare che il calcolo esplicito del quadrato si può evitare:
\(2,5^2 = 6,25\) ma si poteva calcolare anche così \(\displaystyle 2,5^2 = \biggl(2 + \frac12 \biggr)^2 = 4 + \frac14 + \frac{2\cdot 2}{2} = 4 + 2 + \frac14 = 6,25\).
Similmente \(\displaystyle 2,25^2 = \biggl(2 + \frac14 \biggr)^2 = 4 + \frac{1}{16} + \frac{2\cdot 2}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{16} < 5 + \frac14 < 5,4\)
Infine
\begin{align} 2,375^2 &= \biggl(2,5 - \frac18 \biggr)^2 \\ &= 6 + \frac{1}{4} + \frac{1}{64} - \frac{2\cdot 2,5}{8} \\ &= 6 + \frac{16 + 1 - 5\cdot 8}{64} \\ &= 6 - \frac{40-17}{64} \\ &= 6 - \frac{23}{64} \\ &> 6 - \frac{1}{2} > 5,42 \end{align}
In definitiva quindi con la bisezione si arrivava ad un risultato più preciso con meno calcoli (devi però sapere a memoria almeno le prime due cifre decimali di \(e\)).
"Baldur":
E quando bisogna calcolarsi una $\sqrt(2e)$, per esempio ?
Si fa "a occhio".
Dato che \(2
Per ottenere una stima dal basso più precisa di \(2<\sqrt{2e}\), ti ricordi che dalla serie esponenziale segue \(e>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} = 2+\frac{2}{3}\), sicché:
\[
\sqrt{2e}>\sqrt{4+\frac{4}{3}}= 2\ \sqrt{1+\frac{1}{3}} \approx 2\ \left( 1+\frac{1}{2}\ \frac{1}{6}\right) = 2+\frac{1}{6} =2.16\; .
\]
Insomma, le strade ci sono.
[N.B.: un valore approssimato di \(\sqrt{2e}\) buono fino al quinto decimale è \(2.33164\).]
"Baldur":
E per quanto riguarda il calcolo del logaritmo naturale, è così semplice?
No.
Però ci si può arrivare per approssimazione.
Ad esempio, \(\log 5\): hai \(e<5
\[
\begin{split}
\log 5 &= \log (e+(5-e)) \\
&= \log \left( e\ \left( 1+\frac{5-e}{e}\right)\right) \\
&= \log e + \log \left( 1+\frac{5-e}{e}\right) \\
&= 1+\log \left( 1+\frac{5-e}{e}\right) \\
&\approx 1+\frac{5-e}{e} \\
&= \frac{5}{e} \\
&\approx \frac{5}{3} \\
&=1.\overline{6}
\end{split}
\]
[N.B.: Il valore del \(\log 5\) approssimato alla quinta decimale è \(1.60944\).]
"Baldur":
Comunque il discorso sull'elasticità mentale non cambia. E una mente poco allenata, sbaglia di più. Anche su cose, "banali""
Se la mente allenata non ce l'ha uno studente, chi la deve avere?
Mio nonno?
"Baldur":
[...]
E quando bisogna calcolarsi una $\sqrt(2e)$, per esempio ?
E per quanto riguarda il calcolo del logaritmo naturale, è così semplice?
Comunque il discorso sull'elasticità mentale non cambia. E una mente poco allenata, sbaglia di più. Anche su cose, "banali""
Gli esercizi che proponi richiedono che si sappiano confrontare due numeri reali e non che se ne sappia dare uno sviluppo decimale (anche se pare che Euler riuscisse a calcolare il valore di convergenza con $50$ cifre decimali esatte di certe serie infinite a mente, cfr. Men of Mathematics di E.T. Bell, 1937).
E' ovvio che a nessuno verrà mai chiesto quanto fa esattamente $\ln 5$, ma una stima abbastanza precisa la si può comunque ottenere con carta e penna.
Il mio professore di Geometria I un giorno ci disse: "Sono oramai diciannove anni che vi portate dietro come un fardello quella cosa pesante sopra le spalle... Adesso è il momento di usarla."
"Baldur":
E quando bisogna calcolarsi una $\sqrt(2e)$, per esempio ?
Il fatto è che in genere non è necessario sapere esattamente il valore. Certo, se devi calcolare se \(e^2\) è maggiore o minore di \(7\) devi probabilmente fare i calcoli (a meno che tu non sappia i quadrati fino a 30 a memoria).
D'altra parte non è così complicato vedere che \(\sqrt{2e}\) è tra \(2\) e \(2,5\). Infatti \(2e\) è circa \(5,42\) che è maggiore di \(2\) e minore di \(9\). E sapedo un minimo di quadrati a memoria sai che \(25^2 = 625\) e che quindi \(2,5^2 = 6,25 > 6 > 5,42\). E anche senza conoscere \(25^2 = 5^4\) e non volendolo calcolare (anche soltanto con la semplificazione \(25\times 25 = 25\times 20 + 25\times 3 = 500 + 5^3 = 500 + 125 = 625\)) sai comunque già che è tra \(2\) e \(3\) e spesso non ti serve molto di più.
"Baldur":
Comunque il discorso sull'elasticità mentale non cambia. E una mente poco allenata, sbaglia di più. Anche su cose, "banali""
Questo è vero; ed è proprio per questo motivo che non dovresti usare la calcolatrice, ad esempio, quando fai gli esercizi a casa.
E' chiaro che se devi confrontare logaritmi o comunque numeri "complicati" la cosa può non essere immediata, ma almeno i confronti "da meno di un decimo di secondo" uno dovrebbe essere in grado di farli senza problemi.
(Ovviamente questa è una mia opinione personale.)
Coraggio Baldur, vedrai che con un po' di fiducia in te stesso ce la farai!
"Delirium":
[quote="Baldur"][...] Vi riporto al problema di riuscire a calcolare la radice di due, senza calcolatrice. Se so che, banalmente, un mezzo fa 0,5, non me ne faccio un bel niente, se poi non so fare la radice di 2!
Ma hai letto il messaggio di vict85?
"Baldur":
[...] E' così ovvio, che $1/2$ sia più piccolo di radice di 2? [...]
Sì. $(\sqrt{2})^2=2 > 1 \ \Rightarrow \ \sqrt{2}>1$ ( - disequazione da prima liceo). Fine dei giochi.[/quote]
E quando bisogna calcolarsi una $\sqrt(2e)$, per esempio ?
E per quanto riguarda il calcolo del logaritmo naturale, è così semplice?
Comunque il discorso sull'elasticità mentale non cambia. E una mente poco allenata, sbaglia di più. Anche su cose, "banali""
"Baldur":
[...] Vi riporto al problema di riuscire a calcolare la radice di due, senza calcolatrice. Se so che, banalmente, un mezzo fa 0,5, non me ne faccio un bel niente, se poi non so fare la radice di 2!
Ma hai letto il messaggio di vict85?
"Baldur":
[...] E' così ovvio, che $1/2$ sia più piccolo di radice di 2? [...]
Sì. $(\sqrt{2})^2=2 > 1 \ \Rightarrow \ \sqrt{2}>1$ ( - disequazione da prima liceo). Fine dei giochi.
Allora, se mi date un metodo semplice per calcolare la radice di un quadrato non perfetto senza calcolatrice, ve ne sarò grato!
Oppure il logaritmo naturale di un numero.
Cioè, capite che per uno che non ha l'elasticità necessaria (vuoi perchè non c'è stata dedizione, vuoi perchè non faccio il matematico), può essere un problema? E' così ovvio, che $1/2$ sia più piccolo di radice di 2? Vi riporto al problema di riuscire a calcolare la radice di due, senza calcolatrice. Se so che, banalmente, un mezzo fa 0,5, non me ne faccio un bel niente, se poi non so fare la radice di 2! (e non mi sembra una cosa così ovvia, saper fare la radice di un quadrato imperfetto)
Oppure il logaritmo naturale di un numero.
Cioè, capite che per uno che non ha l'elasticità necessaria (vuoi perchè non c'è stata dedizione, vuoi perchè non faccio il matematico), può essere un problema? E' così ovvio, che $1/2$ sia più piccolo di radice di 2? Vi riporto al problema di riuscire a calcolare la radice di due, senza calcolatrice. Se so che, banalmente, un mezzo fa 0,5, non me ne faccio un bel niente, se poi non so fare la radice di 2! (e non mi sembra una cosa così ovvia, saper fare la radice di un quadrato imperfetto)
"Rigel":
[...] A me fa abbastanza impressione il fatto che uno studente universitario non sappia confrontare, in un tempo inferiore al decimo di secondo, \(1/2\) e \(\sqrt{2}\).
Anche a me.
Sulla radice, era un esempio buttato lì. Ma, se ragioniamo sulla definizione: la radice di un numero x, è quella y che elevata al quadrato, da il numero x. Ok, ma come fai a sapere quanto faccia la radice di 2? E' quel numero che elevato al quadrato, da due. E che ne so che numero è?
Se ragioniamo sulla definizione di logaritmo di un numero, e cioè l'esponente da dare alla base affinchè venga come risultato il numero stesso... nel caso di $ln 2$, abbiamo che $e$ elevato a $x$ è uguale a $2$. Dato che $e$ è all'incirca 2.71, dobbiamo trovare quel numero che messo come esponente a 2.71 dia 2 come risultato.. ma se già abbiamo 2.71 (la base $e$) che è più grande di 2... come faccio a trovare l'esponente da dare alla base? Capite che non è così semplice....
@vict85, ma infatti io non ne faccio un discorso di calcoli, ma di ordine sull'asse! ln5 è più grande o più piccolo di 2? Anche se sono apparentemente "lontani", ln5 è più piccolo di 2!
Se ragioniamo sulla definizione di logaritmo di un numero, e cioè l'esponente da dare alla base affinchè venga come risultato il numero stesso... nel caso di $ln 2$, abbiamo che $e$ elevato a $x$ è uguale a $2$. Dato che $e$ è all'incirca 2.71, dobbiamo trovare quel numero che messo come esponente a 2.71 dia 2 come risultato.. ma se già abbiamo 2.71 (la base $e$) che è più grande di 2... come faccio a trovare l'esponente da dare alla base? Capite che non è così semplice....
@vict85, ma infatti io non ne faccio un discorso di calcoli, ma di ordine sull'asse! ln5 è più grande o più piccolo di 2? Anche se sono apparentemente "lontani", ln5 è più piccolo di 2!
"Baldur":
Esatto, scoprire chi è più grande tra \(1/2\) e \(\sqrt{2}\). Possibile che per questa stupidaggine, si debba compromettere il risultato di un esercizio e quindi forse, anche l'esame? Vi sembra giusto?
A me fa abbastanza impressione il fatto che uno studente universitario non sappia confrontare, in un tempo inferiore al decimo di secondo, \(1/2\) e \(\sqrt{2}\).
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