Equazioni logaritmiche! aiuto!!
é la prima volta che scrivo, mi serve una mano con le equazioni logaritmiche, so che è una domanda piuttosto scontata, ma non sono molto bravo in matematica.
Se ho una cosa del genere come la risolvo?
log (x+1) - log (2x-3) + log (x+2) = log (x^2-x) - log (2x)
sapete anche dirmi se c'è un sito che tratta in modo semplice queste cose?
grazie!
Se ho una cosa del genere come la risolvo?
log (x+1) - log (2x-3) + log (x+2) = log (x^2-x) - log (2x)
sapete anche dirmi se c'è un sito che tratta in modo semplice queste cose?
grazie!
Risposte
Caro lupo grigio, ti ringrazio per l'ottimo ripasso sui logaritmi dei numeri complessi anche se e' ben noto che il logaritmo di un numero complesso a e' dato da log a = log |a| + j*arg (a) , formula del tutto equivalente alla tua .
Ma questi concetti non sono certo parte del programma di nessuna scuola media superiore , bensi' di corsi universitari di Analisi.
Mi colpisce che un esercizio dato in una scuola media superiore ( come risulta dall'eta' di joker ( 18)) , non abbia alcuna soluzione nell'ambito dei numeri reali, in cui pero' lo studente e' costretto a muoversi: immagino quante volte , chi ha risolto l'esercizio , avra' fatto e rifatto i calcoli per essere sicuro di non averli sbagliati.
ciao
Camillo
Ma questi concetti non sono certo parte del programma di nessuna scuola media superiore , bensi' di corsi universitari di Analisi.
Mi colpisce che un esercizio dato in una scuola media superiore ( come risulta dall'eta' di joker ( 18)) , non abbia alcuna soluzione nell'ambito dei numeri reali, in cui pero' lo studente e' costretto a muoversi: immagino quante volte , chi ha risolto l'esercizio , avra' fatto e rifatto i calcoli per essere sicuro di non averli sbagliati.
ciao
Camillo
Osservazione esatta la tua, caro Camillo, per spiegare la quale si rende necessaria una precisazione.
E' noto che la funzione logaritmo non è definita in campo reale se l'argomento è negativo. Non è così però, come per altre funzioni inverse il cui esempio più noto è la radice quadrata, se si estende il dominio al campo dei numeri complessi.
Partendo dalla nota rappresentazione polare di un numero complesso...
a= r * e^(j*theta) [1]
ove r è 'modulo' e theta 'argomento' [seguendo la convenzione degli ingegneri ho indicato con j la cosidetta 'unità immaginaria'], in base alla definizione stessa si ha che...
log a = log r + j*theta [2]
Da notare, cosa importantissima, che in campo complesso il logatitmo di un numero è definito a meno di un multiplo arbitrario intero di j*2*pi. Se a è un numero reale negativo theta è dunque uguale [salvo l'indeterminatezza ora evidenziata] a pi.
Venendo all'equazione originaria e sostituendo in essa la unica soluzione x= -1/11 si ottiene una 'identità' del tipo...
log (2/7) = log (2/7) + j*2*pi [3]
... che in base a quanto detto in precedenza deve ritenersi valida.
Mi rendo conto che tale spiegazione può dar luogo a qualche comprensibile perplessità, il fatto è che la matematica obbliga talvolta a queste 'acrobazie'...
cordiali saluti!...
lupo grigio
E' noto che la funzione logaritmo non è definita in campo reale se l'argomento è negativo. Non è così però, come per altre funzioni inverse il cui esempio più noto è la radice quadrata, se si estende il dominio al campo dei numeri complessi.
Partendo dalla nota rappresentazione polare di un numero complesso...
a= r * e^(j*theta) [1]
ove r è 'modulo' e theta 'argomento' [seguendo la convenzione degli ingegneri ho indicato con j la cosidetta 'unità immaginaria'], in base alla definizione stessa si ha che...
log a = log r + j*theta [2]
Da notare, cosa importantissima, che in campo complesso il logatitmo di un numero è definito a meno di un multiplo arbitrario intero di j*2*pi. Se a è un numero reale negativo theta è dunque uguale [salvo l'indeterminatezza ora evidenziata] a pi.
Venendo all'equazione originaria e sostituendo in essa la unica soluzione x= -1/11 si ottiene una 'identità' del tipo...
log (2/7) = log (2/7) + j*2*pi [3]
... che in base a quanto detto in precedenza deve ritenersi valida.
Mi rendo conto che tale spiegazione può dar luogo a qualche comprensibile perplessità, il fatto è che la matematica obbliga talvolta a queste 'acrobazie'...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Corretto, pero' se non ho sbagliato i conti si trova la soluzione x= -1/11 che pero' non e' accettabile in quanto rende negativo l' argomento di due dei logaritmi : log ( 2x-3)ed anche log( 2x): A questo punto dovrei dire che la equazione non ha soluzioni !!?
Camillo
Camillo
caro joker
innanzi tutto benvenuto sul forum!...
L'apparente difficoltà di soluzione dell'equazione da te proposta si dissolve subito se si ricorda la regola fondamentalen dei logatitmi che dice:
log (a*b/c)= log a +log b -log c [1]
Applicando questa semplice regola l'equazione diviene:
(x+1)*(x+2)/(2x-3)= (x^2-x)/2x [2]
... ossia un'equazione algebrica che può essere risolta con metodi ben conosciuti...
cordiali saluti!...
lupo grigio
innanzi tutto benvenuto sul forum!...
L'apparente difficoltà di soluzione dell'equazione da te proposta si dissolve subito se si ricorda la regola fondamentalen dei logatitmi che dice:
log (a*b/c)= log a +log b -log c [1]
Applicando questa semplice regola l'equazione diviene:
(x+1)*(x+2)/(2x-3)= (x^2-x)/2x [2]
... ossia un'equazione algebrica che può essere risolta con metodi ben conosciuti...
cordiali saluti!...
lupo grigio
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