Equazione differenziale aiutatemi

[ethan82]

salve avrei un problemino spero che possiate aiutarmi,
allora dovrei scrivere una funzione in matlab che risolve le equazioni differenziali,
siccome dovrei provare la funzione su una equazione differenziale che mi è stata assegnata,
però naturalmente la soluzione non sono riuscita a trovarla analiticamente volevo chiedervi se ci riuscite.

provo a scrivere l'equazione differenziale del 2 ordine

$y''-2y'+y-xe^x+x=0

x definito nell'intervallo
$0<=x<=2

condizioni iniziali

$y(0)=0 , $y(2)=-4


*ps xe^x sarebbe x che moltiplica e elevato alla x---->x*exp(x) in matlab

[ethan82]

grazie ancora tipper la sto ricontrollando pure io per sicurezza

[_Tipper]

Avevo fatto un errore di calcolo, la soluzione è questa

$y(x) = \frac{x^2}{2} e^x - 1 + e^{x} - \frac{3 + 3e^2}{2e^2} x e^{x}$

[ethan82]

potreste testare la mia funzione matlab?

allora la funzione prende in input i cinque valori a,b,alfa,beta,h e tre funzioni p(x),q(x),r(x),

dove il problema differenziale da risolvere sarebbe :

$y''=p(x)y'+q(x)y-r(x)
$y(a)=alfa
$y(b)=beta

h è il passo di integrazione.

riscrivo la mia equazione ma visto che non abbiamo la soluzione provatela con un'altra

$y''-2y'+y-xe^x+x=0
$y(0)=0
$y(2)=-4

$0<=x<=2

in questo caso a=0,b=2,alfa=0,beta=-4,p(x)='2',q(x)='-1' e r(x)='xe^x+x'

quando inserite le funzioni ricordatevi le '' il programma prende in input le stringhe

ecco il codice del programma se lo testate mi fate un favore

function[y]=probdifflim(a,b,alfa,beta,h,p,q,r)

a=input('a:') ;
b=input('b:') ;
alfa=input('alfa:') ;
beta=input('beta:') ;
h=input('h :') ;
fun1=input(' p(x): ') ;

p=inline(fun1,'x') ;
fun2=input(' q(x) :');
    q=inline(fun2,'x');
fun3=input(' r(x): ');

r=inline(fun3,'x');
N=(b-a)/h-1 ;
x=(a:h:b)'; 


for i=1:N
    a1(i,i)=2+h^2*q(x(i+1,1));
end




for i=1:N-1
    a2(i+1,i)=-1-h/2*p(x(i+2,1));
end
a2(N,N)=0 ;
for i=1:N-1
    a3(i,i+1)=-1+h/2*p(x(i+1,1));
end
a3(N,N)=0;
A=a1+a2+a3;
B(1,1)=-h^2*r(x(2,1))+(1+h/2*p(x(2,1)))*alfa;
B(N,1)=-h^2*r(x(N+1,1))+(1+h/2*p(x(N+1,1)))*beta ;
for i=2:N-1
    B(i,1)=-h^2*r(x(i+1,1));
end
y=inv(A)*B ;

for i=0:N-1
y(N+1-i,1)=y(N-i,1);
end
y(1,1)=alfa;
y(N+2,1)=beta ;

[Marco831]

Il codice matlab è sbagliato.

Ti sei dimenticato una parentesi:

y=1/2*x^2*exp(x)-1+exp(x)-(5+3*exp(2))/(2*exp(2))*x*exp(x)

comunque da -6.

[ethan82]

e l'incubo ritorna,la soluzione è errata.

le condizioni iniziali non sono soddisfatte
$y(2)=-6
fatta a mano,
se la metto in matlab con i seguenti comandi mi da addirittura -1.4621e+03

ecco il codice matlab

x=2
y=1/2*x^2*exp(x)-1+exp(x)-(5+3*exp(2))/2*exp(2)*x*exp(x)

sbaglio qualcosa?

[_Tipper]

Figurati

[ethan82]

dopo provo.
Grazie tipper la tua disponibilità è stata immensa

[_Tipper]

Si potrebbe provare a sostituire nel testo la soluzione trovata, e vedere se torna, se hai voglia di fare un po' di derivate...

[_Tipper]

Sì, tornano così anche a me.

[ethan82]

mica hai provato a controllare pure se c1 e c2 sono esatti?

dopo magari rifaccio tutto d'accapo

[_Tipper]

Le soluzioni dell'omogenea sono $y_1(x) = e^x$ e $y_2(x) = x e^{x}$. L'integrale generale è $y(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)$, dove $c_1(x)$ e $c_2(x)$ sono quelle che ho scritto nello spoiler qualche post più in su, facendo il prodotto e i calcoli si trova

$y(x) = \frac{x^2}{2} e^x - 1 + e^{x} (k_1 + k_2) + k_2 x e^{x}$

Ponendo $k_1 + k_2 = a_1$ e $k_2 = a_2$ l'integrale generale si può riscrivere come

$y(x) = \frac{x^2}{2} e^x - 1 + a_1 e^{x} + a_2 x e^{x}$

Sostituendo le condizioni iniziali si trova

$0 = -1 + a_1$ da cui $a_1 = 1$

$-4 = 2e^2 - 1 + e^2 + 2a_2 e^2$ da cui $a_" = \frac{-5 - 3e^2}{2e^2}$

quindi la soluzione dell'equazione differenziale è

$y(x) = \frac{x^2}{2} e^x - 1 + e^{x} - \frac{5 + 3e^2}{2e^2} x e^{x}$

salvo errori di calcolo.

[ethan82]

senti tipper ho provato a calcolare ma k2 mi esce con un valore strano dove compare pure un termine con $-2/e^2

siccome sembri l'unico che ci capisce co sta roba,quando hai tempo e voglia puoi cercare di risolverla dall'inizio tu così confrontiamo i risultati?

[_Tipper]

Le costanti $k_1$ e $k_2$ vanno trovate in funzione delle condizioni iniziali.

[ethan82]

ho cancellato le costanti k1 e k2 e ho moltiplicato il tutto

e ho trovato

$y=1/6x^3e^x-x-2

solo che non mi trovo con le condizioni iniziali

si può aggiustare senza cambiare il tutto?

[_Tipper]

Integra per parti, comunque ho già scritto la soluzione dei due integrali nel post precedente.

[ethan82]

"Tipper":Parti.

cioè?

ma se finisco potete vedere almeno se è giusta?

[_Tipper]

"ethan82":ho trovato :

$c1'=-x^2+x^2e^-x

e

$c2'=x-xe^-x

$c_1(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + k_1, \quad k_1 \in \mathbb{R}$

$c_2(x) = \frac{x^2}{2} + x e^{-x} + e^{-x} + k_2, \quad \k_2 \in \mathbb{R}$

PS: mi ero dimenticato di darti il benvenuto!

[_Tipper]

Parti.

[ethan82]

applicando il metodo delle variazioni delle costanti

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... e_costanti

ho trovato :

$c1'=-x^2+x^2e^-x

e

$c2'=x-xe^-x

devo solo integrarli un consiglio?

[ethan82]

"elgiovo":Per risolvere l'omogenea occorre trovare le soluzioni
dell'equazione caratteristica $lambda^2-2lambda+1=0$,
ovvero la radice doppia $lambda=1$. Per cui l'integrale
dell'omogenea sarà della forma $c_1e^(x)+c_2xe^x$.

l'omogenea l'ho fatta !

e il resto che non se pò fa!anzi che non riesco a fare.

ho mandato persino mail a prof americani, ma nulla sono sull'orlo della rassegnazione