Ellisse di area minima passante per 4 punti
Ho un problema da risolvere piuttosto curioso: si tratta di trovare l'equazione dell'ellisse di area minima (con asse maggiore orizzontale) passante per i vertici A, B, C, D di un trapezio regolare.
E' possibile risolvere il problema per via geometrica? Senza usare strumenti matematici del tipo: fasci di coniche, derivate... ?
E' possibile risolvere il problema per via geometrica? Senza usare strumenti matematici del tipo: fasci di coniche, derivate... ?
Risposte
"fu^2":
per questi motivi la via algebrica mi sembra più semplice
Allora mi dai ragione?
rimangio quello che ho detto fino ad ora, infatti per via algebrica è sicuramente più semplice, ma visto che il trapezio è fisso nel sistema di riferimento dato l'equazione dell'ellisse deve tener da conto che si può anche traslare, il punto di incrocio dei due assi di simmetria della conica passante per un trapezio in questo caso può trovarsi traslata lungo l'asse di simmetria del trapezio.
Quindi l'equzione generica sarà $ax^2+by^2+cy+d=0$ e dopo la puoi ricondurre all'equzione canonica per usare la formula dell'area da minimizzare. Con le condizioni $a+b>0$ e $ab>0$ (in termini non di matrici non so come giustificare questa condizione, quindi... - per essere un'ellisse la matrice dei termini quadratici deve essere definita positiva)*
NB: il trapezio ha vertici $A,B,C,D$, numerati in senso antiorario partendo dal vertice in alto a sinistra dello schermo per intenderci.
$A=(a_x,a_y)
$B=(b_x,b_y)
$C=(-b_x,b_y)
$D=(-a_x,a_y)
per evidenti ragioni di simmetria (essendo il semiasse dell'ellisse coincidente con l'asse di simmetria del trapezio e coincidente per semplicità con le ordinate).
quindi si ha il sistema (chiamo con le lettere maiuscole i parametri dell'ellisse)
${(Aa_x^2+Ba_y^2+Ca_y+d=0),(Ab_x^2+Bb_y^2+Cb_y+d=0),(A+B>0),(AB>0):}$
dopo ci si può divertire al completamento del quadrato per riportarsi alla forma standard.
mi sorge un dubbio mentre guardo il sistema, probabilmente mi sbaglio, visto che l'esercizio sarà tratto da un libro, ma o trovate una condizione aggiuntiva che su due piedi mi sfugge (il problema diventa forse in più variabili?)... o prima di tutto bisogna mostrare che l'ellisse di area minima esiste completamente determinata (mi è sorto questo dubbio forse senza senso...).
Questo ultimo pezzo sono tutte domande a raffica che cadono a pioggia un pò casualmente, perchè di mettermi a fare calcoli ora non ne ho voglia
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*
Infatti se il centro è posizionato, che so, nel baricentro del trapezio, già la circonferenza non cade con centro nel centro (scusa il gioco di parole), oppure potresti dare l'ellisse in forma canonica e traslare il trapezio, ma non mi sembra una via molto comoda
per questi motivi la via algebrica mi sembra più semplice
spero di non aver detto scemenze. Nel caso fatele notare
Quindi l'equzione generica sarà $ax^2+by^2+cy+d=0$ e dopo la puoi ricondurre all'equzione canonica per usare la formula dell'area da minimizzare. Con le condizioni $a+b>0$ e $ab>0$ (in termini non di matrici non so come giustificare questa condizione, quindi... - per essere un'ellisse la matrice dei termini quadratici deve essere definita positiva)*
NB: il trapezio ha vertici $A,B,C,D$, numerati in senso antiorario partendo dal vertice in alto a sinistra dello schermo per intenderci.
$A=(a_x,a_y)
$B=(b_x,b_y)
$C=(-b_x,b_y)
$D=(-a_x,a_y)
per evidenti ragioni di simmetria (essendo il semiasse dell'ellisse coincidente con l'asse di simmetria del trapezio e coincidente per semplicità con le ordinate).
quindi si ha il sistema (chiamo con le lettere maiuscole i parametri dell'ellisse)
${(Aa_x^2+Ba_y^2+Ca_y+d=0),(Ab_x^2+Bb_y^2+Cb_y+d=0),(A+B>0),(AB>0):}$
dopo ci si può divertire al completamento del quadrato per riportarsi alla forma standard.
mi sorge un dubbio mentre guardo il sistema, probabilmente mi sbaglio, visto che l'esercizio sarà tratto da un libro, ma o trovate una condizione aggiuntiva che su due piedi mi sfugge (il problema diventa forse in più variabili?)... o prima di tutto bisogna mostrare che l'ellisse di area minima esiste completamente determinata (mi è sorto questo dubbio forse senza senso...).
Questo ultimo pezzo sono tutte domande a raffica che cadono a pioggia un pò casualmente, perchè di mettermi a fare calcoli ora non ne ho voglia
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*
Infatti se il centro è posizionato, che so, nel baricentro del trapezio, già la circonferenza non cade con centro nel centro (scusa il gioco di parole), oppure potresti dare l'ellisse in forma canonica e traslare il trapezio, ma non mi sembra una via molto comoda
per questi motivi la via algebrica mi sembra più semplice
spero di non aver detto scemenze. Nel caso fatele notare
"DeepBlue70":
Il problema in realtà non è quello di trovare l'equazione dell'ellisse (è vero, equazione = algebra ...);
è sufficiente trovare i semiassi a, b dell'ellisse di area minima in funzione delle dimensioni note del trapezio isoscele (basi maggiore AB e minore CD, altezza h).
In tal modo non ha ovviamente senso introdurre un sistema di riferimento, siamo in un contesto euclideo, non cartesiano.
Sì, però tieni conto che se non riesci a trovare una soluzione per via "sintetica" l'algebra può esserti di aiuto
e, talvolta, l'espressione della stessa soluzione algebrica suggerisce qualcosa per l'altra strategia.
Il problema in realtà non è quello di trovare l'equazione dell'ellisse (è vero, equazione = algebra ...);
è sufficiente trovare i semiassi a, b dell'ellisse di area minima in funzione delle dimensioni note del trapezio isoscele (basi maggiore AB e minore CD, altezza h).
In tal modo non ha ovviamente senso introdurre un sistema di riferimento, siamo in un contesto euclideo, non cartesiano.
è sufficiente trovare i semiassi a, b dell'ellisse di area minima in funzione delle dimensioni note del trapezio isoscele (basi maggiore AB e minore CD, altezza h).
In tal modo non ha ovviamente senso introdurre un sistema di riferimento, siamo in un contesto euclideo, non cartesiano.
"franced":
[quote="DeepBlue70"]Ho un problema da risolvere piuttosto curioso: si tratta di trovare l'equazione dell'ellisse di area minima (con asse maggiore orizzontale) passante per i vertici A, B, C, D di un trapezio regolare.
E' possibile risolvere il problema per via geometrica? Senza usare strumenti matematici del tipo: fasci di coniche, derivate... ?
In pratica abbiamo la situazione seguente:
il trapezio ha i punti $A=(xA;yA)$, $B=(xB;yB)$, $C=(-xA;yA)$ e $D=(-xB;yB)$.
Basta determinare l'equazione dell'ellisse
$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$
in modo tale che passi per $A$ e per $B$.
Trovati $a$ e $b$ basta minimizzare il prodotto $a*b$, dal momento che l'area $S$
dell'ellisse è uguale a $S = \pi * a*b$.[/quote]
E' esattamente ciò che andrebbe fatto con l'uso della geometria analitica;
ma il mio problema è decisamente un altro:
come posso risolvere tale problema con i teoremi della geometria euclidea? ad esempio, posso utilizzare i teoremi di uguaglianza e similitudine dei triangoli, quindi senza far uso di procedimenti algebrici?
In tal caso, penso che dovrei utilizzare alcune proprietà dell'ellisse (alcune a me ignote...) e teoremi come quello di Erone (forse, chissà...):
"Data una retta r e due punti esterni Q ed R, il punto P della retta r che minimizza la somma PQ+PR è quel punto tale che i segmenti PQ e PR formano angoli uguali con la retta r"
"fu^2":
scusa ma un poligono regolare non ha angoli e lati congruenti tra loro?
non è che volevi dire trapezio isoscele?
E' corretto ciò che pensi, intendevo dire che trattasi di un trapezio isoscele.
Grazie per la precisazione.
Chiaramente ho scelto un sistema cartesiano opportuno, in cui il problema si risolve più agevolmente.
"DeepBlue70":
Ho un problema da risolvere piuttosto curioso: si tratta di trovare l'equazione dell'ellisse di area minima (con asse maggiore orizzontale) passante per i vertici A, B, C, D di un trapezio regolare.
E' possibile risolvere il problema per via geometrica? Senza usare strumenti matematici del tipo: fasci di coniche, derivate... ?
In pratica abbiamo la situazione seguente:
il trapezio ha i punti $A=(xA;yA)$, $B=(xB;yB)$, $C=(-xA;yA)$ e $D=(-xB;yB)$.
Basta determinare l'equazione dell'ellisse
$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$
in modo tale che passi per $A$ e per $B$.
Trovati $a$ e $b$ basta minimizzare il prodotto $a*b$, dal momento che l'area $S$
dell'ellisse è uguale a $S = \pi * a*b$.
"fu^2":
di al più un parametro.
Perché dici "al più"?
scusa ma un poligono regolare non ha angoli e lati congruenti tra loro?
non è che volevi dire trapezio isoscele?
comunque a primo sguardo anche se vuoi tralasciare le derivate, dei fasci di coniche non ne puoi fare a meno visto che ti verrà tutto in funzione, penso guardando a prima vista, di al più un parametro.
forse è il caso di spostare questo problema in superiori....
non è che volevi dire trapezio isoscele?
comunque a primo sguardo anche se vuoi tralasciare le derivate, dei fasci di coniche non ne puoi fare a meno visto che ti verrà tutto in funzione, penso guardando a prima vista, di al più un parametro.
forse è il caso di spostare questo problema in superiori....
"@melia":
Per capire meglio: l'asse maggiore deve essere parallela alle basi del trapezio o non è detto?
Si, deve essere parallelo alle basi del trapezio; in tal modo l'asse minore dell'ellisse coincide con l'asse di simmetria del trapezio.
Per capire meglio: l'asse maggiore deve essere parallela alle basi del trapezio o non è detto?
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