Due coniche -> cono?
Date due coniche nello spazio, è possibile risalire al cono di cui sono sezioni?
Ovviamente prima bisogna sapere se e quando il cono esiste e (magari) è unico.
Nel mio caso particolare SO che il cono esiste e posso ipotizzare che sia unico; le due coniche sono una circonferenza ed un'ellisse.
Grazie a tutti.
PS: ovviamente il cono non si intende circolare retto; potremmo supporlo circolare (perché una delle due coniche è una circonferenza), ma non retto).
Ovviamente prima bisogna sapere se e quando il cono esiste e (magari) è unico.
Nel mio caso particolare SO che il cono esiste e posso ipotizzare che sia unico; le due coniche sono una circonferenza ed un'ellisse.
Grazie a tutti.
PS: ovviamente il cono non si intende circolare retto; potremmo supporlo circolare (perché una delle due coniche è una circonferenza), ma non retto).
Risposte
io la metterei nel seguente modo, supposto che so che le due coniche sono sezioni di uno stesso cono con due piani distinti.
Chiamo le due coniche $c_1$ e $c_2$. Se io considero una delle due coniche, per esempio la $c_1$, ed un punto dello spazio $P$ non appartenente al piano $Pi_1$ di detta conica, e proietto la conica da questo punto, ottengo uno ed un solo cono, che chiamo $C(P)$. Considero poi la conica intersezione tra $C(P)$ ed il piano $Pi_2$ contenente l'altra conica $c_2$. L'intersezione sarà una ed una sola conica, biunivocamente associata al cono $C(P)$, quindi al punto $P$, che chiamo $c(P)$.
Se $X$ indica i punti di $RR^3$ diversi da $Pi_1$, ho che l'associazione tra l'insieme $X$ e la sua immagine $Y$ tramite $c(P)$ è una corrispondenza biunivoca (definisco l'insieme $Y={y: P inX=>y=c(P)}$. Allora, in generale avrò che una conica $c$ giacente sul piano $Pi_2$ può appartenere, oppure no, all'inseme $Y$. Ma poiché so che esiste un cono che contiene entrambe le coniche, quindi che $c_2inY$, allora il cono è individuato dal vertice $c^(-1)(c_2)$.
E' corretto?
Chiamo le due coniche $c_1$ e $c_2$. Se io considero una delle due coniche, per esempio la $c_1$, ed un punto dello spazio $P$ non appartenente al piano $Pi_1$ di detta conica, e proietto la conica da questo punto, ottengo uno ed un solo cono, che chiamo $C(P)$. Considero poi la conica intersezione tra $C(P)$ ed il piano $Pi_2$ contenente l'altra conica $c_2$. L'intersezione sarà una ed una sola conica, biunivocamente associata al cono $C(P)$, quindi al punto $P$, che chiamo $c(P)$.
Se $X$ indica i punti di $RR^3$ diversi da $Pi_1$, ho che l'associazione tra l'insieme $X$ e la sua immagine $Y$ tramite $c(P)$ è una corrispondenza biunivoca (definisco l'insieme $Y={y: P inX=>y=c(P)}$. Allora, in generale avrò che una conica $c$ giacente sul piano $Pi_2$ può appartenere, oppure no, all'inseme $Y$. Ma poiché so che esiste un cono che contiene entrambe le coniche, quindi che $c_2inY$, allora il cono è individuato dal vertice $c^(-1)(c_2)$.
E' corretto?
Già.
Stavo pensando anch'io a qualcosa del genere, ma non ero ancora arrivato a charirmelo bene.
Grazie
Stavo pensando anch'io a qualcosa del genere, ma non ero ancora arrivato a charirmelo bene.
Grazie
Secondo me no, dovresti avere ipotesi ulteriori (tipo: le due coniche si intersecano in un - ben determinato - punto, non so se questo basta ma aiuta).
Sennò se pensi al caso degenere di due cerchi, a seconda della distanza tra di loro ottieni coni diversi, no? E la distanza nel tuo problema non è data.
Sennò se pensi al caso degenere di due cerchi, a seconda della distanza tra di loro ottieni coni diversi, no? E la distanza nel tuo problema non è data.
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