Dimostrazione di una proprietà dei numeri di fibonacci
Spero di aver scelto una collocazione appropriata per la discussione.
In pratica vorrei semplicemente dimostrare che $\varphi^n=F_{n}*\varphi+F_{n-1}$
Ho tentato l'approccio per induzione:
$$\varphi^{n+1}=F_{n+1}*\varphi+_F{n}$$
Da cui
$$\varphi*(F_{n}*\varphi+F_{n-1})=F_{n+1}*\varphi+F{n}$$
Svolgendo i calcoli arrivo a dire:
$$\varphi(F_{n}*\varphi+F_{n-1}-F_{n+1})=F_{n}$$
E solo ipotizzando che $\varphi*F_{n}=F_{n+1}$ riesco a dimostrare l'uguaglianza. Ma non mi sembra un passaggio corretto considerando le seguenti uguaglianze...
$$\varphi^1=\varphi$$
$$\varphi^2=\varphi+1$$
$$\varphi^3=2\varphi+1$$
$$\varphi^4=3\varphi+2$$
$$\varphi^5=5\varphi+3$$
$$\varphi^6=8\varphi+5$$
$$\varphi^7=13\varphi+8$$
$$\varphi^8=21\varphi+13$$
$$\varphi^n=F_{n}\varphi+F_{n-1}$$
Qualcuno sa aiutarmi?
In pratica vorrei semplicemente dimostrare che $\varphi^n=F_{n}*\varphi+F_{n-1}$
Ho tentato l'approccio per induzione:
$$\varphi^{n+1}=F_{n+1}*\varphi+_F{n}$$
Da cui
$$\varphi*(F_{n}*\varphi+F_{n-1})=F_{n+1}*\varphi+F{n}$$
Svolgendo i calcoli arrivo a dire:
$$\varphi(F_{n}*\varphi+F_{n-1}-F_{n+1})=F_{n}$$
E solo ipotizzando che $\varphi*F_{n}=F_{n+1}$ riesco a dimostrare l'uguaglianza. Ma non mi sembra un passaggio corretto considerando le seguenti uguaglianze...
$$\varphi^1=\varphi$$
$$\varphi^2=\varphi+1$$
$$\varphi^3=2\varphi+1$$
$$\varphi^4=3\varphi+2$$
$$\varphi^5=5\varphi+3$$
$$\varphi^6=8\varphi+5$$
$$\varphi^7=13\varphi+8$$
$$\varphi^8=21\varphi+13$$
$$\varphi^n=F_{n}\varphi+F_{n-1}$$
Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Hai ragione, è uno sbaglio, di "scrittura".
"Quinzio":
Se ho capito bene il tuo dubbio, una risposta potrebbe essere come segue.
L'idea di procedere per induzione è buona.
Abbiamo
$\varphi^n=\varphi F_n + F_(n-1)$
che moltiplicato per $\varphi$ da ambo i lati
$\varphi^(n+1)=\varphi^2 F_n + \varphi F_(n-1)$.
D'altra parte
$\varphi^(n+1)=\varphi F_(n+1) + \varphi F_n$.
Sottraendo le due espressioni
$\varphi^2 F_n + \varphi F_(n-1)-\varphi F_(n+1) - \varphi F_n=0$
$(\varphi^2-1) F_n - \varphi (F_(n+1)- F_(n-1)) =0$.
E' anche vero che $F_(n+1)=F_n+F_(n-1)$, quindi
$(\varphi^2-1) F_n - \varphi F_n =0$
$(\varphi^2- \varphi-1) F_n =0$,
che porta a
$\varphi^2- \varphi-1 =0$
$\varphi=(1\pm \sqrt5)/(2)$
cioè il rapporto aureo, la costante di Fibonacci.
Il passo zero del processo induttivo è banale. $\varphi^1=\varphi F_1+F_0$, con la serie di Fibonacci che parte con $0,1,1,2,3,5,8,...$.
Ti ringrazio per la tua risposta.
Una cosa però non mi è ancora chiara... La terza linea di codice dice:
$\varphi^(n+1)=\varphi F_(n+1) + \varphi F_n$.
Ma in realtà non sarebbe:
$\varphi^(n+1)=\varphi F_(n+1) + F_n$?
In caso di errore mi sembra comunque strano che la dimostrazione esca corretta, poi forse (probabilmente) sono ignorante io
Se ho capito bene il tuo dubbio, una risposta potrebbe essere come segue.
L'idea di procedere per induzione è buona.
Abbiamo
$\varphi^n=\varphi F_n + F_(n-1)$
che moltiplicato per $\varphi$ da ambo i lati
$\varphi^(n+1)=\varphi^2 F_n + \varphi F_(n-1)$.
D'altra parte
$\varphi^(n+1)=\varphi F_(n+1) + F_n$.
Sottraendo le due espressioni
$\varphi^2 F_n + \varphi F_(n-1)-\varphi F_(n+1) - \varphi F_n=0$
$(\varphi^2-1) F_n - \varphi (F_(n+1)- F_(n-1)) =0$.
E' anche vero che $F_(n+1)=F_n+F_(n-1)$, quindi
$(\varphi^2-1) F_n - \varphi F_n =0$
$(\varphi^2- \varphi-1) F_n =0$,
che porta a
$\varphi^2- \varphi-1 =0$
$\varphi=(1\pm \sqrt5)/(2)$
cioè il rapporto aureo, la costante di Fibonacci.
Il passo zero del processo induttivo è banale. $\varphi^1=\varphi F_1+F_0$, con la serie di Fibonacci che parte con $0,1,1,2,3,5,8,...$.
L'idea di procedere per induzione è buona.
Abbiamo
$\varphi^n=\varphi F_n + F_(n-1)$
che moltiplicato per $\varphi$ da ambo i lati
$\varphi^(n+1)=\varphi^2 F_n + \varphi F_(n-1)$.
D'altra parte
$\varphi^(n+1)=\varphi F_(n+1) + F_n$.
Sottraendo le due espressioni
$\varphi^2 F_n + \varphi F_(n-1)-\varphi F_(n+1) - \varphi F_n=0$
$(\varphi^2-1) F_n - \varphi (F_(n+1)- F_(n-1)) =0$.
E' anche vero che $F_(n+1)=F_n+F_(n-1)$, quindi
$(\varphi^2-1) F_n - \varphi F_n =0$
$(\varphi^2- \varphi-1) F_n =0$,
che porta a
$\varphi^2- \varphi-1 =0$
$\varphi=(1\pm \sqrt5)/(2)$
cioè il rapporto aureo, la costante di Fibonacci.
Il passo zero del processo induttivo è banale. $\varphi^1=\varphi F_1+F_0$, con la serie di Fibonacci che parte con $0,1,1,2,3,5,8,...$.
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