Curiosità sulla proprietà associativa nelle calcolatrici

[Sk_Anonymous]

Supponiamo di avere una calcolatrice ideale che può considerare solo numeri con due cifre significative, ossia due numeri a piacere compresi tra uno e nove seguiti unicamente da zeri. Si avranno a disposizione i numeri fino al 99, dopodiché si procederà ripartendo da capo e aggiungendo uno zero; in ordine si avranno 100, 110, 120 e così via fino a 990, per poi ricominciare aggiungendo un altro zero. Poiché inevitabilmente la calcolatrice sopradescritta non può ragionare per singole unità, opererà nella somma degli arrotondamenti di questo tipo, optando fra 230 e 240 per minimizzare l'errore:

$230+4=230$
$230+2=230$
$230+6=240$

La proprietà associativa della somma ci dice che $(x+y)+z=x+(y+z)$. Applicando questa proprietà agli esempi sopra suggeriti (sempre mediante l'utilizzo della nostra calcolatrice) dovremmo ottenere che $(230+4)+2=230+(4+2)$ ovvero $230+2=230+6$ e quindi $230=240$, risultato evidentemente contraddittorio. Significa quindi che nelle calcolatrici a nostra disposione (nelle quali vale lo stesso principio, sebbene le cifre significative non siano due ma una quindicina) la proprietà associativa non è valida quando si sommano numeri sufficientemente grandi?

[Zero87]

"Delirium":Significa quindi che nelle calcolatrici a nostra disposione (nelle quali vale lo stesso principio, sebbene le cifre significative non siano due ma una quindicina) la proprietà associativa non sia valida quando si sommano numeri sufficientemente grandi?

Già, proprio così. Il tutto proprio a causa degli errori di troncamento a cui sono "forzate" le calcolatrici per numeri di diverso ordine di grandezza nel corso di operazioni algebriche.

Avevo studiato il tutto in analisi numerica, ma ora mi hai messo curiosità e sono andato a verificarlo nella mia calcolatrice. In essa:

$(1 + 2\cdot 10^{-11})+4\cdot 10^{-11} =1$

ma

$1 + (2\cdot 10^{-11}+4\cdot 10^{-11}) =1,0000000001 \ne 1$

Nel mio caso l'errore minimo supportabile dalla calcolatrice è di una decina di cifre perché si tratta di un modello vecchio, ma il principio è lo stesso...