Cosa dire quando si dimostra un teorema usando un caso particolare di una altro teorema dimostrato a parte

[marco2132k]

Ciao. Supponiamo che il teorema \( A \) si possa dimostrare a partire dai lemmi \( L_1,\dots,L_n,L \) (in tal caso scrivo \( L_1,\dots,L_n,L\vdash A \)). Supponiamo anche che il lemma \( L \) sia un caso particolare di \( A \) (e cioè supponiamo che \( A\vdash L \)).

Supponiamo adesso di dover dimostrare il teorema \( B \), e che per dimostrare \( B \) sia necessario usare \( L \) (cioè supponiamo che \( \Gamma,L\vdash B \), dove \( \Gamma \) è un insieme di vari lemmi). Secondo voi è brutto, nel punto della dimostrazione di dimostrazione di \( B \) in cui occorre usare \( L \), dire semplicemente che si è usato \( A \)?

Secondo me lo è, però è anche vero che a volte è molto più comodo dire semplicemente che "la tesi segue da \( A \)".

[vict85]

Comunque, penso non esista una risposta generale. Dipende da quanto \(A\) sia lontano da quello che stai cercando di dimostrare e il contesto. Per esempio, usare un teorema di topologia generale per dimostrare qualcosa di analisi sui reali è possibile ma non sempre è appropriato. Se stai dimostrando qualcosa per un articolo di ricerca, è meglio usare un teorema con un nome piuttosto che un lemma su uno specifico manuale.

[j18eos]

"marco2132k":[...][quote="j18eos"]Domanda: \( L \) la si dimostra senza usare \( A \)?

Sì. [...][/quote]Allora scrivi:

Da \(L\) segue che...

e ti passa la paura!

Un po' come nella dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass: basta usare l'assioma della Scelta Numerabile e non l'assioma della Scelta in tutta la sua generalità!

Ti torna?

[gabriella127]

"marco2132k":

[quote="gabriella127"]Un caso è quello del teorema della funzione inversa e del teorema delle funzioni implicite. Alcuni testi mettono prima quello della funzione inversa, da cui dimostrano quello delle funzioni implicite, altri fanno il contrario.

No questo non è il mio caso, \( A \) non è equivalente ad \( L \).[/quote]

Sì sì, certo, non mi riferivo al tuo caso, stavo rispondendo a vict.

[marco2132k]

"G.D.":C'è una cosa che non ho capito.

Se \( L \) è un caso particolare di \( A \) e quindi segue da \( A \), allora \( L \) si dimostra a partire da \( A \). E quindi ti serve sapere che \( A \) è vero.

Se dimostri \( A \) a partire da \( L \), allora ti serve sapere che \( L \) è vero. Ma non puoi sapere che \( L \) è vero se prima non sai che \( A \) è vero, dato che \( L \), segue da \( A \).

Mm, non è proprio così. È vero che assunto \( A \) segue \( L \), ma senza aver prima dimostrato \( L \) (ovviamente senza usare \( A \)) non avrei saputo dimostrare \( A \).

"j18eos":Domanda: \( L \) la si dimostra senza usare \( A \)?

Sì.

Comunque questa è una situazione molto comune in analisi, credo. Si dimostra che una cosa vale per funzioni di un certo tipo (ad esempio le funzioni semplici a valori in \( \left[0,+\infty\right] \), o -nel mio caso- le funzioni lineari) e poi si sfrutta questo fatto per arrivare a qualcosa di più generale.

"gabriella127":Dire 'segue da $ A $' non è tanto che è brutto, mi pare che fai un dispetto a chi legge, perché non sa se serve solo $ L $ (che comunque non è detto che balzi agli occhi che segue da $ A $), o stai usando tutto il malloppone $ A $.

Diciamo anche che il rasoio di Occam suggerirebbe di no (è anti-malloppone). In effetti sì, è anche brutto, ridondante.

(comunque avevo pensato la stessa cosa di G. D, però vabbe', si può pensare che $ L $ è un caso particolare di $ A $, già dimostrato, e che $ A $ sia una generalizazione.)

Sì esatto, son d'accordo con te, secondo me si fa un dispetto a chi legge (anche perché può essere che in altre trattazioni si dimostri \( A \) senza usare \( L \), e quindi dire che \( A\vdash L \) non mette in rilievo che la strada seguita può essere un'altra).

A volte tuttavia è oggettivamente più comodo dire che una cosa segue dal teorema di Pitagora piuttosto che dal Lemma 1.12.3.

"gabriella127":Un caso è quello del teorema della funzione inversa e del teorema delle funzioni implicite. Alcuni testi mettono prima quello della funzione inversa, da cui dimostrano quello delle funzioni implicite, altri fanno il contrario.

No questo non è il mio caso, \( A \) non è equivalente ad \( L \).

[gabriella127]

Un caso è quello del teorema della funzione inversa e del teorema delle funzioni implicite. Alcuni testi mettono prima quello della funzione inversa, da cui dimostrano quello delle funzioni implicite, altri fanno il contrario.

[vict85]

"G.D.":C'è una cosa che non ho capito.

Se \(L\) è un caso particolare di \(A\) e quindi segue da \(A\), allora \(L\) si dimostra a partire da \(A\). E quindi ti serve sapere che \(A\) è vero.

Se dimostri \(A\) a partire da \(L\), allora ti serve sapere che \(L\) è vero. Ma non puoi sapere che \(L\) è vero se prima non sai che \(A\) è vero, dato che \(L\), segue da \(A\).

Non è così raro in matematica che due teoremi possano essere usati per dimostrarsi l'un l'altro. Ovviamente, deve essere possibile dimostrare uno dei due senza usare l'altro, altrimenti non si sta dimostrando alcunché.

[j18eos]

Domanda: \(L\) la si dimostra senza usare \(A\)?

[gabriella127]

Dire 'segue da $A$' non è tanto che è brutto, mi pare che fai un dispetto a chi legge, perché non sa se serve solo $L$ (che comunque non è detto che balzi agli occhi che segue da $A$), o stai usando tutto il malloppone $A$.

Diciamo anche che il rasoio di Occam suggerirebbe di no (è anti-malloppone). In effetti sì, è anche brutto, ridondante.

(comunque avevo pensato la stessa cosa di G. D, però vabbe', si può pensare che $L$ è un caso particolare di $A$, già dimostrato, e che $A$ sia una generalizazione.)

[G.D.5]

C'è una cosa che non ho capito.

Se \(L\) è un caso particolare di \(A\) e quindi segue da \(A\), allora \(L\) si dimostra a partire da \(A\). E quindi ti serve sapere che \(A\) è vero.

Se dimostri \(A\) a partire da \(L\), allora ti serve sapere che \(L\) è vero. Ma non puoi sapere che \(L\) è vero se prima non sai che \(A\) è vero, dato che \(L\), segue da \(A\).

[vict85]

Se \(L\) è un caso particolare di \(A\) non vedo quale sia il problema. Generalmente si cerca però di usare la versione del teorema che più si adatta alla dimostrazione.