Congettura per stabilire se un numero non è primo
Se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo.
"a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro.
Ad esempio 2/57 da il quoziente 0,035087719298245614 che ha un periodo di 18 cifre e siccome
(57-1)/18 = 3,1 , visto che 3,1 non è intero allora 57 non è primo.
Preciso che questa congettura non determina se b è primo ma determina se b non è primo, dato che la congettura non riesce ad identificare tutti i numeri che non sono primi.
I numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare tra l'intervallo 3-5000 ( da dove sono stati esclusi i numeri pari e i multipli di 5 ) sono 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 -
2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -
I numeri di Carmichael sono un sottoinsieme dell'insieme di numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare.
Gradirei ricevere argomentazioni o dimostrazioni su questa mia congettura. Grazie in anticipo.
"a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro.
Ad esempio 2/57 da il quoziente 0,035087719298245614 che ha un periodo di 18 cifre e siccome
(57-1)/18 = 3,1 , visto che 3,1 non è intero allora 57 non è primo.
Preciso che questa congettura non determina se b è primo ma determina se b non è primo, dato che la congettura non riesce ad identificare tutti i numeri che non sono primi.
I numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare tra l'intervallo 3-5000 ( da dove sono stati esclusi i numeri pari e i multipli di 5 ) sono 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 -
2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -
I numeri di Carmichael sono un sottoinsieme dell'insieme di numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare.
Gradirei ricevere argomentazioni o dimostrazioni su questa mia congettura. Grazie in anticipo.
Risposte
Dico che ottusangolo ha già dato una risposta più che definitiva. La lunghezza del periodo dell'allineamento $b$-esimale periodico (qui, $b\ge 2$ è un intero) di una frazione $m/n$, in cui $m,n\in ZZ$, $n \ge 1$ e $\gcd(b,n) = 1$, è pari esattamente all'ordine moltiplicativo $k$ di $n$ alla base $b$. D'altronde, $k$ divide $\phi(n)$ - e $\phi(n) = n-1$, se $n$ è primo. Perciò $n$ è necessariamente composto, se $n-1$ non è divisibile per $k$.
Un saluto a tutti 
Pur non essendo un esperto di teoria dei numeri (e mi guardo bene dal cercare di diventarlo!)
mi sento di rassicurare Explorer sulla validità della congettura,che può essere espressa anche così:
Sia b un intero, se b è pari (dunque se termina per 0,2,4,6,8) allora non è primo
altrimenti se b è dispari consideriamo 2/b, che è un numero decimale.
se non è periodico allora non è primo
se è periodico con antiperiodo non è primo
( si noti che in entrambi i casi ha come fattori 2 e/o 5,e il fatto di essere in base 10 non è una
coincidenza)
infine se è periodico senza antiperiodo, sia c la lunghezza del periodo (cioè il
numero di cifre del periodo)
se (b-1)/c non è un intero allora b non è primo,altrimenti nulla si può dire.
Purtroppo, o per fortuna (a seconda dei punti di vista) questa non è una congettura ma una immediata conseguenza di un classico teorema di T.D.N. ovvero il gaussiano di un numero b divide la funzione di Eulero di b (che conta il numero di coprimi minori di b).Ed ovviamente se b è primo tale numero è b-1. Quindi se b è primo c divide b-1.
Pur non essendo un esperto di teoria dei numeri (e mi guardo bene dal cercare di diventarlo!)
mi sento di rassicurare Explorer sulla validità della congettura,che può essere espressa anche così:
Sia b un intero, se b è pari (dunque se termina per 0,2,4,6,8) allora non è primo
altrimenti se b è dispari consideriamo 2/b, che è un numero decimale.
se non è periodico allora non è primo
se è periodico con antiperiodo non è primo
( si noti che in entrambi i casi ha come fattori 2 e/o 5,e il fatto di essere in base 10 non è una
coincidenza)
infine se è periodico senza antiperiodo, sia c la lunghezza del periodo (cioè il
numero di cifre del periodo)
se (b-1)/c non è un intero allora b non è primo,altrimenti nulla si può dire.
Purtroppo, o per fortuna (a seconda dei punti di vista) questa non è una congettura ma una immediata conseguenza di un classico teorema di T.D.N. ovvero il gaussiano di un numero b divide la funzione di Eulero di b (che conta il numero di coprimi minori di b).Ed ovviamente se b è primo tale numero è b-1. Quindi se b è primo c divide b-1.
"vict85":
Intanto potresti pensare al perché funziona... Per i matematici una verifica di anche 500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 di numeri non vale nulla se non c'é una dimostrazione.
E già. Ma siccome ci vuol talmente poco... Magari per il 5001 numero non va più bene. Intendiamoci: non si dimostra nulla così ma, ripeto, un programmino che lo fa per noi ci mette poco (il mio primissimo esercizio in C: dato un numero scriverne la scomposizione in primi
)"Explorer":
Secondo voi se questa congettura venisse dimostrata sarebbe di particolare importanza per lo studio della teoria dei numeri?
Se è vera è già meritevole d'esser dimostrata
Tutto è utile.P.S. Per Explorer: complimenti per il tuo avatar. Molto carino.
Secondo voi se questa congettura venisse dimostrata sarebbe di particolare importanza per lo studio della teoria dei numeri?
Intanto potresti pensare al perché funziona... Per i matematici una verifica di anche 500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 di numeri non vale nulla se non c'é una dimostrazione.
Hai provato a vedere se vale anche con altre basi? Almeno si può capire se la base influisce.
Hai provato a vedere se vale anche con altre basi? Almeno si può capire se la base influisce.
"Explorer":
L'ho verificata fino a 5000 e funziona, ho congetturato che funziona sempre.
Si potrebbe provare intanto a verificarla per i primi 50000, o 500000...
e nel caso di a/b periodico come si fa a determinare se b non è primo?
A.B.
A.B.
"andrew.cgs":
ma funziona sempre?
L'ho verificata fino a 5000 e funziona, ho congetturato che funziona sempre.
ma funziona sempre?
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