Congettura per stabilire se un numero non è primo
Se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo.
"a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro.
Ad esempio 2/57 da il quoziente 0,035087719298245614 che ha un periodo di 18 cifre e siccome
(57-1)/18 = 3,1 , visto che 3,1 non è intero allora 57 non è primo.
Preciso che questa congettura non determina se b è primo ma determina se b non è primo, dato che la congettura non riesce ad identificare tutti i numeri che non sono primi.
I numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare tra l'intervallo 3-5000 ( da dove sono stati esclusi i numeri pari e i multipli di 5 ) sono 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 -
2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -
I numeri di Carmichael sono un sottoinsieme dell'insieme di numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare.
Gradirei ricevere argomentazioni o dimostrazioni su questa mia congettura. Grazie in anticipo.
"a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro.
Ad esempio 2/57 da il quoziente 0,035087719298245614 che ha un periodo di 18 cifre e siccome
(57-1)/18 = 3,1 , visto che 3,1 non è intero allora 57 non è primo.
Preciso che questa congettura non determina se b è primo ma determina se b non è primo, dato che la congettura non riesce ad identificare tutti i numeri che non sono primi.
I numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare tra l'intervallo 3-5000 ( da dove sono stati esclusi i numeri pari e i multipli di 5 ) sono 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 -
2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -
I numeri di Carmichael sono un sottoinsieme dell'insieme di numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare.
Gradirei ricevere argomentazioni o dimostrazioni su questa mia congettura. Grazie in anticipo.
Risposte
"Explorer":
Sarebbe corretto definirla proprietà? Se così va bene le possiamo dare anche un nome "proprietà dell'esploratore"sempre che non sia stata in precedenza formulata.
Se vai cercando gloria, non è certo in una proprietà del genere che la riuscirai a trovare.
X vict85, grazie per le distinzioni dei termini che adesso conosco in modo più approfondito. Comunque ho usato i due termini ipotesi e congettura per parlare della stessa cosa perchè sapevo che la congettura di Riemann e comunemente conosciuta come ipotesi di Riemann.
"Explorer":
La sto continuando a chiamare "congettura" usando le virgolette perchè è chiaro che non si tratta più di una ipotesi ma di un fatto dimostrato. Arrivato a questo punto come la dobbiamo definire? Sarebbe corretto definirla proprietà? Se così va bene le possiamo dare anche un nome "proprietà dell'esploratore"
Ipotesi - si fa quando si inizia a cercare dimostrazioni
Congettura - cosa che si ritiene molto probabilmente corretta (i dati, che dovrebbero essere molti, sembrano confermare ma manca una dimostrazione). Può anche essere che è considerata corretta da quasi tutti.
Teorema, lemma, proprieta... - dimostrato, ciò che le differenzia è la gerarchia che l'autore vuole usare. A parte alcuni nomi ormai pienamente accettati in molti casi un teorema di uno può essere un lemma di un altro. Per esempio il teorema di pitagora potrebbe tranquillamente essere considerato un caso particolare di un teorema più generale (cosa che non viene fatta per motivi storici).
La sto continuando a chiamare "congettura" usando le virgolette perchè è chiaro che non si tratta più di una ipotesi ma di un fatto dimostrato. Arrivato a questo punto come la dobbiamo definire? Sarebbe corretto definirla proprietà? Se così va bene le possiamo dare anche un nome "proprietà dell'esploratore" sempre che non sia stata in precedenza formulata.
sempre che non sia stata in precedenza formulata.
"Explorer":
Secondo voi se questa congettura venisse dimostrata sarebbe di particolare importanza per lo studio della teoria dei numeri?
No. Per il semplice fatto che - come è stato detto - ogni osservazione, risultato, congettura, eccetera inerente la lunghezza del periodo di una frazione si riporta a un'osservazione, un risultato, una congettura, eccetera riguardante l'ordine moltiplicativo.
"Explorer":
Probabilmente non sono stato chiaro con la prima domanda, cercherò di spiegarmi meglio: c'è un modo per distinguere i numeri primi che generano l'espansione massima del periodo da quelli che generano un espansione decimale non massima senza eseguire l'operazione di divisione?
Sì. Posto di sapere che $p$ è primo in $NN$, basta - si fa per dire ... - stabilire se $10$ è una radice primitiva modulo p. I.e., verificare che $10^{(p-1)/k}$ è incongruo ad 1 (modulo p), per ogni intero $k > 1$ tale che $k$ è divisore di $p-1$.
"Explorer":
Sei sicuro che ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b non è sempre primo? Conosci un numero composto che genera un periodo (b-1)/2?
Se b è composto e il periodo della frazione (irriducibile) a/b è lungo (b-1)/2, allora $\gcd(10,b) = 1$ e $\lambda(b)$ = (b-1)/2 (con le notazioni dei post precedenti). Si tratta, perciò, di determinare un intero dispari $b \ge 1$ tale che $b$ sia composto e $2\cdot \lambda(b) = b-1$. D'altronde, $\lambda(b)$ divide $\phi(b)$. Se tuttavia, per assurdo, $\lambda(b)$ è un divisore proprio di $\phi(b)$, allora $2\cdot \lambda(b) \le \phi(b) < b-1$ (visto che b è composto). Dunque, perché sia $2\cdot \lambda(b) = b-1$, necessariamente $\lambda(b) = \phi(b)$. Il problema, di conseguenza, è di stabilire se esiste un qualche intero dispari $b \ge 1$ tale che i) b sia composto; ii) $\lambda(b) = \phi(b)$; iii) $2\cdot\phi(b) = b-1$. Dalla iii), segue chiaramente che $b$ dev'essere libero da quadrati (i.e., non può essere divisibile per il quadrato di alcun numero primo). Sia, pertanto, $b = p_1 p_2 \ldots p_r$, dove $r \ge 2$ e $p_1, p_2, \ldots, p_r \in NN$ sono fattori primi a due a due distinti, ordinati di modo che $3 \le p_1 \le p_2 \le \ldots \le p_r$, e tutti diversi da $5$. Si vuole $1 + 2(p_1 - 1) (p_2 - 1)\ldots (p_r - 1) = p_1 p_2 \ldots p_r$. Pertanto può dirsi che a) $r \ge 3$ (modulo conti); b) dev'essere $\gcd(p_i-1,p_j) = 1$, per ogni $i=2,\ldots,r$ e $j = 1, 2, \ldots, i-1$. Ecco spiegato - come annotava vict85 - perché risulta tanto difficile esibire l'esempio concreto di un numero composto $b$ per cui il periodo della frazione 1/b sia lungo (b-1)/2. Il che, naturalmente, non ne esclude l'esistenza - che, anzi, trovo più che sensato postulare.
"Explorer":
Probabilmente non sono stato chiaro con la prima domanda, cercherò di spiegarmi meglio: c'è un modo per distinguere i numeri primi che generano l'espansione massima del periodo da quelli che generano un espansione decimale non massima senza eseguire l'operazione di divisione?
Sei sicuro che ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b non è sempre primo?
Io ho verificato tutti i numeri dispari da 3 a 50000 e non mi risulta che ci sia un numero composto che generi un periodo lungo (b-1)/2.
Conosci un numero composto che genera un periodo (b-1)/2?
Io mi chiedo cosa ci sia di poco chiaro nella sua risposta.
1. La tua non è una congettura perché è stata dimostrata
2. Il periodo DEVE essere un divisore di $varphi(n)$ cioè deve essere un divisore del numero di elementi coprimi con $n$. Questo numero è uguale a $n-1$ solo se $n$ è primo. Sicuramente $(n-1)/2$ non può essere divisore di un numero $(n-1)/2 < s < n-1$ perché 2 è il più piccolo numero primo.
Quindi ci sono due casi in cui il periodo può essere uguale a $(n-1)/2$ :
a) $varphi(n) = n-1$ e quindi $n$ è primo.
b) $varphi(n) = (n-1)/2$ ed in questo caso non è primo... ma può veramente capitare?
Consideriamo che la funzione totiente di un numero $n = p_1^alpha*p_2^beta*...*p_s^gamma$ è uguale a: $varphi(n) = p_1^(alpha-1)varphi(p_1)*p_2^(beta-1)varphi(p_2)*...*p_s^(gamma-1)varphi(p_s) = p_1^(alpha-1)(p_1 - 1)*p_2^(beta-1)(p_2-1)*...*p_s^(gamma-1)(p_s - 1)$.
La prima cosa da osservare è che $(n-1)/2$ ed $n$ sono per forza coprimi mentre $varphi(n)$ e $n$ lo possono essere solamente se $alpha, beta, ..., gamma$ sono tutti uguali a 1. Quindi $n$ deve essere prodotto di primi alla prima potenza. A questo punto vediamo che $varphi(n) = (p_1 - 1)*(p_2-1)*...*(p_s - 1)$.
Dato che $p_1, p_2...p_s$ sono tutti diversi da $2$ perché altrimenti $(n-1)/2$ non sarebbe un intero abbiamo che $varphi(n)$ dovrebbe essere divisibile per $2^s$ (e quindi $n-1$ dovrebbe essere divisibile per $2^(s+1)$)
A quest'ora non sono abbastanza sveglio da fare altre osservazioni. Nessuna di queste comunque impedisce l'esistenza del caso b) anche se spiega come mai sia difficile trovare il caso.
P.S: Il fatto che $n$ sia formato da soli primi alla prima potenza è necessario ma non sufficiente affinché $varphi(n)$ e $n$ siano coprimi. E' necessario anche che $p_h-1$ non sia divisibile per nessun altro primo che divide $n$. per esempio $n = 21 = 3*7$ e $varphi(n) = varphi(21) = (3-1)(7-1) = 2*6 = 12$ che non è coprimo con $21$.
Probabilmente non sono stato chiaro con la prima domanda, cercherò di spiegarmi meglio: c'è un modo per distinguere i numeri primi che generano l'espansione massima del periodo da quelli che generano un espansione decimale non massima senza eseguire l'operazione di divisione?
Sei sicuro che ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b non è sempre primo?
Io ho verificato tutti i numeri dispari da 3 a 50000 e non mi risulta che ci sia un numero composto che generi un periodo lungo (b-1)/2.
Conosci un numero composto che genera un periodo (b-1)/2?
Sei sicuro che ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b non è sempre primo?
Io ho verificato tutti i numeri dispari da 3 a 50000 e non mi risulta che ci sia un numero composto che generi un periodo lungo (b-1)/2.
Conosci un numero composto che genera un periodo (b-1)/2?
"Explorer":
Di a/b quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1? Cioè possiamo distinguere questi numeri che generano l'espansione massima del periodo senza svolgere l'operazione di divisione?
Sì. Sono solo i primi.
"Explorer":
Se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, "b" è sempre primo?
Vedi sopra.
"Explorer":
Ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b è primo?
No.
Visto che si è iniziato a discutere sul metodo adottato per arrivare alla conclusione della "congettura" lo esporrò di seguito, la mia preparazione matematica è basata essenzialmente su conoscenze elementari, sono venuto a conoscenza del piccolo teorema di Fermat e dei numeri di Carmichael solo dopo aver esposto la "congettura" su altri forum. Devo anche aggiungere che è da molto che sono attratto dai numeri primi e dall'espansione decimale e su questi argomenti ho fatto solo un analisi da autodidatta, cioè non ho messo in gioco altre conoscenze matematiche già acquisite.
La cosa ha avuto inizio quando mi sono chiesto, qual è il limite massimo di cifre che può avere un periodo?
Il limite massimo del numero di cifre del periodo è determinato sempre dal divisore e a/b avrà sempre un quoziente con un periodo massimo di cifre b-1, visto che la lunghezza del periodo è determinata dai resti della divisione e quando il resto di una divisione si ripete inizia il periodo e i resti di una divisione non possono essere maggiore di b-1
La domanda successiva che mi sono posto è, di a/b quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1?
Mi sono accorto che alcuni numeri primi hanno questa caratteristica, ad esempio 2/7 da un quoziente con un periodo di 6 cifre 2/17 ne ha uno di 16 e 2/23 ne ha uno di 22 e così via.
Altra domanda che mi sono posto è, se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, "b" è sempre primo?
Hanno attirato la mia attenzione anche altri numeri primi che hanno una caratteristica simile e cioè determinano un periodo lungo (b-1)/2 questi primi sono 13, 31, 43, 67, 71 ecc.
Ma ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b è primo?
Quindi mi sono chiesto se i primi si comportano sempre in modo particolare nel determinare il periodo e visto che i numeri primi che avevo verificato davano un periodo lungo un multiplo di (b-1) allora ho azzardato che, "se il quoziente di a/b ha un periodo lungo c e (b-1)/c mi da un numero intero allora b è primo". Che risulta essere falso da 1 a 5000 per i seguenti numeri 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 - 2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -
Da qui la congettura che risulta essere vera, "se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo. "a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro"
Come mi sono accorto che la congettura tratta tutti i numeri di Carmichael come se fossero primi?
Ho posto un argomento simile in un altro forum e un utente mi ha fatto notare che tra i numeri composti che non sono stati trovati dalla congettura ci sono parecchi numeri di Carmichael. Ho intuito che in quell'insieme potrebbero esserci tutti i numeri di Carmichael dato che tra quelli che io avevo proposto nel forum avevo escluso a priori i multipli di 5, che sono ovviamente numeri composti facilmente riconoscibili, quindi ho adattato la congettura anche sui multipli di 5 e ho costatato che la congettura tratta anche i numeri di Carmichael multipli di 5 come se fossero primi.
Adesso giro queste due domande a chi ha più esperienza di me in matematica:
Di a/b quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1? Cioè possiamo distinguere questi numeri che generano l'espansione massima del periodo senza svolgere l'operazione di divisione?
Se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, "b" è sempre primo?
Ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b è primo?
La cosa ha avuto inizio quando mi sono chiesto, qual è il limite massimo di cifre che può avere un periodo?
Il limite massimo del numero di cifre del periodo è determinato sempre dal divisore e a/b avrà sempre un quoziente con un periodo massimo di cifre b-1, visto che la lunghezza del periodo è determinata dai resti della divisione e quando il resto di una divisione si ripete inizia il periodo e i resti di una divisione non possono essere maggiore di b-1
La domanda successiva che mi sono posto è, di a/b quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1?
Mi sono accorto che alcuni numeri primi hanno questa caratteristica, ad esempio 2/7 da un quoziente con un periodo di 6 cifre 2/17 ne ha uno di 16 e 2/23 ne ha uno di 22 e così via.
Altra domanda che mi sono posto è, se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, "b" è sempre primo?
Hanno attirato la mia attenzione anche altri numeri primi che hanno una caratteristica simile e cioè determinano un periodo lungo (b-1)/2 questi primi sono 13, 31, 43, 67, 71 ecc.
Ma ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b è primo?
Quindi mi sono chiesto se i primi si comportano sempre in modo particolare nel determinare il periodo e visto che i numeri primi che avevo verificato davano un periodo lungo un multiplo di (b-1) allora ho azzardato che, "se il quoziente di a/b ha un periodo lungo c e (b-1)/c mi da un numero intero allora b è primo". Che risulta essere falso da 1 a 5000 per i seguenti numeri 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 - 2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -
Da qui la congettura che risulta essere vera, "se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo. "a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro"
Come mi sono accorto che la congettura tratta tutti i numeri di Carmichael come se fossero primi?
Ho posto un argomento simile in un altro forum e un utente mi ha fatto notare che tra i numeri composti che non sono stati trovati dalla congettura ci sono parecchi numeri di Carmichael. Ho intuito che in quell'insieme potrebbero esserci tutti i numeri di Carmichael dato che tra quelli che io avevo proposto nel forum avevo escluso a priori i multipli di 5, che sono ovviamente numeri composti facilmente riconoscibili, quindi ho adattato la congettura anche sui multipli di 5 e ho costatato che la congettura tratta anche i numeri di Carmichael multipli di 5 come se fossero primi.
Adesso giro queste due domande a chi ha più esperienza di me in matematica:
Di a/b quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1? Cioè possiamo distinguere questi numeri che generano l'espansione massima del periodo senza svolgere l'operazione di divisione?
Se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, "b" è sempre primo?
Ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b è primo?
"explorer":
Se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo. [...] Preciso che questa congettura non determina se b è primo ma determina se b non è primo, dato che la congettura non riesce ad identificare tutti i numeri che non sono primi. [...] I numeri di Carmichael sono un sottoinsieme dell'insieme di numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare.
Il caso normale: un appassionato di TdN che, per puro diletto, indaga le proprietà dei numeri. Anzitutto, è naturale che il nostro caso normale abbia competenze (più che) minime della materia - d'altronde, se è capace a calcolare l'espansione decimale di una frazione e possiede il concetto di periodicità, anzi addirittura è informato sul conto del signor Carmichael ... Secondariamente, trovo esagerato - anzi smodatamente esagerato - spingersi a pensare che sia indicativo di un'ottima intuizione aver collegato la lunghezza del periodo di una frazione (irriducibile) alla natura (primale o composta) del suo denominatore. Se così malauguratamente fosse, che aggettivo dovremmo mai inventarci per le intuizioni di un tale Ramanujan? Mi ripeto: forse suonerò distruttivo, ma che sia più obiettivo di tanti altri opinionisti non si può certo discutere.
"vict85":
[quote="Gabriel"][quote="vict85"]
Prima di tutto dovrebbe avere la voglia di guardare le espansioni decimali o mettersi a studiare le classi di resto... I dati non soli lì ad aspettarti devi pur sempre cercare nella giusta direzione... Non mi sembra molto opportuno essere così distruttivo...
Se scrivo "chiunque si fermasse ad osservare i numeri", intendo precisamente "chiunque si fermasse ad osservare i numeri". Mi pare ovvio che una verità, ancorché evidente, non possa rivelarsi, se nessuno si dà pena di guardare. Il punto è che i teorici dei numeri - professionisti che siano o puramente appassionati - non fanno altro che osservare numeri alla ricerca di regolarità. Inoltre, non sento di essere distruttivo. Casomai, mi dimostro più obiettivo d'altri.[/quote]
Io non la ritengo così evidente senza l'opportuna preparazione matematica...
In ogni caso dipende dalla sua età... se è uno studente universitario di matematica posso concordare con te ma se è già uno studente liceale il fatto che abbia guardato mi fa già piacere...[/quote]
concordo...
cioè non mi sebra poi una csa così evidente... di sicuro devi avere un minimo di preparazione matematica, e poi un'ottima intuzione....
ciao
"Gabriel":
[quote="vict85"]
Prima di tutto dovrebbe avere la voglia di guardare le espansioni decimali o mettersi a studiare le classi di resto... I dati non soli lì ad aspettarti devi pur sempre cercare nella giusta direzione... Non mi sembra molto opportuno essere così distruttivo...
Se scrivo "chiunque si fermasse ad osservare i numeri", intendo precisamente "chiunque si fermasse ad osservare i numeri". Mi pare ovvio che una verità, ancorché evidente, non possa rivelarsi, se nessuno si dà pena di guardare. Il punto è che i teorici dei numeri - professionisti che siano o puramente appassionati - non fanno altro che osservare numeri alla ricerca di regolarità. Inoltre, non sento di essere distruttivo. Casomai, mi dimostro più obiettivo d'altri.[/quote]
Io non la ritengo così evidente senza l'opportuna preparazione matematica...
In ogni caso dipende dalla sua età... se è uno studente universitario di matematica posso concordare con te ma se è già uno studente liceale il fatto che abbia guardato mi fa già piacere...
"vict85":
Prima di tutto dovrebbe avere la voglia di guardare le espansioni decimali o mettersi a studiare le classi di resto... I dati non soli lì ad aspettarti devi pur sempre cercare nella giusta direzione... Non mi sembra molto opportuno essere così distruttivo...
Se scrivo "chiunque si fermasse ad osservare i numeri", intendo precisamente "chiunque si fermasse ad osservare i numeri". Mi pare ovvio che una verità, ancorché evidente, non possa rivelarsi, se nessuno si dà pena di guardare. Il punto è che i teorici dei numeri - professionisti che siano o puramente appassionati - non fanno altro che osservare numeri alla ricerca di regolarità. Inoltre, non sento di essere distruttivo. Casomai, mi dimostro più obiettivo d'altri.
"Gabriel":Non per sminuire l'intuizione di explorer né per contraddirti, ma è talmente evidente che chiunque si fermasse a osservare i numeri - e avesse contezza del fatto che $3, 5, 7, ...$ sono primi e $9, 15, 21, ...$ composti - arriverebbe a.s. alla stessa conclusione.[/quote]
[quote="vict85"]Comunque complimenti a explorer per averlo notato senza sapere la teoria che ci sta sotto...
Prima di tutto dovrebbe avere la voglia di guardare le espansioni decimali o mettersi a studiare le classi di resto... I dati non soli lì ad aspettarti devi pur sempre cercare nella giusta direzione...
Non mi sembra molto opportuno essere così distruttivo...
Forse ti conviene leggere le pagine di Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/DecimalExpansion.html , alle linee in cui si dice che "Any nonregular fraction m/n is periodic, and has a period $\lambda(n)$ independent of m, which is at most n-1 digits long. If n is relatively prime to 10, then the period $\lambda(n)$ of m/n is a divisor of $\phi(n)$ and has at most $\phi(n)$ digits, where $\phi(\cdot)$ is the totient function. It turns out that $\lambda(n)$ is the multiplicative order of 10 (mod n) (Glaisher 1878, Lehmer 1941)." Come vedi, tutto già ampiamente noto.
@explorer: se ho compreso la domanda, mi chiedi di spiegarti da dove nasce un'intuizione. In tal caso, ti rispondo subito che lo trovo impossibile. Càpita, semplicemente, che, osservando i dati, se ne intuisca - appunto - una logica.
"Gabriel":Non per sminuire l'intuizione di explorer né per contraddirti, ma è talmente evidente che chiunque si fermasse a osservare i numeri - e avesse contezza del fatto che $3, 5, 7, ...$ sono primi e $9, 15, 21, ...$ composti - arriverebbe a.s. alla stessa conclusione.[/quote]
[quote="vict85"]Comunque complimenti a explorer per averlo notato senza sapere la teoria che ci sta sotto...
Gabriel mi spieghi come si fa ad arrivare alla stessa conclusione sapendo che 3,5,7 sono primi e 9,15,21 non lo sono?
"vict85":Non per sminuire l'intuizione di explorer né per contraddirti, ma è talmente evidente che chiunque si fermasse a osservare i numeri - e avesse contezza del fatto che $3, 5, 7, ...$ sono primi e $9, 15, 21, ...$ composti - arriverebbe a.s. alla stessa conclusione.
Comunque complimenti a explorer per averlo notato senza sapere la teoria che ci sta sotto...
"Gabriel":
Dico che ottusangolo ha già dato una risposta più che definitiva. La lunghezza del periodo dell'allineamento $b$-esimale periodico (qui, $b\ge 2$ è un intero) di una frazione $m/n$, in cui $m,n\in ZZ$, $n \ge 2$ e $\gcd(b,n) = 1$, è pari esattamente all'ordine moltiplicativo $k$ di $n$ alla base $b$. D'altronde, $k$ divide $\phi(n)$ - e $\phi(n) = n-1$, se $n$ è primo. Perciò $n$ è necessariamente composto, se $n-1$ non è divisibile per $k$.
Comunque complimenti a explorer per averlo notato senza sapere la teoria che ci sta sotto...
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