Concetto di limite

[Roby9]

Salve a tutti.
Scusate la banalità della domanda, ma qualcuno può, per favore, spiegarmi in modo semplice (magari anche con qualche esempio) il concetto di limite e di punto di accumulazione.
Intuitivamente l'ho capito (forse!!), ma al momento di mettere in pratica la definizione di limite, allora mi perdo un pò.
Per adesso ho capito (ad esempio per il limite finito di una funzione in un punto) che preso un numero positivo piccolissimo (lo chiamiamo e), allora il limite di una funzione (al tendere di x verso ad esempio x1) deve essere sempre compreso in un intorno di e.
Cioè quando x si sposta sull'ascisse verso x1 allora la funzione si sposta verso il limite L.
Sicuramente Voi avrete capito che io non ho capito niente.
Pertanto Vi ringrazio anticipatamente per ogni eventuale vostro sforzo per farmi comprendere tale concetto.

[eafkuor1]

"Bemipefe":Quindi come avevo detto prima un punto di accumulazione ha a che fare con la densita dell'insieme Q e dell'insieme R.

esattamente

[Bemipefe]

Quindi come avevo detto prima un punto di accumulazione ha a che fare con la densita dell'insieme Q e dell'insieme R.

Adesso ci sono....

[eafkuor1]

Questa è una cosa che ho letto proprio ieri in Analisi I

La definizione di punto di accumulazione non è una cosa così difficile, riporto la definizione del libro:

Sia $E sube RR^n$. Un punto $x_0 in RR^n$ si chiama punto di accumulazione per $E$ se in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti punti di $E$.

Se per esempio diciamo che $E$ è l'intervallo aperto $( 1,8 )$, tutti i punti dell' intervallo chiuso $[1,8]$ sono punti di accumulazione per $E$. Infatti anche prendendo $x_0=1$ o $x_0=8$ in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti punti di $E$.

Se invece prendiamo un insieme $I sube N$, per esempio l' insieme ${1,8}$, è ovvio che preso un numero naturale $0

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[Camillo]

Tralasciando per ora il caso del punto all'infinito , per un certo insieme considera un punto , chiamiamolo $x_0$ esso è punto di accumulazione per quell'insieme se in QUALUNQUE intorno di $x_0 $ esistono INFINITI punti che appartengono all'insieme .
Le parole importanti sono :
"Qualunque intorno "( grande , piccolo, a piacere )
"infiniti punti"
se rileggi con attenzione l'esempio che ho fatto , l'insieme $(1,1/2,...1/n,....)$ capirai perchè 0 è un punto di accumulazione di quell'insieme , anche se non ne fa parte.
Capito questo puoi passare ad esaminare e comprendere la definizione di cavalli che è quella classica , ma meno immediata da comprendere . In sintesi dice che l'intersezione tra gli insiemi $U_xo$ e $A$ non deve mai essere vuota , cioè ci devbe essere sempre almeno un elemento comune .
Camillo

[Bemipefe]

Ok ma continuo a non capire che cos'è un punto di accumulazione.

Ho problemi di visualizzazione, ma mi sembra che "cavallipurosangue" abbia postato questo:



Sei sicuro che in N non valga?

- Prendo un punto $x0$
- Creu un intorno $U_(x0)$
- Tolgo dall'intorno il punto $x_0$ sicuramente appartenente al dominio A
- L'intorno è per natura un insieme tale da essere #$U_x0 >= 4$ (considerando anche gli insiemi impropri "vuoto" e "sestesso")
- Quindi è vero che se tolgo il punto $x_0$ dall'intorno , l'intorno è un insieme diverso dal "vuoto".

E questo vale anche in N mi pare.........

[Camillo]

In forma più discorsiva :

Dato un insieme $ E sube RR $ , si dice che $x_0$ è un punto di accumulazione di $E$ se in ogni intorno $ U_0 $ di $ x_0$ cadono INFINITI punti di $E$.

Se $x_0$ è un punto di accumulazione di un insieme , NON è detto che $ x_0$ faccia parte dell'insieme stesso.

Ad esempio, zero è l'unico punto di accumulazione per l'insieme $ E = (1,1/2,1/3,...1/n,....) $ E NON appartiene all'insieme stesso .
TUTTI i punti dell'intervallo $[0, 1] $ sono di accumulazione per l'insieme $E$ costituito dai punti dello stesso intervallo aventi ascisse razionali , i quali non riempiono l'intervallo medesimo.


Camillo

[cavallipurosangue]

La definizione che conosco io di punto di accumulazione è che se $x_0$ è punto di accumulazione allora vale la seguente proprietà:
$\forallU_{x_0}:U_{x_0}\text{\}{x_0}\capA\ne\O/$ Dove $A$ è il dominio della funzione.
Infatti in $RR$ questo è vero, mentre in $NN$ è verificato solo in un intorno di $+\infty$.

[Bemipefe]

Anche per l'insieme N c'è un punto di accumulazione, uno solo : il punto all' infinito.

Why ?

Mi potreste dare allora la definizione corretta do punto di accumulazione, se questa è diversa da:

Il punto p appartenente all'intervallo I il quale è $p!=x_n$ $AAx_n in I$

[Ale861]

Si avete argione, N ha come punto di accumulazione +infinito, ma io intendevo dire che nessun elemento di N può avere punti di accumulazione
.

[Bemipefe]

Allora quando si dice che un punto di accumulazione è:

Il punto p appartenente all'intervallo I il quale è $p!=x_n$ $AAx_n in I$

.....e sbagliato.
I punti di accumulazione ricordo di averli incontrati infatti parlando della Densità dei Razionali. Si dice come sapete che l'insie,e $Q$ è un insieme denso per il fatto che per ogni intervallo è possibbile trovare un sottointervallo con i punti ancora in $Q$ . Lo stesso accade per $R$ in quanto è l'insieme consequente all'esplicitazione dei razionali in $Q$ .

Ma un punto di accumulazione allore appartiene solo al sottointervallo ?


No perchè.....se la definizione che ho dato io è giusta allora anche in $N$ ci sono punti di accumulazione....

[Camillo]

Anche per l'insieme N c'è un punto di accumulazione, uno solo : il punto all' infinito.

Camillo

[Ale861]

Ok ragazzi, visto che vi ho chiesto già alcune cose vorrei dare il mio contributo, spero utile, a questa vicenda.
A parte la definizione di limite, che hanno già brillantemente dato, io mi soffermerei un pò sul suo significato.
Il limite, in effetti, serve a dirci qual'è l'andamento della funzione avvicinandosi ad un determinato punto. Ecco perchè, poi, del punto in questione non ci interessa il valore della F(x).

Il teorema della permanenza del segno è un esempio di questo. Per questo teorema se il limite tende ad un numero maggiore di zero anche f(x) almeno per un intorno sarà maggiore di zero.

Il punto di accumulazione ce lo dice la parola stessa cos'è, è un punto in cui si accumulano tutti gli infiniti punti di un intorno. Per esempio, i numeri dell'insieme N non sono di accumulazione perchè non appartengono ad intorni continui. Tra 2 e 3 ad esempio vi sono infiniti numeri che non appartengono all'insieme.

[Bemipefe]

Scusami ma questo MathML mi fà impazzire.....

$fp$ volevo scrivere f(p)
$fx$ volevo scrivere f(x)
|x_0 -p|< delta volevo scrivere $|x_0 -p|< delta$

Bye

[Bemipefe]

Ma che coincidenza..........sto ripassando proprio queste cose per l'esame di Calcolo.

Allora..... non sò come ti avranno presentato il limite, ma spessote lo presentano con quella sfilza di simboli matematici che poi da molti non sono capiti.

Il limite è un operazione cheserve per calcolare il valore di una funzione in punto preciso, il punto a cui tende $x$ .
Quindi tendere quì è sinonimo di "assumere". Come tu saprai per definizione la funzione ha un valore $x_0$ nel dominio e un $y_0$ risultante nel codoinio, valore che è unico per quello specifico $x_0$. Poi puo accadere che un $x_n$ produca lo stesso un $y_0$ ma in ogni caso è sempre uno il valore prodotto da una funione, il quale può essere o meno, prodotto anche da altri valori $x_n$ generici.

Quel valore $y_0$ che la funzione assume quando $x$ tende(assume) $x_0$ è esattamente $l$ ossia il limite. Da quì si sviluppa poi tutto uno studio che riguarda la variazione di $l$ al variare dei valori sulle ascisse $x$ .

E quì si può spiegare megio il ruolo della formula che dice che $|f(x_o)-l| Questo significa che quando la distanzatra $x_0$ e un punto fissato $p$ non supera un valore di tolleranza uguale a $delta$.
Accade poi che $f(x_0)$ non dista da $l$ più del valore $varepsilon$. Questo garantisce alla funzione che la funzione si mantenga vicina al punto fissato F($p$ ;$ l$) sapendo che $l=f(p)$.

Se ci sono dubbi non esitare a postare.

[cavallipurosangue]

L'intorno non è di e ma di un punto. "e" potrebbe esser definito come lo scostamento dal centro dell'intorno...
A parte questo a me sembra che il concetto di limite che tu hai sia corretto. Infatti si deve verificare che per ogni intorno piccolo a piacere di un punto di accumulazione del dominio esiste un intorno di un punto del codominio tale che esso contenga l'immagine della funzione.
In simboli:
$\forallU_{x_0},\existsV_l:f(U_{x_0})\subeV_l