Cerco una formaula approssimata del prodotto.....

[mariodic]

Per i fini di una ricerca mi servirebbe una formula approssimata "chiusa" della serie di prodotti seguente:
Q(n)=(1-p)(1-pa)(1-pa^2)(1-pa^3).....(1-pa^(n-1)).
Tener presente che sia "p" che "a" sono costanti reali di valore compreso tra zero ed 1. Se a=1 allora q(n) = (1-p)^n se a è maggiore di zero ma minore di 1 il prodotto tende asintoticamente verso un valore compreso tra zero e uno (questo lo si può verificare con l'uso di un computer).
Ne ho trovate io stesso di tali formule ma, sfortunatamente non danno una soddisfacente approssimazione proprio nella parte più significativa di Q(n), precisamente in corrispondenza dei valori di "n" più bassi.
Grazie

mario1

[mariodic]

citazione:

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Ma cerchi una formula approssimata che caalcoli Q variando a, p ed anche n! Ho fatto qualche tentativo ma mi pare che variando n sia abbastanza tosto, tu, sin ora, cosa hai trovato?

WonderP.

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Il problema è variando "n".
La formula "approssimata" da me ottenuta, l'ho appunto ottenuta mediante l'integrazione (in continuo della variabile, per altro discreta, x) dell'equazione differenziale:
dQ(x)/x=|Q(x)*d(p*a^x)|
eseguendo l'integrale definito tra x=0 e x= n-1 oppure tra x= 1 e x= n
L'equazione di cui sopra ha senso in quanto la variazione di q(n), data dalla differenza tra Q(n+1) e Q(n) è:
(Q(n+1)-Q(n))/1=-Q(n)*p*a^n;
il principio di approssimazione sta nel fatto di aver considerato tale differenziale finito come un differenziale lmite: d(Q(n)*p*a^n (sto trascurando il segno algebrico).
Un'altra strada da me tentata è quella di integrare non la funzione prodotto Q(n), ma la funzione somma:
ln(Q(n))d(p*a^x)=sommatoria(ln(1-p*a^x))d(p*a^x), sfortunatamente non ho trovato la strada per questo integrale.
Grazie
mario1

Modificato da - mariodic il 11/06/2004 15:05:15

Modificato da - mariodic il 11/06/2004 15:08:42

[WonderP1]

Ma cerchi una formula approssimata che caalcoli Q variando a, p ed anche n! Ho fatto qualche tentativo ma mi pare che variando n sia abbastanza tosto, tu, sin ora, cosa hai trovato?

WonderP.