Area ellisse
per trovare l'area di un ellisse in forma canonica, riferita ai propri assi, cioè nella forma $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ho trovato la seguente formula: $"Area"=piab$
dimostrazione:
consideriamo l'ellisse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, con i fuochi $A_1(0,-a)$ e $A_2(0,a)$ riscriviamola in funzione di y: $y=+-bsqrt(1-x^2/a^2)
quindi integrando la funzione $y=bsqrt(1-x^2/a^2)$ che rappresenta la metà superiose dell'ellissi, otteniamo metà dell'area.
quindi l'area sarà uguale a $2int_(A_1)^(A_2)bsqrt(1-x^2/a^2)dx$ che riscritto viene $2bint_(A_1)^(A_2)sqrt(1-x^2/a^2)dx$.
risolviamo l'integrale $ intsqrt(1-x^2/a^2)dx$ che ci fornirà la primitiva per poter calcolare l'integrale che definisce l'area.
poniamo $x/a=sint$, $dx=acostdt$ e $t=asin(x/a)$
ottenendo
$intacos^2tdt$=$aintcostcostdt$ ponendo f=cost (f'=sint) e g'=cost (g=-sint) risolvo per parti e quindi ho:
$aintcos^2tdt=a(-sintcost+intsin^2tdt)$, quindi
$aintcos^2tdt=a(-sintcost+intdt-intcos^2tdt)$, spostando a sinistra l'integrale del coseno al quadrato e dividendo poi entrambi i membri per due otteniamo
$aintcos^2tdt=a(t-sintcost)/2+C
ricordando che $t=asin(x/a)$ si ha che $ intsqrt(1-x^2/a^2)dx=a(asin(x/a)-x/acos(asin(x/a)))/2+C$
ricordando che c'era la costante 2b, otteniamo che l'integrale di partenza è risolto in questo modo
$2ab|(asin(x/a)-x/acos(asin(x/a)))/2|_(A_1)^(A_2)$ semplificando il due e ricordando che $A_1=-a$ e $A_2=a$ possimao riscrivere la soluzione dell'integrale in questo modo $ab|asin(x/a)-x/acos(asin(x/a))|_(-a)^(a)$
sostituendo gli estremi di integrazione ottengo che
$2bint_(A_1)^(A_2)sqrt(1-x^2/a^2)dx=ab(asin(1)+cos(asin(1)-(asin(-1)-cos(asin(-1)))=ab(pi/2-(-pi/2))=piab$
con una formula così comoda, è anche facile trovare l'area dell'ellesse
sperando di non aver fatto banali errori di calcolo
ciao!
dimostrazione:
consideriamo l'ellisse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, con i fuochi $A_1(0,-a)$ e $A_2(0,a)$ riscriviamola in funzione di y: $y=+-bsqrt(1-x^2/a^2)
quindi integrando la funzione $y=bsqrt(1-x^2/a^2)$ che rappresenta la metà superiose dell'ellissi, otteniamo metà dell'area.
quindi l'area sarà uguale a $2int_(A_1)^(A_2)bsqrt(1-x^2/a^2)dx$ che riscritto viene $2bint_(A_1)^(A_2)sqrt(1-x^2/a^2)dx$.
risolviamo l'integrale $ intsqrt(1-x^2/a^2)dx$ che ci fornirà la primitiva per poter calcolare l'integrale che definisce l'area.
poniamo $x/a=sint$, $dx=acostdt$ e $t=asin(x/a)$
ottenendo
$intacos^2tdt$=$aintcostcostdt$ ponendo f=cost (f'=sint) e g'=cost (g=-sint) risolvo per parti e quindi ho:
$aintcos^2tdt=a(-sintcost+intsin^2tdt)$, quindi
$aintcos^2tdt=a(-sintcost+intdt-intcos^2tdt)$, spostando a sinistra l'integrale del coseno al quadrato e dividendo poi entrambi i membri per due otteniamo
$aintcos^2tdt=a(t-sintcost)/2+C
ricordando che $t=asin(x/a)$ si ha che $ intsqrt(1-x^2/a^2)dx=a(asin(x/a)-x/acos(asin(x/a)))/2+C$
ricordando che c'era la costante 2b, otteniamo che l'integrale di partenza è risolto in questo modo
$2ab|(asin(x/a)-x/acos(asin(x/a)))/2|_(A_1)^(A_2)$ semplificando il due e ricordando che $A_1=-a$ e $A_2=a$ possimao riscrivere la soluzione dell'integrale in questo modo $ab|asin(x/a)-x/acos(asin(x/a))|_(-a)^(a)$
sostituendo gli estremi di integrazione ottengo che
$2bint_(A_1)^(A_2)sqrt(1-x^2/a^2)dx=ab(asin(1)+cos(asin(1)-(asin(-1)-cos(asin(-1)))=ab(pi/2-(-pi/2))=piab$
con una formula così comoda, è anche facile trovare l'area dell'ellesse
sperando di non aver fatto banali errori di calcolo
ciao!
Risposte
ok credo che la limpidezza con cui l'ha spiegato cavallipurosangue sia stata senza dubbio più esaustiva 
Scusate se mi intrometto, però secondo me il dominio di integrazione non dovrebbe essere l'ellisse, bensì tutta la porzione di piano contenuta al suo interno, quindi io esprimerei così il dominio:
$E={0
Quindi da:
$x^2/a^2+y^2/b^2<=1$ si passa a $r^2<=1$ che rappresenta il cerchio in coordinate polari.
Quindi lo Jacobiano definito come:
$J=|((partialx)/(partialr),(partialx)/(partial\theta)),((partialy)/(partialr),(partialy)/(partialtheta))|$
In questo paricolare caso diventa:
$J=abr$
Quindi
$A=\int_Ddxdy->\int_EJdrd\theta=ab\int_Erdrd\theta=>A=2piabr^2/2|_0^1=\piab$
$E={0
Quindi da:
$x^2/a^2+y^2/b^2<=1$ si passa a $r^2<=1$ che rappresenta il cerchio in coordinate polari.
Quindi lo Jacobiano definito come:
$J=|((partialx)/(partialr),(partialx)/(partial\theta)),((partialy)/(partialr),(partialy)/(partialtheta))|$
In questo paricolare caso diventa:
$J=abr$
Quindi
$A=\int_Ddxdy->\int_EJdrd\theta=ab\int_Erdrd\theta=>A=2piabr^2/2|_0^1=\piab$
"ELWOOD":
Se non le hai mai usate non so se è il caso di postartele...cmq vedo lo stesso di soddisfare la tua curiosità ma non prendere per oro colato il formalismo matematico con cui te lo descrivo ...
rifacendoci ad una circonferenza di raggio unitario la nuova porzione di area che devi integrare risulta $dA=r*dr*d\phi$ e la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari è
${[x=acos\phi],[y=bsen\phi]:}$
(a e b sono gli assi dell'ellisse)
Quello che devi integrare te quindi è l'elemento $dA$ su tutto il dominio dell'ellisse $int_(E)dA$
l'integrale si trasforma in un integrale doppio rispetto a $r$ e a $\phi$ sulla circonferenza
$int_[0]^[2\pi]d\phi\int_[0]^[r]|J|rdrd\phi$
$|J|$ è lo Jacobiano (sostanzialmente esprime il "fattore correttivo" della trasformazione in coordinate polari e della trasformazione del dominio dell'ellisse nel dominio della circonferenza)
nel caso dell'ellisse $|J|$ risulta essere uguale ad $ab$
hai quindi
$int_[0]^[2\pi]d\phi\int_[0]^[r]abrdrd\phi$
risolvi l'integrale e ottieni ($2\pi$ dal primo e $\frac{abr^2}{2}$ dal secondo) proprio $\pi*a*b$
grazie ho capito la logica di tutto, tranne del fatto che devo integrare dA, nel senso integrandola otterrei una circonferenza, per da dove lo faccio saltare fuori |J| il "fattore correttivo"? nel senso lo aggiungo io perchè voglio un ellisse, non per altro... giusto? se avessi voluto ricavare la circonferenza non avrei "aggiunto" niente, o sbaglio?
scusa la mia ignoranza, però son curioso
grazie!
ciaoo
Se non le hai mai usate non so se è il caso di postartele...cmq vedo lo stesso di soddisfare la tua curiosità ma non prendere per oro colato il formalismo matematico con cui te lo descrivo ...
rifacendoci ad una circonferenza di raggio unitario la nuova porzione di area che devi integrare risulta $dA=r*dr*d\phi$ e la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari è
${[x=acos\phi],[y=bsen\phi]:}$
(a e b sono gli assi dell'ellisse)
Quello che devi integrare te quindi è l'elemento $dA$ su tutto il dominio dell'ellisse $int_(E)dA$
l'integrale si trasforma in un integrale doppio rispetto a $r$ e a $\phi$ sulla circonferenza
$int_[0]^[2\pi]d\phi\int_[0]^[r]|J|rdrd\phi$
$|J|$ è lo Jacobiano (sostanzialmente esprime il "fattore correttivo" della trasformazione in coordinate polari e della trasformazione del dominio dell'ellisse nel dominio della circonferenza)
nel caso dell'ellisse $|J|$ risulta essere uguale ad $ab$
hai quindi
$int_[0]^[2\pi]d\phi\int_[0]^[r]abrdrd\phi$
risolvi l'integrale e ottieni ($2\pi$ dal primo e $\frac{abr^2}{2}$ dal secondo) proprio $\pi*a*b$
rifacendoci ad una circonferenza di raggio unitario la nuova porzione di area che devi integrare risulta $dA=r*dr*d\phi$ e la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari è
${[x=acos\phi],[y=bsen\phi]:}$
(a e b sono gli assi dell'ellisse)
Quello che devi integrare te quindi è l'elemento $dA$ su tutto il dominio dell'ellisse $int_(E)dA$
l'integrale si trasforma in un integrale doppio rispetto a $r$ e a $\phi$ sulla circonferenza
$int_[0]^[2\pi]d\phi\int_[0]^[r]|J|rdrd\phi$
$|J|$ è lo Jacobiano (sostanzialmente esprime il "fattore correttivo" della trasformazione in coordinate polari e della trasformazione del dominio dell'ellisse nel dominio della circonferenza)
nel caso dell'ellisse $|J|$ risulta essere uguale ad $ab$
hai quindi
$int_[0]^[2\pi]d\phi\int_[0]^[r]abrdrd\phi$
risolvi l'integrale e ottieni ($2\pi$ dal primo e $\frac{abr^2}{2}$ dal secondo) proprio $\pi*a*b$
non le ho mai usate, perchè non posti come verrebbe con le polari se hai voglia
grazie 
grazie
anche rifarsi a un cambiamento di coordinate (ad esempio le polari) non è una brutta cosa
Per evitare integrali così tediosi puoi rifarti
ad uno strumento molto utile: le affinità.
Sia $ccGamma_1$ la circonferenza centrata
nell'origine e di raggio $a$. La sua area, come
giustamente hai detto, è $pia^2$. Bene, l'affinità
che trasforma $ccGamma_1$ nell'ellisse $ccGamma_2$
di semiassi $a$ e $b$ è $varepsilon: {(x to b/a x), (y to y ) :}$
Per convincertene, prova a trasformare
qualche punto di $ccGamma_1$, ad esempio $(a,0)$.
L'inversa è $varepsilon^(-1): {(x to a/b x),(y to y):}$,
che si può scrivere in forma matriciale come
$((a/b,0),(0,1))((x),(y))=((x'),(y'))$. Ebbene,
il determinante della matrice $((a/b,0),(0,1))$,
ovvero $a/b$, è il rapporto tra l'area di $ccGamma_1$ e
quella di $ccGamma_2$; perciò, dette $A_1$ e $A_2$ tali
aree, si ha $A_1/A_2=(pia^2)/A_2=a/b$, da cui $A_2=piab$.
Più semplice no?
Il discorso si complica nel caso tu voglia calcolarti
la lunghezza di tale ellisse...
ad uno strumento molto utile: le affinità.
Sia $ccGamma_1$ la circonferenza centrata
nell'origine e di raggio $a$. La sua area, come
giustamente hai detto, è $pia^2$. Bene, l'affinità
che trasforma $ccGamma_1$ nell'ellisse $ccGamma_2$
di semiassi $a$ e $b$ è $varepsilon: {(x to b/a x), (y to y ) :}$
Per convincertene, prova a trasformare
qualche punto di $ccGamma_1$, ad esempio $(a,0)$.
L'inversa è $varepsilon^(-1): {(x to a/b x),(y to y):}$,
che si può scrivere in forma matriciale come
$((a/b,0),(0,1))((x),(y))=((x'),(y'))$. Ebbene,
il determinante della matrice $((a/b,0),(0,1))$,
ovvero $a/b$, è il rapporto tra l'area di $ccGamma_1$ e
quella di $ccGamma_2$; perciò, dette $A_1$ e $A_2$ tali
aree, si ha $A_1/A_2=(pia^2)/A_2=a/b$, da cui $A_2=piab$.
Più semplice no?
Il discorso si complica nel caso tu voglia calcolarti
la lunghezza di tale ellisse...
infatti caso particolare della circonferenza, dove a=b, l'area è esattamente $pia^2$ dave a è il raggio.
son contentissimo... è la prima formula che mi ricavo da me
son contentissimo... è la prima formula che mi ricavo da me
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