APPROFONDIMENTI sui numeri complessi
Ho notato che in moltissimi testi di analisi matematica il capitolo dedicato all'argomento "Numeri Complessi" è trattato in maniera poco approfondita. In genere gli argometni presentati sono gli stessi: si introducono i numeri complessi come naturale ampliametno del campo reale, si definiscono le operazioni e alcune proprietà fondamentali nonchè le rappresentazioni in forma algebrica polare ed esponenziale. Inoltre, se il libro è dotato di esercizi, in genere essi si distribuiscono più o meno equamente fra calcolo di radici ennesime e semplici equazioni da risolvere in campo complesso. Spesso e volentieri però all'esame i prof si sbizzarriscono con equazioni e DISEQUAZIONI con i numeri numeri complessi o trasformazioni sul piano complesso o altre sorprendenti iniziative che sanno solo loro [e che spesso lasciano spiazzati persino i secchioni].
Esiste secondo voi da qualche parte una più completa e rigorosa nonchè approfondita e dettagliata esposizione di argomenti riguardanti i numeri complessi [a livello senza necessariamente sconfinare nell'analisi complessa]?
Inoltre alcune particolari applicazioni ingegneristiche dei numeri complessi, come ad esempio il metodo simbolico utilizzatissimo in elettrotecnica ed elettronica per risolvere circuiti in corrente alternata [e a volte saltano fuori persino sistemi di equazioni con i numeri complessi] le si trovano quasi solo nei testi ingegneristici dove non sempre sono trattate col dovuto rigore matematico.
Mi piacerebbe aver modo di approdondire tali argomenti: Avete qualche testo da consigliarmi?
Esiste secondo voi da qualche parte una più completa e rigorosa nonchè approfondita e dettagliata esposizione di argomenti riguardanti i numeri complessi [a livello senza necessariamente sconfinare nell'analisi complessa]?
Inoltre alcune particolari applicazioni ingegneristiche dei numeri complessi, come ad esempio il metodo simbolico utilizzatissimo in elettrotecnica ed elettronica per risolvere circuiti in corrente alternata [e a volte saltano fuori persino sistemi di equazioni con i numeri complessi] le si trovano quasi solo nei testi ingegneristici dove non sempre sono trattate col dovuto rigore matematico.
Mi piacerebbe aver modo di approdondire tali argomenti: Avete qualche testo da consigliarmi?
Risposte
"magliocurioso":
Però mi è venuto un altro dubbio, con particolare riferimento all'intervento di Camillo: in teoria quindi dovrebbe essere possibile fare della "geometria analitica nel piano complesso"
Altroche' se e' possibile!... Anzi e' anche piu' naturale.
Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali,si pone una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano ed i numeri complessi;nel senso che ad ogni numero complesso $z=x+iy$,$(x,y)inRR$ corrisponde il punto del piano $P(x,y)$ e viceversa.
E' l'insieme C che si può identificare come piano reale direi, dire piano complesso (so che è usato) è un po' fuorviante, perchè potebbe far pensare ad un ente di dimensione 2 su C, cosa che non è....
Però mi è venuto un altro dubbio, con particolare riferimento all'intervento di Camillo: in teoria quindi dovrebbe essere possibile fare della "geometria analitica nel piano complesso"
"zorn":
Poi cerca una dimostrazione del th. fond. dell'algebra...
D'altra parte, se si fa uso dell'analisi complessa, questo teorema si dimostra in 2 righe...
"zorn":
sono cose ugualmente interessanti ma che non sono analisi complessa (ma quella è interessantissima però!)
Per me è la più bella in assoluto
Beh, anzitutto prova un buon testo d'algebra (teoria dei campi, delle estensioni algebriche finite...) per capire davvero che sono questi complessi (si costruiscono campi per cui risulta l'opposto dell'unità essere un quadrato, non è una definizione $i=sqrt(-1)$!).
Capirai anche perché $RR^n$ con $n>=3$ non può strutturarsi in alcun modo come campo...
Poi cerca una dimostrazione del th. fond. dell'algebra...
sono cose ugualmente interessanti ma che non sono analisi complessa (ma quella è interessantissima però!)
Capirai anche perché $RR^n$ con $n>=3$ non può strutturarsi in alcun modo come campo...
Poi cerca una dimostrazione del th. fond. dell'algebra...
sono cose ugualmente interessanti ma che non sono analisi complessa (ma quella è interessantissima però!)
WOW non credo che arriverò mai ai tuoi livelli [Sta roba però mi sembra più geometria analitica che analisi 1]
Ad esempio la disequazione $ |z -2 | < 1 $ è verificata da tutti i punti interni alla circonferenza di centro il punto $2+i*0 $ e di raggio = 2 ; nel piano di Gauss disegni la crf detta e ne consideri i punti interni.
Infatti ecco la soluzione analitica della disequazione :
$ z= x+iy $ quindi $| x+iy -2 | = |(x-2) +iy | = sqrt(x^2+y^2-4x+4) $ e quindi la disequazione da risolvere diventa :
$ x^2+y^2-4x +3 < 0 $
L'equazione $ x^2+y^2-4x+3 = 0 $ rappresenta una crf di centro $(2,0 )$ e raggio = 1 ; quindi la soluzione della disequazione inizilae è data da tutti i numeri complessi $ z $ interni alla suddetta crf. ok ?
Infatti ecco la soluzione analitica della disequazione :
$ z= x+iy $ quindi $| x+iy -2 | = |(x-2) +iy | = sqrt(x^2+y^2-4x+4) $ e quindi la disequazione da risolvere diventa :
$ x^2+y^2-4x +3 < 0 $
L'equazione $ x^2+y^2-4x+3 = 0 $ rappresenta una crf di centro $(2,0 )$ e raggio = 1 ; quindi la soluzione della disequazione inizilae è data da tutti i numeri complessi $ z $ interni alla suddetta crf. ok ?
"magliocurioso":
però credo che nel testo sia sotto intesa la sostituzione z = a + jb. Se poi è una disequazione tra numeri reali come mai chiede di "rappresentare graficamente nel piano complesso" ?
Ovviamente la $z$ in quella disuguaglianza è un numero complesso, ma ne stai prendendo il modulo e quindi la disuguaglianza è tra numeri reali (come è ovvio che sia, dal momento che in $CC$ non c'è ordinamento).
però credo che nel testo sia sotto intesa la sostituzione z = a + jb. Se poi è una disequazione tra numeri reali come mai chiede di "rappresentare graficamente nel piano complesso" ?
Quella che indichi è sì una disequazione ma tra numeri reali e non complessi : infatti è presente il modulo del numero complesso.
Ovviamente, per come sono definiti, i numeri complessi non sono totalmente ordinati. Eppure una volta m'è capitato all'esame una cosa del genere:
"Determinare, e poi rappresentare graficamente nel piano complesso, l'insieme dei numeri complessi tali che $|z^* + 6/z|<=5$ dove $z^*$ è il coniugato di z [non mi ricordo come si fa per scrivere il trattino sopra le lettere]. Da allora ne ho trovati ben pochi di esercizi simili e non ho mai trovato una trattazione teorica ed esauriente su nessun libro. Avevo anche provato a dare un occhiata a qualche libro di analisi complessa, però oltre al fatto che non è ancora alla mia portata mi pare di intuire che gli argomenti trattati siano ben altri. Questo fatto mi lascia alquanto perplesso.
"Determinare, e poi rappresentare graficamente nel piano complesso, l'insieme dei numeri complessi tali che $|z^* + 6/z|<=5$ dove $z^*$ è il coniugato di z [non mi ricordo come si fa per scrivere il trattino sopra le lettere]. Da allora ne ho trovati ben pochi di esercizi simili e non ho mai trovato una trattazione teorica ed esauriente su nessun libro. Avevo anche provato a dare un occhiata a qualche libro di analisi complessa, però oltre al fatto che non è ancora alla mia portata mi pare di intuire che gli argomenti trattati siano ben altri. Questo fatto mi lascia alquanto perplesso.
"DISEQUAZIONI con i numeri complessi"
Ti ricordo che i numeri complessi non sono totalmente ordinati.
Quanto a ciò che chiedi se non sconfini nell'analisi complessa lo studio dei complessi è ridotto alle sole elementarità che si studiano in analisi 1, sempre se rimani nel campo dell'analisi.
Ti ricordo che i numeri complessi non sono totalmente ordinati.
Quanto a ciò che chiedi se non sconfini nell'analisi complessa lo studio dei complessi è ridotto alle sole elementarità che si studiano in analisi 1, sempre se rimani nel campo dell'analisi.
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