Analisi standard vs. non standard
buongiorno a tutti!
Leggendo qua e là della cosidetta analisi non standard, ho visto che definire limiti derivate e integrali, usando numeri e funzioni iperreali, è molto più semplice che non con i tradizionali epsilon e delta di weierstrass...quello che mi chiedevo è: visto che è notevolmente più semplice, perchè non usarla anche nei licei scientifici? mi rendo perfettamente conto che per farlo c'è bisogno di una certa preparazione logica, ma penso che uno studente del IV-V anno di liceo sia in grado di apprenderla...infatti mi è parsa che la parte più complicata sia l' introdurre un nuovo tipo di numeri (iperreali), che sono un' estensione dei "normali" reali, e questo mi è sembrato un po' lo stesso salto che si compie quando si passa dai numeri razionali ai numeri reali (salto che mi pare uno studente del liceo possa anche capire a fondo)....
cosa ne pensate a merito?
ciao
Leggendo qua e là della cosidetta analisi non standard, ho visto che definire limiti derivate e integrali, usando numeri e funzioni iperreali, è molto più semplice che non con i tradizionali epsilon e delta di weierstrass...quello che mi chiedevo è: visto che è notevolmente più semplice, perchè non usarla anche nei licei scientifici? mi rendo perfettamente conto che per farlo c'è bisogno di una certa preparazione logica, ma penso che uno studente del IV-V anno di liceo sia in grado di apprenderla...infatti mi è parsa che la parte più complicata sia l' introdurre un nuovo tipo di numeri (iperreali), che sono un' estensione dei "normali" reali, e questo mi è sembrato un po' lo stesso salto che si compie quando si passa dai numeri razionali ai numeri reali (salto che mi pare uno studente del liceo possa anche capire a fondo)....
cosa ne pensate a merito?
ciao
Risposte
Grazie davide, ho ricevuto il file.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
in questo articolo http://www.unipv.it/webphilos_lab/dosse ... andard.pdf
c'è una breve introduzione all'analisi non standard, tra l'altro viene fatto notare come gran parte degli analisti sia rimasta fedele all'impostazione di weierstrass
c'è una breve introduzione all'analisi non standard, tra l'altro viene fatto notare come gran parte degli analisti sia rimasta fedele all'impostazione di weierstrass
Ah ho trovato anche questo testo sulla NSA:
http://www.serve.com/herrmann/cont2.htm
A dire il vero ho solo letto l'introduzione, ma dovrebbe essere interessante per via della natura discorsiva (le dimostrazioni sono omesse eccetto alcune in appendice) e il taglio "pratico". In oltre ha un approccio diametralmente opposto all'altro che ho citato: questo fa un uso sistematico (a suo dire nella prefazione) della "teoria astratta dei modelli" (una branchia della logica matematica penso) per arrivare subito alle definizioni fondamentali e sviluppare tutta la teoria del calcolo (l'altro si occupa solo della formulazione e, a dire dell'autore, non richiede conoscenze avanzate di logica). Potrebbero essere complementari.
Comunque penso che su Internet sia pieno di questi libri.
x ubermensch
te la mando domani sera.
http://www.serve.com/herrmann/cont2.htm
A dire il vero ho solo letto l'introduzione, ma dovrebbe essere interessante per via della natura discorsiva (le dimostrazioni sono omesse eccetto alcune in appendice) e il taglio "pratico". In oltre ha un approccio diametralmente opposto all'altro che ho citato: questo fa un uso sistematico (a suo dire nella prefazione) della "teoria astratta dei modelli" (una branchia della logica matematica penso) per arrivare subito alle definizioni fondamentali e sviluppare tutta la teoria del calcolo (l'altro si occupa solo della formulazione e, a dire dell'autore, non richiede conoscenze avanzate di logica). Potrebbero essere complementari.
Comunque penso che su Internet sia pieno di questi libri.
x ubermensch
te la mando domani sera.
Sul sito dell'autore c'è una versione .ps magari potrebbe esserti più utile...
Comunque quello che ho linkato io è in .dvi che è una file di output del TeX. Un programma che consente di aprire questi file è ad esempio WinEdt che include un visualizzatore per questi file.
Comunque io ne ho anche una versione PDF (che ho creato a partire dalla DVI) se vi interessa posso mandarvela per mail... (non prima di domani perchè ora non stò dgtndo dal mio computer e non ho questo file)
In ogni caso voglio mettervi in guardia: questo NON è un testo per imparare la NSA! In questo testo si danno i fondamenti dell'NSA. Si tratta quindi di un'opera MOLTO tecnica (di cui ho letto solo una parte) che ho citato solo per farvi capire che bisogna diffidare da tutti quei documenti che si trovano on-line che definiscono i numeri iperreali come classi di equivalenza di successioni e la fanno finita li come se fosse una formulazione veramente rigorosa.
Comunque quello che ho linkato io è in .dvi che è una file di output del TeX. Un programma che consente di aprire questi file è ad esempio WinEdt che include un visualizzatore per questi file.
Comunque io ne ho anche una versione PDF (che ho creato a partire dalla DVI) se vi interessa posso mandarvela per mail... (non prima di domani perchè ora non stò dgtndo dal mio computer e non ho questo file)
In ogni caso voglio mettervi in guardia: questo NON è un testo per imparare la NSA! In questo testo si danno i fondamenti dell'NSA. Si tratta quindi di un'opera MOLTO tecnica (di cui ho letto solo una parte) che ho citato solo per farvi capire che bisogna diffidare da tutti quei documenti che si trovano on-line che definiscono i numeri iperreali come classi di equivalenza di successioni e la fanno finita li come se fosse una formulazione veramente rigorosa.
per quelli che non conoscono l' analisi stantard: in poche parole, questa considera numeri anche gli infinitesimi e l' infinito...vediamo in che modo:
chiamiamo x un numero infinitesimo se x<1/n per ogni n appartenente a N e x diverso da 0 (esiste un assioma, nella teoria standard, noto come assioma di archimede che afferma che dati due numeri qualsiasi, per esempio a>b, è sempre possibile trovare un numero c tale che c*b>a; in pratica nell' analisi non standard, per definire gli infinitesimi, si nega quest' assioma, e scaturisce così questo nuovo numero...); adesso, ogni numero della forma a+bx è un numero iperreale, con a e b reali; un ultima definizione e poi arriva il bello... chiamo std(a+bx) la parte reale del numero, nel nostro caso std(a+bx)=a; adesso, in questo sistema, fare la derivata per esempio di t^2 significa fare:
std{[(t+x)^2 - t^2]/x}, il che porta a std(2t+x)=2t...
inoltre anche la definizione di limite è notevolemente semplificata, infatti basta dire che una successione tende a un limite finito L se S(n)-L è infinitesimo per tutti gli n infiniti...
insomma, non c'è più il "minestrone" degli epsilon e delta...
@ david e grazie mille per la risposta! mi interesserebbe leggere il link postato, ma non so con quale programma aprirlo...
ciao
chiamiamo x un numero infinitesimo se x<1/n per ogni n appartenente a N e x diverso da 0 (esiste un assioma, nella teoria standard, noto come assioma di archimede che afferma che dati due numeri qualsiasi, per esempio a>b, è sempre possibile trovare un numero c tale che c*b>a; in pratica nell' analisi non standard, per definire gli infinitesimi, si nega quest' assioma, e scaturisce così questo nuovo numero...); adesso, ogni numero della forma a+bx è un numero iperreale, con a e b reali; un ultima definizione e poi arriva il bello... chiamo std(a+bx) la parte reale del numero, nel nostro caso std(a+bx)=a; adesso, in questo sistema, fare la derivata per esempio di t^2 significa fare:
std{[(t+x)^2 - t^2]/x}, il che porta a std(2t+x)=2t...
inoltre anche la definizione di limite è notevolemente semplificata, infatti basta dire che una successione tende a un limite finito L se S(n)-L è infinitesimo per tutti gli n infiniti...
insomma, non c'è più il "minestrone" degli epsilon e delta...
@ david e grazie mille per la risposta! mi interesserebbe leggere il link postato, ma non so con quale programma aprirlo...
ciao
Una volta ho seguito un seminario (per studenti quindi livello terra-terra) in cui si discuteva del non-standard. Ecco i punti deboli dell'Analisi Non-Standard:
1. La formulazione rigorosa richiede una elevatissima conoscenza di Algebra e Teoria degli Insiemi e fa un uso molto pesante dell'assioma della scelta. Le formulazioni "abbordabili" che si vedono in giro non sono che ultra-semplificazioni non del tutto corrette.
2. L'analisi di funzioni reali e' molto piu' semplice che nell'analisi standard, tuttavia il calcolo multi-dimensionale non-standard e' estremamente complicato e, ancora, non c'e' una teoria consolidata. Quindi gli studenti che imparassero ad Analisi I l'NSA non riuscirebbero a seguire i corsi di Analisi II o altri corsi ancora piu' avanzati che poggiano sull'analisi standard.
Comunque se volete un'idea di quanto sia complicata l'analisi non-standard a livello di formulazione rigorosa leggetevi questo libro in cui si propone un'introduzione "soft" senza l'uso di Algebra superiore o conoscenze di teoria degli insiemi avanzate:
http://www.sm.luth.se/~gadde/NSAjuni2002.dvi
Questo e' il sito dell'autore:
http://www.sm.luth.se/~gadde/
1. La formulazione rigorosa richiede una elevatissima conoscenza di Algebra e Teoria degli Insiemi e fa un uso molto pesante dell'assioma della scelta. Le formulazioni "abbordabili" che si vedono in giro non sono che ultra-semplificazioni non del tutto corrette.
2. L'analisi di funzioni reali e' molto piu' semplice che nell'analisi standard, tuttavia il calcolo multi-dimensionale non-standard e' estremamente complicato e, ancora, non c'e' una teoria consolidata. Quindi gli studenti che imparassero ad Analisi I l'NSA non riuscirebbero a seguire i corsi di Analisi II o altri corsi ancora piu' avanzati che poggiano sull'analisi standard.
Comunque se volete un'idea di quanto sia complicata l'analisi non-standard a livello di formulazione rigorosa leggetevi questo libro in cui si propone un'introduzione "soft" senza l'uso di Algebra superiore o conoscenze di teoria degli insiemi avanzate:
http://www.sm.luth.se/~gadde/NSAjuni2002.dvi
Questo e' il sito dell'autore:
http://www.sm.luth.se/~gadde/
gia' e cosa sono questi numeri iperreali?
Ma cos'è l'analisi non-standard?
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