Altra idea buttata lì senza grosse pretese
l'integrale può essere pensato come limite di una sommatoria di infiniti termini infinitesimi: $sum to int$
esiste l'analogo per la produttoria? $prod to$?
esiste l'analogo per la produttoria? $prod to$?
Risposte
ti sbagli luca!!!david e non ha specificato nemmeno che funzione integrare nell'intervallo...
Quanto diceva david_e è corretto, l'integrale definito non sempre è la somma di infiniti termini infinitesimi, ed il suo esempio funziona, dal momento che per ogni partizione tu prenda, secondo l'integrazione di Riemann, integrale superiore ed inferiore coincidono e sono l'integrale della funzione data.
Quanto all'esempio trovato, una strada potrebbe essere prendere una successione con prodotto infinito convergente (per esempio una successione definitivamente pari a 1) e cercare di costruire la funzione relativa.
Quanto all'esempio trovato, una strada potrebbe essere prendere una successione con prodotto infinito convergente (per esempio una successione definitivamente pari a 1) e cercare di costruire la funzione relativa.
"david_e":
l'integrale risulta essere la somma di due termini... quindi non é rigorosamente vero che l'integrale é la somma di infiniti termini infinitesimi!
non direi visto che nella definizione si dice "per ogni partizione"
d'altronde lo dici anche tu:
"david e":
Nel caso dell'integrale di Riemann si fa il $\text{sup}$ delle somme inferiori e l'$\text{inf}$ di quelle superiori al variare della partizione
non vorrei fare il professorino, ma mi sembra che vi riempiate la bocca di definizioni senza ragionarci sopra...
tornando alla produttoria,non ho ben capito cosa voleva dire infinito, poi chi diceva che un prodotto può divergere, rispondo che su un intervallo anche l'integrale può divergere.
ho pensato per esempio a trovare una funzione che soddisfa tale condizione: $lim_{Deltaxto0}f(a)f(a+Deltax)f(a+2Deltax)...f(b)$ converge ad un valore finito, casomai lo sposto in giochi logico matematici
secondo me (che sono abbastanza ignorante rispetto alla cultura del resto del forum) hai detto una figata!
"fireball":
Mah io non vedo che utilità pratica potrebbe
avere moltiplicare infiniti elementi infinitesimi...
Secondo me non dovrebbero esseere infinitesimi, caso mai dovrebbero essere tendenti a 1.
Detta molto male: l'integrale è un modo per risolvere la forma indeterminata infiito*0 (numero di elementi per la loro grandezza), mentre questo generalizzazione dovrebbe risolvere la forma indeterminata 1^infinito (grandezza degli elementi, elevato al loro numero.
Ho detto una boiata?
[scusate per la notazione, ora vado a studiarmi come usare la notazione matematica]
L'unica idea che mi viene in mente ora è:
se ho un intervallo reale (eventualmente la retta) posso "spezzarlo" in due parti la cui "somma" dia l'intero, oppure in n parti. Se poi facendo tendere a zero l'ampiezza della più grossa ottengo una funzione che è indipendente dal "percorso" seguito ho ottenuto qualcosa di "assoluto" (nel senso che "non dipende dal percorso seguito").
Mi pare che per la produttoria si dovrebbe trovare un qualcosa che possa essere scritto come "prodotto" di due "sottoqualcosa", poi di 3, di 4, ..., di n, ...
L'unica cosa che mi viene in mente fa uso di spazi ad infinite dimensioni ...
Forse non ho capito bene, ma si vuole estendere "il concetto" che ha portato alla definizione di integrale (e quindi trovare un nuovo ente, "corrispondente" a quello di integrale), non estendere "l'integrale" fino ad includere le produttorie.
se ho un intervallo reale (eventualmente la retta) posso "spezzarlo" in due parti la cui "somma" dia l'intero, oppure in n parti. Se poi facendo tendere a zero l'ampiezza della più grossa ottengo una funzione che è indipendente dal "percorso" seguito ho ottenuto qualcosa di "assoluto" (nel senso che "non dipende dal percorso seguito").
Mi pare che per la produttoria si dovrebbe trovare un qualcosa che possa essere scritto come "prodotto" di due "sottoqualcosa", poi di 3, di 4, ..., di n, ...
L'unica cosa che mi viene in mente fa uso di spazi ad infinite dimensioni ...
Forse non ho capito bene, ma si vuole estendere "il concetto" che ha portato alla definizione di integrale (e quindi trovare un nuovo ente, "corrispondente" a quello di integrale), non estendere "l'integrale" fino ad includere le produttorie.
"Marco83":
Credo che il concetto non sia estensibile in quanto nell'estensione della sommatoria all'integrale ci sono due elementi che variano in modo opposto: il numero di "punti" tende ad infinito, mentre il "peso" di ciascuno tende a zero. Sinceramente non riesco ad individuare quale sarebbe l'elemento che eviterebbe la divergenza di una produttoria
Mah dipende dalla definizione di integrale che adotti. Nel caso dell'integrale di Riemann si fa il $\text{sup}$ delle somme inferiori e l'$\text{inf}$ di quelle superiori al variare della partizione, questo non sempre corrisponde a fare un limite all'infinito.
Prendi ad esempio il caso della funzione identicamente $1$ su $(0,1)$ e di volerla integrare sullo stesso intervallo:
$ s = \sum_i 1 \Delta x_i \qquad \text{con} \qquad \sum_i \Delta x_i = 1 $
ed:
$ S = \sum_i 1 \Delta x_i \qquad \text{con} \qquad \sum_i \Delta x_i = 1 $
dove $\Delta x_i = |A_i| \in \mathcal{A} \in \mathcal{P}(0,1)$ ovvero la misura dell'i-simo insieme della partizione $\mathcal{A}$ di $(0,1)$ che é un elemento dell'insieme delle partizioni.
Se:
$ I=\text{sup}_{\mathcal{A}\in \mathcal{P}(0,1)} s = \text{inf}_{\mathcal{A}\in \mathcal{P}(0,1)} S $
allora $I$ é l'integrale secondo Riemann.
Come si vede benissimo qui potrei prendere la partizione ${ (0,1/2) , (1/2,1) }$ dove il $\text{sup}$ e l'$\text{inf}$ sono effettivamente assunti e l'integrale risulta essere la somma di due termini... quindi non é rigorosamente vero che l'integrale é la somma di infiniti termini infinitesimi!
Credo che la definizione di integrale data da Cauchy, peró, sia data proprio mandando all'infinito le somme alla Cauchy... per cui con Cauchy in effetti si potrebbe dire: $\sum \to \int$...
Credo che il concetto non sia estensibile in quanto nell'estensione della sommatoria all'integrale ci sono due elementi che variano in modo opposto: il numero di "punti" tende ad infinito, mentre il "peso" di ciascuno tende a zero. Sinceramente non riesco ad individuare quale sarebbe l'elemento che eviterebbe la divergenza di una produttoria
Cioè, come posso dire... l'integrale non è il limite di una somma e basta, ma il limite di qualcosa che non coinvolge solo la somma (spiegazione degna di un partecipante al grande fratello 
). Non riesco proprio a immaginare un procedimento analogo a quello della somma di Riemann per le produttorie... Comunque, se ti viene in mente, spara!
). Non riesco proprio a immaginare un procedimento analogo a quello della somma di Riemann per le produttorie... Comunque, se ti viene in mente, spara!
"fireball":
Mah io non vedo che utilità pratica potrebbe
avere moltiplicare infiniti elementi infinitesimi...
certo potrebbe essere, la mia era curiosità matematica"Amel":
in che senso?
nel senso di scrivere l'integrale come sommatoria
in che senso?
"eafkuor":
[quote="amel"]sì ok, ma allora il limite di che?
Eheh, quello è il problema
[/quote]eh già, amel perchè nno ci rinfreschi la memoria tu?
Mah io non vedo che utilità pratica potrebbe
avere moltiplicare infiniti elementi infinitesimi...
avere moltiplicare infiniti elementi infinitesimi...
"amel":
sì ok, ma allora il limite di che?
Eheh, quello è il problema
sì ok, ma allora il limite di che? 
"amel":
non è così che dalla somma si arriva all'integrale...
bè però può essere pensato come una particolare sommatoria...
Bhè l'integrale definito può essere pensato come una somma di termini la cui grandezza tende a zero..
E' ovvio che anche quella era un' "altra idea buttata lì senza grosse pretese"
E' ovvio che anche quella era un' "altra idea buttata lì senza grosse pretese"
non è così che dalla somma si arriva all'integrale... 
Bho, magari esiste il limite del prodotto?
Non mi pare...
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