Altra idea buttata lì senza grosse pretese
l'integrale può essere pensato come limite di una sommatoria di infiniti termini infinitesimi: $sum to int$
esiste l'analogo per la produttoria? $prod to$?
esiste l'analogo per la produttoria? $prod to$?
Risposte
eh già, quindi il problema generale resta aperto
Sì, forse scrivendo tutto per bene la cosa dovrebbe funzionare passando al limite sulle somme parziali, che è comunque una proprietà nota per lo studio delle produttorie infinite. L'unico svantaggio che ha è che funziona nel caso in cui uno sta facendo una produttoria di termini tutti strettamente positivi, quindi è poco generale.
"Luca.Lussardi":
Le proprietà dei logaritmi, come di ogni altra cosa, valgono solo al finito; si applicano esse sulle somme finite e si passa al limite, ma se tutto non converge, non mi pare si possa concludere come hai fatto...
un esempio che dimostra l'uguaglianza non vera nel caso in cui tutto non converge?
Non credo sia vero se non sai in partenza che il prodotto converge e la serie dei logaritmi pure, allora sì basta passare al limite nelle somme parziali.
Le proprietà dei logaritmi, come di ogni altra cosa, valgono solo al finito; si applicano esse sulle somme finite e si passa al limite, ma se tutto non converge, non mi pare si possa concludere come hai fatto...
Le proprietà dei logaritmi, come di ogni altra cosa, valgono solo al finito; si applicano esse sulle somme finite e si passa al limite, ma se tutto non converge, non mi pare si possa concludere come hai fatto...
può avre senso una scrittura di questo genere $e^log(-1)=-1$?
"carlo23":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"]intendevo $prod_(k=1)^oof_k(x)=e^(sum_(k=1)^oolog(f_k(x)))$ perchè non dovrebbe essere così?
Bisogna stare attenti alla convergenza... è solo un abuso di notazione se con $sum_(k=1)^infty a_k$ intendi $lim_(N rightarrow infty) sum_(k=1)^n a_k$ allora tutto ok, altrimenti no.
Poi devi tener conto che la produttoria può essere indeterminata ad esempio $prod_(n=1)^infty (-1)^n$[/quote]
bè mi sembra ovvio che quando si fa una sommatoria all'infinito si intende il limite altrimenti non avrebbe senso, poi perchè l'uguaglianza non dovrebbe essere verificata nel caso di produttoria indeterminata? non mi sembra...
"GuillaumedeL'Hopital":
intendevo $prod_(k=1)^oof_k(x)=e^(sum_(k=1)^oolog(f_k(x)))$ perchè non dovrebbe essere così?
Bisogna stare attenti alla convergenza... è solo un abuso di notazione se con $sum_(k=1)^infty a_k$ intendi $lim_(N rightarrow infty) sum_(k=1)^n a_k$ allora tutto ok, altrimenti no.
Poi devi tener conto che la produttoria può essere indeterminata ad esempio $prod_(n=1)^infty (-1)^n$
intendevo $prod_(k=1)^oof_k(x)=e^(sum_(k=1)^oolog(f_k(x)))$ perchè non dovrebbe essere così?
Non sarei tanto convinto che il logaritmo di un prodotto infinito è la serie dei logaritmi, almeno se uno non dice che tutto sta convergendo per bene, non credo sia chiaro.
"giacor86":
sarrà ma a me mi hai rivoluzionato. o cmq mi hai fatto capire bene cosa vuol dire uno alla ifinito. ho riflettuto bene sul significato di forma d'indetreminazione. che prima credevo che mi fosse chiaro ma forse forse non lo era
In effetti uno alla infinito è la forma indeterminata meno intuitiva, sembra ovvio che debba fare 1; il collegamento tramite i logaritmi con zero per infinito non 'avevo mai colto prima d'ora.
sarrà ma a me mi hai rivoluzionato. o cmq mi hai fatto capire bene cosa vuol dire uno alla ifinito. ho riflettuto bene sul significato di forma d'indetreminazione. che prima credevo che mi fosse chiaro ma forse forse non lo era 
"GuillaumedeL'Hopital":
anche a me ha colpito ma ho preferito non fare commenti, cmq bisogna dire che applicando i logaritmi risolvere una produttoria diventa risolvere una sommatoria di logaritmi
Non ci avevo pensato.
Questo conferma quello che ho detto io e conferma altresì che non ho detto nulla di rivoluzionario.
anche a me ha colpito ma ho preferito non fare commenti, cmq bisogna dire che applicando i logaritmi risolvere una produttoria diventa risolvere una sommatoria di logaritmi
"giacor86":
[quote="desko"][quote="fireball"]Mah io non vedo che utilità pratica potrebbe
avere moltiplicare infiniti elementi infinitesimi...
Secondo me non dovrebbero esseere infinitesimi, caso mai dovrebbero essere tendenti a 1.
Detta molto male: l'integrale è un modo per risolvere la forma indeterminata infiito*0 (numero di elementi per la loro grandezza), mentre questo generalizzazione dovrebbe risolvere la forma indeterminata 1^infinito (grandezza degli elementi, elevato al loro numero.
Ho detto una boiata?
[scusate per la notazione, ora vado a studiarmi come usare la notazione matematica][/quote]
ma questo intervento non ha colpito proprio nessuno? a me sinceramente si.[/quote]
anche a me, ma non essendo molto competente ho preferito lasciare ad altri i commenti
"desko":
[quote="fireball"]Mah io non vedo che utilità pratica potrebbe
avere moltiplicare infiniti elementi infinitesimi...
Secondo me non dovrebbero esseere infinitesimi, caso mai dovrebbero essere tendenti a 1.
Detta molto male: l'integrale è un modo per risolvere la forma indeterminata infiito*0 (numero di elementi per la loro grandezza), mentre questo generalizzazione dovrebbe risolvere la forma indeterminata 1^infinito (grandezza degli elementi, elevato al loro numero.
Ho detto una boiata?
[scusate per la notazione, ora vado a studiarmi come usare la notazione matematica][/quote]
ma questo intervento non ha colpito proprio nessuno? a me sinceramente si.
"Luca.Lussardi":
Quanto diceva david_e è corretto, l'integrale definito non sempre è la somma di infiniti termini infinitesimi, ed il suo esempio funziona, dal momento che per ogni partizione tu prenda, secondo l'integrazione di Riemann, integrale superiore ed inferiore coincidono e sono l'integrale della funzione data
"un libro d'analisi ha scritto":
f si chiama integrabile se inf${S(P,f)|P\text{è una partizione di I in sottointervalli}}=\text{sup}{ccs(P,f)|P\text{ è una partiz...}}$
non vorrei insistere, ma si confonde il concetto di integrabilità con quello di integrale
che resta questo:
$int_a^bf(x)dx=lim_(nto\oo)sum_{k=1}^nf(a+k((b-a)/n))(b-a)/n$ tanto per chiarire ad un eventuale lettore
Rispondo a desko, che ha detto di non aver capito quello che ho scritto sopra.
Intanto ho corretto alcuni errori di battitura.
Poi cerco di spiegare.
intendo che, per esempio, come ha detto desko «Secondo me non dovrebbero esseere infinitesimi, caso mai dovrebbero essere tendenti a 1.», il che è una differenza dall'integrale.
Così pure non è detto che debba essere «$lim_{Deltaxto0}f(a)f(a+Deltax)f(a+2Deltax)...f(b)$ », ma può essere un qualcosa del tutto diverso.
Per questo ho cercato di capire come si è arrivati al concetto di integrale e che ruolo ha rivestito in queso la sommatoria. Quindi ho cercato di analizzare la somma di solo 2 termini, poi quella di 3, ..., di n, ... e infine il limite.
Analogamente credo che si debba fare per il prodotto. E forse non è poi così difficle fare l'analogo per 2: nella somma si spezza l'intervallo in due sotttointervalli la cui "somma" dia l'intero; quindi io posso provare a cercare «un qualcosa che possa essere scritto come "prodotto" di due "sottoqualcosa", poi di 3, di 4, ..., di n, ...
L'unica cosa che mi viene in mente fa uso di spazi ad infinite dimensioni ...»
Spero di essere stato più chiaro ...
Intanto ho corretto alcuni errori di battitura.
Poi cerco di spiegare.
Forse non ho capito bene, ma si vuole estendere "il concetto" che ha portato alla definizione di integrale (e quindi trovare un nuovo ente, "corrispondente" a quello di integrale), non estendere "l'integrale" fino ad includere le produttorie.
intendo che, per esempio, come ha detto desko «Secondo me non dovrebbero esseere infinitesimi, caso mai dovrebbero essere tendenti a 1.», il che è una differenza dall'integrale.
Così pure non è detto che debba essere «$lim_{Deltaxto0}f(a)f(a+Deltax)f(a+2Deltax)...f(b)$ », ma può essere un qualcosa del tutto diverso.
Per questo ho cercato di capire come si è arrivati al concetto di integrale e che ruolo ha rivestito in queso la sommatoria. Quindi ho cercato di analizzare la somma di solo 2 termini, poi quella di 3, ..., di n, ... e infine il limite.
Analogamente credo che si debba fare per il prodotto. E forse non è poi così difficle fare l'analogo per 2: nella somma si spezza l'intervallo in due sotttointervalli la cui "somma" dia l'intero; quindi io posso provare a cercare «un qualcosa che possa essere scritto come "prodotto" di due "sottoqualcosa", poi di 3, di 4, ..., di n, ...
L'unica cosa che mi viene in mente fa uso di spazi ad infinite dimensioni ...»
Spero di essere stato più chiaro ...
"david_e":
Si scrive:
$\sum_{i=0}^\infty a_i$
soltanto per un abuso di notazione, ma ció che si calcola in realtá é:
$\lim_{N \to \infty} \sum_{i=0}^N a_i$
Già, proprio vero. Infatti se non si ragiona così saltano fuori i soliti paradossi sulle serie infinite e si incorre in facili errori.
Dalle parole (condivise) di david_e traspare il vero passaggio dell'Analisi Matematica: trattare l'infinito usando il finito. In realtà in Analisi nulla è infinito; l'infinito viene concepito come approssimazione ragionevole del finito.
"GuillaumedeL'Hopital":
ti sbagli luca!!!david e non ha specificato nemmeno che funzione integrare nell'intervallo...
"david_e":
Prendi ad esempio il caso della funzione identicamente $1$ su $(0,1)$ e di volerla integrare sullo stesso intervallo:
Vedo con piacere che i miei messaggi vengono letti con attenzione!
Per il resto potrei anche aver sbagliato qualche cosa nell'esempio, non sarebbe mica la prima volta, comunque io rimango dell'idea che l'integrale non é una "somma di infiniti termini infinitesimi", in alcuni casi puó essere benissimo una somma composta da pochissimi termini!
Poi il concetto di somma infinita non é un concetto ben posto, anche le serie non sono somme infinite, ma sono definite come limite di somme parziali, tutte quante finite!
Si scrive:
$\sum_{i=0}^\infty a_i$
soltanto per un abuso di notazione, ma ció che si calcola in realtá é:
$\lim_{N \to \infty} \sum_{i=0}^N a_i$
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