Algebra2
Siccome fa freddo ( e anche parecchio,almeno dove mi trovo io)
allora ,per quelli che non vogliono uscire o che piu' semplicemente
sono appassionati di algebra elementare,propongo questi (facili) quesiti:
1)Dimostrare che se $a=root[3]2+root[3]4$ e' radice di polinomio
a coefficienti interi, allora a e' l'unico zero reale di tale polinomio.
2)Calcolare il valore dell'espressione $x^2+y^2+z^2$ dove x,y,z sono tre interi positivi verificanti le relazioni:
$7x^2-3y^2+4z^2=8$
$16x^2-7y^2+9z^2=-3$
E' gradita una spiegazione del procedimento usato e non una nuda elencazione
di risultati !
A voi....
allora ,per quelli che non vogliono uscire o che piu' semplicemente
sono appassionati di algebra elementare,propongo questi (facili) quesiti:
1)Dimostrare che se $a=root[3]2+root[3]4$ e' radice di polinomio
a coefficienti interi, allora a e' l'unico zero reale di tale polinomio.
2)Calcolare il valore dell'espressione $x^2+y^2+z^2$ dove x,y,z sono tre interi positivi verificanti le relazioni:
$7x^2-3y^2+4z^2=8$
$16x^2-7y^2+9z^2=-3$
E' gradita una spiegazione del procedimento usato e non una nuda elencazione
di risultati !
A voi....
Risposte
"archimede":
Ma ora beccatevi le mie supertecnologiche soluzioni.
me fai morì
Mi avete snobbato....E va bene ,per questa volta vi perdono!
Ma ora beccatevi le mie supertecnologiche soluzioni.
1)Elevando al cubo abbiamo:
$a^3=2+4+3root(3)2root(3)4(root(3)2+root(3)4)$
Ovvero:
$a^3=6+6a$ da cui $a^3-6a-6=0$ e questa e' l'equazione a cui soddisfa a
Che poi a sia l'unica soluzione reale lo si puo' dedurre
( per chi ricorda la formula di Cardano) dal fatto che il discriminante dell'equazione e'
$Delta=1>0$.In alternativa si puo' far disegnare a Derive il grafico di $y=a^3-6a-6$ e vedere
che tale grafico taglia l'asse delle a solo in un punto.
2)Risolvendo il sistema rispetto ad $x^2 , y^2$ si ottiene:
$x^2=65-z^2,y^2=149-z^2$. Da qui si vede che ,affinche' x ed y siano reali ,deve essere $0
D'altra parte x,y e z devono essere anche interi>0 e quindi i possibili valori di z sono:
z=1,2,3,4,5,6,7,8.
Con un po' di pazienza si trova che l'unica soluzione accettabile e':
x=4,y=10,z=7 e pertanto e' $x^2+y^2+z^2=165$
Il vostro Archie.
Ma ora beccatevi le mie supertecnologiche soluzioni.
1)Elevando al cubo abbiamo:
$a^3=2+4+3root(3)2root(3)4(root(3)2+root(3)4)$
Ovvero:
$a^3=6+6a$ da cui $a^3-6a-6=0$ e questa e' l'equazione a cui soddisfa a
Che poi a sia l'unica soluzione reale lo si puo' dedurre
( per chi ricorda la formula di Cardano) dal fatto che il discriminante dell'equazione e'
$Delta=1>0$.In alternativa si puo' far disegnare a Derive il grafico di $y=a^3-6a-6$ e vedere
che tale grafico taglia l'asse delle a solo in un punto.
2)Risolvendo il sistema rispetto ad $x^2 , y^2$ si ottiene:
$x^2=65-z^2,y^2=149-z^2$. Da qui si vede che ,affinche' x ed y siano reali ,deve essere $0
D'altra parte x,y e z devono essere anche interi>0 e quindi i possibili valori di z sono:
z=1,2,3,4,5,6,7,8.
Con un po' di pazienza si trova che l'unica soluzione accettabile e':
x=4,y=10,z=7 e pertanto e' $x^2+y^2+z^2=165$
Il vostro Archie.
archimede...che significa root[3]2????mi scuso per la domanda forse banale..
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