Visualizzare la retta reale

[michele_7483]

Come apparirebbe la retta reale se rappresentassimo i razionali e gli irrazionali con punti di due colori diversi?

[gugo82]

Credevo di aver risposto qualcosa ieri, ma si vede che non ho inviato...

Ad ogni buon conto, come dicevo sopra, la domanda non ha nulla di matematico a meno di non specificare cosa si intende fare e come lo si intende fare.
Diciamo di avere due colori, identificati con $0$ ed $1$ (e.g., $0 = "nero"$, $1 = "bianco"$), e diciamo che ad ogni $0
Scegliere un colore per $E subseteq RR$ equivale ad associare ad $E$ un unico valore in $[0,1]$.
Se vogliamo colorare un sottoinsieme $E$ finito e non vuoto possiamo scegliere il valore $lambda = lambda(E)$ in una maniera abbastanza naturale, ad esempio prendendo:

(C) $lambda(E) = |E\setminus QQ|/|E|$

(qui $|*|$ è il numero di elementi di un insieme); in questo modo:

[*:3rmaq4m6] $lambda(E) = 1$ solo se $E sub RR\setminus QQ$ (tutti gli elementi di $E$ sono irrazionali),

[/*:m:3rmaq4m6]
[*:3rmaq4m6] $lambda(E) = 0$ solo se $E sub QQ$ (tutti gli elementi di $E$ sono razionali),

[/*:m:3rmaq4m6]
[*:3rmaq4m6] $0< lambda(E) < 1$ se $E nn QQ != emptyset != E \setminus QQ$ (alcuni elementi di $E$ sono razionali ed alcuni sono irrazionali).[/*:m:3rmaq4m6][/list:u:3rmaq4m6]

Se l'insieme $E$ può essere infinito, l'attribuzione di un colore si scontra col fatto che il rapporto (C) non ha sempre significato.
In questi casi bisogna ricorrere a strumenti più sofisticati che consentano (al posto del numero di elementi $|*|$) di misurare la "grandezza" $g(*)$ dell'insieme $E$ e dell'insieme $E \setminus QQ$, in modo da riuscire a definire:

$lambda(E) = (g(E \setminus QQ))/(g(E))$;

oppure si abbandona l'idea di descrivere il colore $lambda$ in quella maniera lì e si prende un'altra strada che usi direttamente strumenti di teoria della misura e che non contenga necessariamente qualche analogo del rapporto (C).

Il problema è che l'insieme $QQ$ è -in molti e differenti modi- "mooolto più piccolo" dell'insieme $RR \setminus QQ$, quindi diventa anche difficile capire come stimare il contributo di $E nn QQ$ e di $E \setminus QQ$ al colore complessivo di $E$.

[michele_7483]

"axpgn":Ma l'OP vuole sapere il colore di una retta reale nel senso di linea fisica o della retta reale intesa come insieme dei numeri reali?

Insieme dei numeri reali

[axpgn]

Ma l'OP vuole sapere il colore di una retta reale nel senso di linea fisica o della retta reale intesa come insieme dei numeri reali?

[Faussone]

Nel totale non rigore matematico (che non sono in grado di avere), concordo con ghira.
Assumendo che un singolo punto non abbia colore visibile e che solo un segmento costituito da un insieme infinito di punti avrebbe un colore visibile[nota]Assunzione pure questa abbastanza arbitraria in realtà, ma vabbè assumiamo pure che il segmento in questione abbia un suo spessore finito e che lungo lo spessore sia quindi costituito da infiniti punti aventi lo stesso colore del numero rappresentato dall'ascissa del segmento[/nota], direi che il colore sarebbe in pratica quello degli irrazionali, visto che due razionali "vicini" sono separati da infiniti irrazionali.
Comunque seriamente non credo che la domanda abbia tantissimo senso, e quindi neanche la risposta

[axpgn]

Per esempio, il primo che mi viene in mente è il numero cromatico del piano denominato[size=150] $chi$[/size] ma ce ne sono innumerevoli.

[mgrau]

"axpgn":[quote="mgrau"]Per cui direi che l'attributo "colore" non è applicabile ai punti.

In teoria sì (infatti ci sono millanta problemi e teoremi che usano questo fatto), il colore è una caratteristica che puoi attribuire ad un punto;[/quote]
Me ne indichi qualcuno, per mia informazione? (sul serio, senza intento polemico).
Ma non sarà che il colore viene attribuito ad un punto in astratto, cioè assumendo a priori che significhi qualcosa? Perchè poi i piani senza attrito ecc. si usano per liberarsi di aspetti non essenziali, mentre qui mi pare proprio che siamo al cuore della questione, e costruirci sopra delle conseguenze mi sembra azzerdato.

[axpgn]

"mgrau":Per cui direi che l'attributo "colore" non è applicabile ai punti.

In teoria sì (infatti ci sono millanta problemi e teoremi che usano questo fatto), il colore è una caratteristica che puoi attribuire ad un punto; è il lato "pratico" della cosa che è un problema ... ma d'altra parte dovresti essere abituato ai piani senza attrito, all'atmosfera senza resistenza dell'aria, ai fili inestensibili, ecc.

[mgrau]

Come è noto, i numeri irrazionali sono "di più" dei razionali, cioè sono infiniti entrambi, ma i razionali sono di un infinito "più piccolo" (sono numerabili, e gli irrazionali no). Per cui si dovrebbe dar ragione a ghira.
Però c'è un problema ulteriore, e cioè è difficile immaginare cosa voglia dire colorare qualcosa che non ha estensione, visto che il colore va pur messo su una superficie (anche un pixel ha una sua dimensione), e in mancanza di questa... Per cui direi che l'attributo "colore" non è applicabile ai punti.

[michele_7483]

"gugo82":Dipende da come vuoi mischiare i colori.
E, fintantoché non chiarisci ciò, la domanda non ha nulla di matematico...

[xdom="gugo82"]... Quindi sposto in Generale.[/xdom]

Per esempio supponendo di rappresentare i razionali come punti gialli e gli irrazionali come punti blu, e che mischiando i due colori si ottenga il verde.

[gugo82]

Dipende da come vuoi mischiare i colori.
E, fintantoché non chiarisci ciò, la domanda non ha nulla di matematico...

[xdom="gugo82"]... Quindi sposto in Generale.[/xdom]

[ghira1]

Avrebbe il colore dei numeri irrazionali, essenzialmente.