Vedere in più dimensioni (spaziali)
Sarebbe molto utile in certe materie (geometria) riuscire ad immaginare le cose in 4 (o 5) dimensioni...
Ho sentito di gente molto brava in questo... c'è un modo per allenarsi? oppure qualche idea su come fare?
grazie
Ho sentito di gente molto brava in questo... c'è un modo per allenarsi? oppure qualche idea su come fare?
grazie
Risposte
"Frink":
secondo me la visualizzazione è molto sopravvalutata. In realtà non è così necessaria per fare matematica.
Concordo, per essere utile più che una vera e propria visualizzazione serve familiarità. Per questo credo che l'omotopia sia la strada maestra per i concetti alto-dimensionali[nota]In più di un senso
[/nota]. Un cilindro su un oggetto tridimensionale è la più semplice estensione a più dimensioni di oggetti che pensiamo facilmente, e fare esplicitamente i conti aiuta a familiarizzare col "comportamento" di questi oggetti laddove smettiamo di immaginarli. Il risultato più che una vera e propria "visione" è la creazione di scorciatoie mentali ("intuisco dove mi porteranno i conti anche senza farli, pensando all'incirca in termini geometrici") che tornano comunque molto utili ("capisco come impostare i conti per trovare facilmente risultati che non riesco a intuire")[nota]È un mio pensiero, ma credo che in epoca moderna la prassi sia stata sempre quella di attaccare i problemi in questo modo; il fatto che la gente si sia premurata di tirar fuori il teorema di Van Kampen o le successioni di Mayer-Vietoris credo che supporti quest'idea.[/nota]. Poi, una volta ottenuta un'intuizione decente di cosa siano le sfere e le palle in dimensione arbitraria ti ritrovi un'intuizione decente di qualsiasi cosa sia omeomorfo ad un CW-complesso abbastanza piccolo, pensandolo un pezzo per volta. D'altronde, cos'è uno spazio proiettivo, se non una successione di palle via via più grandi (dimensionalmente) incollate l'una nell'altra? 
Ovviamente ragionando così puoi (far finta di) "figurarti" le cose solo a meno di omeomorfismi, quindi perdi tutte le nozioni di natura metrica, ma in fondo a cosa servono?
"Frink":
Una "strategia" che ho trovato molto utile per visualizzare più dimensioni delle solite tre è intenderle per quello che sono: parametri.
Mi spiego: diciamo di avere un vettore in 10 dimensioni.
Le prime tre le diamo allo spazio, tanto per cambiare. La quarta possiamo darla al tempo, come tanti fanno. E con la quinta? Alla quinta metto il colore: variazione in numero corrisponde a variazione in colore.
E poi sesta, "ruvidità": un altro parametro ancora! Più è alta in numero la sesta componente e più è ruvido, rugoso l'oggetto. Settima, può essere il prezzo... Ottava, usura... E così via.
Ad ogni componente assegniamo un parametro qualsiasi, che ci aiuti nella comprensione.
Un po' off topic, ma non troppo: secondo me la visualizzazione è molto sopravvalutata. In realtà non è così necessaria per fare matematica. Certo non guasta per fare integrali multipli, o per fare alcune belle cose in Geometria ($pi_1$ sarebbe più comodo...), ma tanto si può fare senza vedere. Questione di abitudine, credo...
Faccio fatica ad intendere queste "caratteristiche" come il colore e la "ruvidità" come dimensioni...
Una "strategia" che ho trovato molto utile per visualizzare più dimensioni delle solite tre è intenderle per quello che sono: parametri.
Mi spiego: diciamo di avere un vettore in 10 dimensioni.
Le prime tre le diamo allo spazio, tanto per cambiare. La quarta possiamo darla al tempo, come tanti fanno. E con la quinta? Alla quinta metto il colore: variazione in numero corrisponde a variazione in colore.
E poi sesta, "ruvidità": un altro parametro ancora! Più è alta in numero la sesta componente e più è ruvido, rugoso l'oggetto. Settima, può essere il prezzo... Ottava, usura... E così via.
Ad ogni componente assegniamo un parametro qualsiasi, che ci aiuti nella comprensione.
Un po' off topic, ma non troppo: secondo me la visualizzazione è molto sopravvalutata. In realtà non è così necessaria per fare matematica. Certo non guasta per fare integrali multipli, o per fare alcune belle cose in Geometria ($pi_1$ sarebbe più comodo...), ma tanto si può fare senza vedere. Questione di abitudine, credo...
Mi spiego: diciamo di avere un vettore in 10 dimensioni.
Le prime tre le diamo allo spazio, tanto per cambiare. La quarta possiamo darla al tempo, come tanti fanno. E con la quinta? Alla quinta metto il colore: variazione in numero corrisponde a variazione in colore.
E poi sesta, "ruvidità": un altro parametro ancora! Più è alta in numero la sesta componente e più è ruvido, rugoso l'oggetto. Settima, può essere il prezzo... Ottava, usura... E così via.
Ad ogni componente assegniamo un parametro qualsiasi, che ci aiuti nella comprensione.
Un po' off topic, ma non troppo: secondo me la visualizzazione è molto sopravvalutata. In realtà non è così necessaria per fare matematica. Certo non guasta per fare integrali multipli, o per fare alcune belle cose in Geometria ($pi_1$ sarebbe più comodo...), ma tanto si può fare senza vedere. Questione di abitudine, credo...
C'è qualcosa che non mi torna nella domanda, per quanto affascinante. In questo caso "immaginare" significa cercare di tradurre in percezione sensibile un concetto (la quarta dimensione) che abbiamo definito e costruito in modo puramente intellettuale e astratto. Se la percezione visiva umana è in 3 dimensioni, non credo sia possibile "potenziarla", o meglio volerlo fare è una sorta di incoerenza: per analogia possiamo cercare di accostare le due cose (percezione sensibile e idea) per descriverle, pensarle, ma non potremmo mai portare a coinciderle, perché diverse per natura. Il discorso, comunque, è complessissimo: ci vorrebbe la biblioteca di babele per parlarne.
"gio73":
[quote="Дэвид"]
Consiglio caldamente anche io Flatlandia
tu l'hai già letto quel libro? Cosa ne pensi?
Al di là dell'aspetto matematico, mi pare che l'autore voglia descrivere la società del suo tempo [size=80]usando parecchia ironia[/size].[/quote]
Sì, l'ho letto. Cosa ne penso? Bellissimo libro, come scrivevo prima forse un po' troppo semplificato rispetto alla trattazione scientifica di questi argomenti[nota]Che però io stesso ignoro, quindi immagino solo essere più complessa, non che io ne conosca molto[/nota], ma ci sta in quanto divulgativo e in quanto un "racconto fantastico a più dimensioni" (e non un "Trattato fisico-filosofico...".
Come hai fatto notare tu, è molto forte anche la componente di critica verso la società. Vedi la figura della donna. È un libro che purtroppo è stato un po' "nerdizzato"[nota]Questo è positivo perché difficilmente l'avrei scoperto presto ma anche negativo, come tutte le "nerdizzazioni" e intendo quel fenomeno per cui di colpo tutti sono diventati interessati alla fisica, alla matematica e ai videogiochi (e qui mi dovete spiegare perché).[/nota]
Ignoro invece la parte del "riduzionismo positivista" e "materialismo" (traggo da Wikipedia). Dovrei rileggerlo con occhi nuovi.
Insomma: bello. MI piacerebbe leggere "sphereland" e vedere qualche film a poposito. Ma sono carichissimo di libri e temi interessanti! Non basta una vita....
La questione e' ovviamente semplificata siccome si tratta di un testo divulgativo, ma secondo me, per quanto divertente sia anche leggerlo, credo che sia una lettura che rinforzi l'intuizione spaziale 3D perche' per immedesimarsi in un abitante di flatlandia non bisogna guardare un mondo 2D da fuori ma bisogna viverci sopra.
"Дэвид":
Consiglio caldamente anche io Flatlandia
tu l'hai già letto quel libro? Cosa ne pensi?
Al di là dell'aspetto matematico, mi pare che l'autore voglia descrivere la società del suo tempo [size=80]usando parecchia ironia[/size].
"Luca.Lussardi":
Ti consiglio di leggere Flatlandia, di E. Abbot, ovvero un mondo 2D. Per esempio, un punto che si dilata diventando una circonferenza che raggiunge un massimo raggio per poi diminuire fino a ridiventare un punto e scomparire per gli abitanti di Flatlandia e' la vita di un qualche essere mentre in realta' e' una sfera 3D che ha attraversato Flatlandia. Lascio a te pensare che cosa sia in realtà un palloncino che si gonfia fino ad un massimo e poi si sgonfia, sarà davvero un oggetto 3D che nasce e muore?
Consiglio caldamente anche io Flatlandia, solo che ho l'impressione sia troppo "semplificata" la questione, per quanto immagino sostanzialmente corretta. Sbaglio?
vero, hai ragione... ma io mi riferivo solo a quelle spaziali.
Bisogna comunque dire che non sempre le dimensioni sono spaziali. Per esempio, matematicamente parlando, un punto materiale che si muove nello spazio tridimensionale viene rappresentato con 6 variabili. Insomma anche se un modello possiede n dimensioni non è sempre necessario visualizzarlo come appartenente a uno spazio così grande.
Ti consiglio di leggere Flatlandia, di E. Abbot, ovvero un mondo 2D. Per esempio, un punto che si dilata diventando una circonferenza che raggiunge un massimo raggio per poi diminuire fino a ridiventare un punto e scomparire per gli abitanti di Flatlandia e' la vita di un qualche essere mentre in realta' e' una sfera 3D che ha attraversato Flatlandia. Lascio a te pensare che cosa sia in realtà un palloncino che si gonfia fino ad un massimo e poi si sgonfia, sarà davvero un oggetto 3D che nasce e muore?
Anch'io pensavo di dover ragionare per analogia con le dimensioni inferiori... Voi sapreste portare qualche esempio/consiglio?
[ot] per queste cose bisogna agire da topologi 
[/quote]Non credo che definirle schizzinose sia corretto; direi estremamente esigenti.
Fin'ora: la topologia è andata a farsi benedire
ma appena si passa a una topologia non Zariski, allora sì che si diventa topologi! 
[/ot]
"Epimenide93":Eh, ma le varietà algebriche sono oggetti troppo schizzinosi
...[quote="j18eos"]Io ho già problemi con le \(\displaystyle3\) dimensioni, e mi definisco un geometra algebrico...
per queste cose bisogna agire da topologi [/quote]Non credo che definirle schizzinose sia corretto; direi estremamente esigenti.Fin'ora: la topologia è andata a farsi benedire
ma appena si passa a una topologia non Zariski, allora sì che si diventa topologi! [/ot]
Concordo con Luca, principalmente si ragiona per analogia, ma ciò unito ad una buona dose di intuizione formale permette di ottenere dei buoni risultati.
Ovviamente a seconda del contesto ci sono analogie con fenomeni in dimensione più bassa che possono tornare più o meno utili, o addirittura fuorvianti, e capire a quale analogia ricorrere è anche una questione di esperienza.
Un ottimo allenamento per capire "come vanno le cose" in dimensione $4$ può essere studiare la fibrazione di Hopf, o risolvere questo esercizio, o esercizi simili, provando a "vedere" la soluzione. Anche sporcarsi le mani calcolando esplicitamente certe equivalenze omotopiche di oggetti tridimensionali aiuta molto.
[ot]
Eh, ma le varietà algebriche sono oggetti troppo schizzinosi per queste cose bisogna agire da topologi [/ot]
Ovviamente a seconda del contesto ci sono analogie con fenomeni in dimensione più bassa che possono tornare più o meno utili, o addirittura fuorvianti, e capire a quale analogia ricorrere è anche una questione di esperienza.
Un ottimo allenamento per capire "come vanno le cose" in dimensione $4$ può essere studiare la fibrazione di Hopf, o risolvere questo esercizio, o esercizi simili, provando a "vedere" la soluzione. Anche sporcarsi le mani calcolando esplicitamente certe equivalenze omotopiche di oggetti tridimensionali aiuta molto.
[ot]
"j18eos":
Io ho già problemi con le \(\displaystyle3\) dimensioni, e mi definisco un geometra algebrico...
Eh, ma le varietà algebriche sono oggetti troppo schizzinosi
per queste cose bisogna agire da topologi [/ot]
Questo video è veramente simpatico
Non esiste un modo per immaginare oltre la terza dimensione (spaziale, si intende, la quarta potrebbe essere il tempo come accennato ma e' solo un trucco per aggirare il problema). L'unica possibilità è ragionare per analogia.
Io ho già problemi con le \(\displaystyle3\) dimensioni, e mi definisco un geometra algebrico...
L'unico modo per allenarsi è lavorarci sopra. Comunque n=4 è il più difficile di tutti. http://en.m.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4
Be', si può già dire che una buon allenamento alla quarta dimensione de lo dà il tempo che passa….
….siediti , e aspetta….
MA non vorrei parlare di relatività pure qui, ne sono pieno …..
….siediti , e aspetta….
MA non vorrei parlare di relatività pure qui, ne sono pieno …..
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