Un'urna con infinite palline
Considerate la seguente situazione:
"Si ha un'urna, inizialmente vuota, e infinite palline, contrassegnate con i numeri naturali 0,1,2,... Il primo giorno vengono messe nell'urna dieci palline, quelle corrispondenti ai numeri da 0 a 9 e viene tolta la pallina contrassegnata con il numero massimo, cioè 9. Il secondo giorno vengono aggiunte nell'urna altre dieci palline, quelle corrispondenti ai numeri da 10 a 19, e ancora viene tolta la pallina contrassegnata con il numero massimo, cioè 19. Si prosegue così, per infiniti giorni. È chiaro che, alla fine, rimarranno nell'urna infinite palline, tutte quelle corrispondenti ai numeri che terminano con una cifra diversa da 9.
Ora si ripeta il procedimento con una sola modifica: ogni volta togliamo dall'urna la pallina contrassegnata con il numero minimo fra quelle presenti: il primo giorno, introdotte nell'urna le palline da 0 a 9, viene tolta la pallina contrassegnata con il numero 0; il secondo giorno, aggiunte le palline da 10 a 19, essendo ancora presenti nell’urna le palline da 1 a 9, viene tolta la pallina 1, etc. Alla fine, quante palline rimarranno nell'urna? La situazione sembra del tutto analoga alla precedente perché, in questo caso come in quello già visto, ogni giorno ci sono nell'urna nove palline in più rispetto al giorno prima.
Tuttavia questa volta l'urna, alla fine, è vuota: per ogni n, la pallina contrassegnata con il numero n è stata tolta l'(n+1)-esimo giorno".
In termini rigorosi di teoria degli insiemi, il paradosso è legato al fatto che la cardinalità dell’unione di insiemi non è necessariamente la somma delle cardinalità degli insiemi stessi.
Considerando la parte in grassetto (che ho trovato in un libro), il mio professore ha fatto la seguente osservazione:
"Non mi pare che questa sia una spiegazione sensata delle difficoltà incontrate nel paradosso. Intanto l’affermazione corretta è che: la cardinalità dell’unione di due insiemi è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi. Però bisogna precisare cosa si intende per cardinalità, anche di insiemi infiniti, e come è definita la somma di cardinalità in questi casi, definizione che è ben diversa da quella di somma tra naturali. Che poi il paradosso sia legato a quanto ho esposto è vero comunque, e non solo in base a termini rigorosi della teoria degli insiemi".
Come posso rispondere alle sue osservazioni? Grazie.
"Si ha un'urna, inizialmente vuota, e infinite palline, contrassegnate con i numeri naturali 0,1,2,... Il primo giorno vengono messe nell'urna dieci palline, quelle corrispondenti ai numeri da 0 a 9 e viene tolta la pallina contrassegnata con il numero massimo, cioè 9. Il secondo giorno vengono aggiunte nell'urna altre dieci palline, quelle corrispondenti ai numeri da 10 a 19, e ancora viene tolta la pallina contrassegnata con il numero massimo, cioè 19. Si prosegue così, per infiniti giorni. È chiaro che, alla fine, rimarranno nell'urna infinite palline, tutte quelle corrispondenti ai numeri che terminano con una cifra diversa da 9.
Ora si ripeta il procedimento con una sola modifica: ogni volta togliamo dall'urna la pallina contrassegnata con il numero minimo fra quelle presenti: il primo giorno, introdotte nell'urna le palline da 0 a 9, viene tolta la pallina contrassegnata con il numero 0; il secondo giorno, aggiunte le palline da 10 a 19, essendo ancora presenti nell’urna le palline da 1 a 9, viene tolta la pallina 1, etc. Alla fine, quante palline rimarranno nell'urna? La situazione sembra del tutto analoga alla precedente perché, in questo caso come in quello già visto, ogni giorno ci sono nell'urna nove palline in più rispetto al giorno prima.
Tuttavia questa volta l'urna, alla fine, è vuota: per ogni n, la pallina contrassegnata con il numero n è stata tolta l'(n+1)-esimo giorno".
In termini rigorosi di teoria degli insiemi, il paradosso è legato al fatto che la cardinalità dell’unione di insiemi non è necessariamente la somma delle cardinalità degli insiemi stessi.
Considerando la parte in grassetto (che ho trovato in un libro), il mio professore ha fatto la seguente osservazione:
"Non mi pare che questa sia una spiegazione sensata delle difficoltà incontrate nel paradosso. Intanto l’affermazione corretta è che: la cardinalità dell’unione di due insiemi è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi. Però bisogna precisare cosa si intende per cardinalità, anche di insiemi infiniti, e come è definita la somma di cardinalità in questi casi, definizione che è ben diversa da quella di somma tra naturali. Che poi il paradosso sia legato a quanto ho esposto è vero comunque, e non solo in base a termini rigorosi della teoria degli insiemi".
Come posso rispondere alle sue osservazioni? Grazie.
Risposte
"Sergio":
A me quello che sembra alquanto paradossale del paradosso è: se "si prosegue così, per infiniti giorni", come si fa a dire cosa succede "alla fine"?
L'insieme "infiniti giorni" è forse limitato superiormente?
penso che si possa ovviare a questo invece che facendo l'operazione ogni giorno, ogni $1/n^2$ giorni, e chiedersi di com'è la situazione dopo che ne sono passati $pi^2/6$.. stile achille e tartaruga
Continuando a pensarci, per mettermi dal punto di vista del libro, mi pare che lui ragioni cosi':
dato $n$ consideriamo
$A_n:={"numeri da" 1 " a " 10 n, "che non finiscono per "9}$
$B_n:={"numeri da "n+1" a "10n}$.
I due insiemi hanno entrambi cardinalita' $9n$ ma i loro "limiti" hanno cardinalita' diversa
in quanto il primo da' l'insieme $A$ dei numeri interi che non finiscono per $9$ (e che sono infiniti ) mentre
il secondo da' il vuoto.
Visto cosi' il problema (tecnico) e' che mentre gli $A_n$ sono
"inscatolati", cioe' $A_{n}\subset A_{n+1}$ e quindi il "limite degli $A_n$" e' ragionevolmente
l'unione $A=U_n A_n$, non e' invece chiaro come definire il "limite dei $B_n$". Se ci si inventa una
definizione per cui il limite dei $B_n$ e' vuoto (come nell'esempio si da' per scontato) allora la proprieta' che
fallisce e' " cardinalita' del limite = il limite delle cardinalita' " (come invece e' vero per gli $A_n$)
Mi pare
dato $n$ consideriamo
$A_n:={"numeri da" 1 " a " 10 n, "che non finiscono per "9}$
$B_n:={"numeri da "n+1" a "10n}$.
I due insiemi hanno entrambi cardinalita' $9n$ ma i loro "limiti" hanno cardinalita' diversa
in quanto il primo da' l'insieme $A$ dei numeri interi che non finiscono per $9$ (e che sono infiniti ) mentre
il secondo da' il vuoto.
Visto cosi' il problema (tecnico) e' che mentre gli $A_n$ sono
"inscatolati", cioe' $A_{n}\subset A_{n+1}$ e quindi il "limite degli $A_n$" e' ragionevolmente
l'unione $A=U_n A_n$, non e' invece chiaro come definire il "limite dei $B_n$". Se ci si inventa una
definizione per cui il limite dei $B_n$ e' vuoto (come nell'esempio si da' per scontato) allora la proprieta' che
fallisce e' " cardinalita' del limite = il limite delle cardinalita' " (come invece e' vero per gli $A_n$)
Mi pare
Si tratta di questioni in cui per rispondere sarebbe necessario essere molto rigorosi perche' trattando con gli infiniti i risultati sono spesso controintuitivi.
Senza andare troppo a fondo faccio due commenti:
1) Mi pare che il tuo prof. abbia ragione. Mi risulta (ma ci vorrebbe un esperto) che, con le opportune definizioni di cardinalita' e somma, sia vero che
la cardinalita' della somma e' la somma delle cardinalita'
2) Non sono invece convinto della spiegazione del libro (anche perche' la frase in se' non spiega molto).
Mi pare invece che cio' che nell'esempio produce la senzazione del paradosso sia piuttosto il fatto che tra insiemi infiniti il tutto puo' avere la stessa cardinalita' di una sua parte propria.
Nei due procedimenti in effetti si tolgono da $NN$ due sottoinsiemi, che nel primo caso sono i numeri che finiscono per $9$ (chiamiamo $A$ questo insieme), e nel secondo
sono tutti i numeri. Non c'e niente di strano (almeno per noi che viviamo nel paradiso di Cantor ...) dato che $A$ e $NN$ hanno la stessa cardinalita'.
Senza andare troppo a fondo faccio due commenti:
1) Mi pare che il tuo prof. abbia ragione. Mi risulta (ma ci vorrebbe un esperto) che, con le opportune definizioni di cardinalita' e somma, sia vero che
la cardinalita' della somma e' la somma delle cardinalita'
2) Non sono invece convinto della spiegazione del libro (anche perche' la frase in se' non spiega molto).
Mi pare invece che cio' che nell'esempio produce la senzazione del paradosso sia piuttosto il fatto che tra insiemi infiniti il tutto puo' avere la stessa cardinalita' di una sua parte propria.
Nei due procedimenti in effetti si tolgono da $NN$ due sottoinsiemi, che nel primo caso sono i numeri che finiscono per $9$ (chiamiamo $A$ questo insieme), e nel secondo
sono tutti i numeri. Non c'e niente di strano (almeno per noi che viviamo nel paradiso di Cantor ...) dato che $A$ e $NN$ hanno la stessa cardinalita'.
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