Una definizione alternativa di limite
Dal punto di vista operativo-computazionale mi sembra più "azzeccata" questa definizione di limite:
il limite per x che va a c di f(x) è uguale ad l se per ogni successione xn convergente a c, la successione f(xn) converge a l.
Certamente è una definizione più vicina all'idea intuitiva che abbiamo di limite (suggerisce un procedimento operativo per stimarlo), quindi più facile da digerire per gli studenti, più didattica, visiva.
Secondo me, nei corsi di Analisi, sarebbe opportuno studiare per bene i limiti di successioni e dimostrarne i teoremi con le irrinunciabili definizioni per disuguaglianze, quelle classiche.
Così, i teoremi sui limiti di funzioni si dimostrano in modo immediato a partire dai teoremi sui limiti di successioni.
Unico problema: come faccio a dimostrare rigorosamente l'equivalenza tra la definizione fornita qui e quella "classica" per disuguaglianze? Vi confesso che qui incontro difficoltà...
il limite per x che va a c di f(x) è uguale ad l se per ogni successione xn convergente a c, la successione f(xn) converge a l.
Certamente è una definizione più vicina all'idea intuitiva che abbiamo di limite (suggerisce un procedimento operativo per stimarlo), quindi più facile da digerire per gli studenti, più didattica, visiva.
Secondo me, nei corsi di Analisi, sarebbe opportuno studiare per bene i limiti di successioni e dimostrarne i teoremi con le irrinunciabili definizioni per disuguaglianze, quelle classiche.
Così, i teoremi sui limiti di funzioni si dimostrano in modo immediato a partire dai teoremi sui limiti di successioni.
Unico problema: come faccio a dimostrare rigorosamente l'equivalenza tra la definizione fornita qui e quella "classica" per disuguaglianze? Vi confesso che qui incontro difficoltà...
Risposte
Esiste un teorema detto teorema ponte che mostra l'equivalenza tra le due definizioni di limite date.
Ciao Mysterium,
se richiedi che x_n, oltre a stare nel dominio, sia distinto da c ottieni l'usuale def. di limite "sequenziale". Questa aggiunta non dovrebbe guastare la "naturalezza" del discorso e ti consente di non "allontanarti" dai risultati tradizionali.
Ciao
se richiedi che x_n, oltre a stare nel dominio, sia distinto da c ottieni l'usuale def. di limite "sequenziale". Questa aggiunta non dovrebbe guastare la "naturalezza" del discorso e ti consente di non "allontanarti" dai risultati tradizionali.
Ciao
Non è vera l'equivalenza; o meglio è vera solo se uno utilizza una definizione meno usuale di limite. Faccio presente che io a lezione adotto esattamente questa procedura, avendo studiato così all'Università: parto dal limite di successioni e definisco limite di funzioni esattamente nel modo introdotto da mysterium.
La definizione meno usuale di limite che io adotto è questa. Sia $f : E \to \RR$ e sia $c$ che sta nella chiusura di $E$; allora $l=\lim_(x \to c)f(x)$ se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui per ogni $x \in E \cap (c-\delta,c+\delta)$ si abbia $|f(x)-l|<\epsilon$.
Rispetto alla definizione usuale in tale definizione il punto $c$ non viene escluso; ne segue che, ad esempio, la funzione $f=0$ dappertutto meno che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite per $x \to 0$. Si dimostra infatti che se $f$ ammette limite per $x \to c$ e $f$ è definita in $c$, allora $f(c)=\lim_(x \to c)f(x)$.
La definizione che ho dato, che è quella che io ritengo la vera definizione di limite e la più intuitiva, equivale a quella per successioni postata da mysterium.
La definizione meno usuale di limite che io adotto è questa. Sia $f : E \to \RR$ e sia $c$ che sta nella chiusura di $E$; allora $l=\lim_(x \to c)f(x)$ se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui per ogni $x \in E \cap (c-\delta,c+\delta)$ si abbia $|f(x)-l|<\epsilon$.
Rispetto alla definizione usuale in tale definizione il punto $c$ non viene escluso; ne segue che, ad esempio, la funzione $f=0$ dappertutto meno che in $x=0$ dove vale $1$ non ammette limite per $x \to 0$. Si dimostra infatti che se $f$ ammette limite per $x \to c$ e $f$ è definita in $c$, allora $f(c)=\lim_(x \to c)f(x)$.
La definizione che ho dato, che è quella che io ritengo la vera definizione di limite e la più intuitiva, equivale a quella per successioni postata da mysterium.
...in che senso, Maxos?
Aspetto ancora una dimostrazione dell'equivalenza delle definizioni...
Aspetto ancora una dimostrazione dell'equivalenza delle definizioni...
Sì ma questo è direi un uso generale di partire dalle successioni, quello che dice Mysterium è un'altra cosa.
La proposta di Mysterium mi sembra che sia accolta da alcuni testi classici di Analisi. Se non ricordo male per esempio lo Stampacchia parte dalla definizione di limite di successione per poi passare alle funzioni definite sui reali. D'altra parte i numeri reali stessi possono essere definiti come limiti di convergenza di successioni di razionali.
ciao
ciao
Mah, quel "per ogni" davanti toglie tutti i pregi intuizionistici alla tua definizione.
La più intuitiva rimane quella con gli intorni generici, al parer mio.
La più intuitiva rimane quella con gli intorni generici, al parer mio.
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