Un altro quesito di logica

[Lorenzo Pantieri]

Ciao a tutti.

Il secondo teorema di Goedel afferma, in parole povere, che un sistema consistente che sia sufficientemente espressivo da contenere l'aritmetica non può provare la propria consistenza.

I teoremi di Goedel, però, non valgono per la teoria dei numeri reali, che -contrariamente all'aritmetica- è completa e decidibile.

Perché non fare così, allora? Innanzitutto ci mettiamo all'interno della teoria dei numeri reali e ne dimostriamo la consistenza. Dopo di ciò, dimostriamo la consistenza dell'aritmetica "dall'esterno", basandoci proprio sulla teoria dei numeri reali.

Genzen ha fatto così per rpovare la consistenza dell'aritmetica?

A questo punto, però, non capisco una cosa. Se è così facile (in teoria) "aggirare l'ostacolo" del secondo teorema di Goedel, perché questo teorema limitativo viene considerato da tutti così devastante? Che cosa mi sfugge?

Grazie a chi vorrà aiutarmi!

Ciao,
Lorenzo

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"Lorenzo Pantieri":
2. la teoria dei numeri reali è completa e decidibile, però neppure in questo caso è possibile dimostrare la sua coerenza dall'interno.

Mi piacerebbe sapere se c'è un teorema "notevole", analogo al II di Goedel, che dice espressamente come sia impossibile dimostrare la coerenza di $R$ dal suo interno.

Non so se esiste, di sicuro non l'ho mai sentito né letto. A istinto direi che non esiste, ma non fidiamoci dell'istinto che è meglio. Farò qualche ricerca, se troverò qualcosa mi farò vivo.

[Lorenzo Pantieri]

"fields":Uhm... Come fai a provare dall'interno la consistenza di R? Dovresti avere una formula F di R tale che se F è dimostrabile allora R è consistente. E inoltre F dovrebbe essere dimostrabile in R. Ma dell'esistenza di F ho seri dubbi... Ricordati che la teoria dei reali non contiene l'aritmetica e dunque non puoi effettuare l'aritmetizzazione del concetto di dimostrabilità, che era la chiave che permetteva all'aritmetica di parlare di se stessa...

Ah, ecco! Forse le cose stanno così:

1. l'aritmetica non è né completa né decidibile (I Goedel) né è possibile dimostrare la sua coerenza dall'interno (II Goedel);
2. la teoria dei numeri reali è completa e decidibile, però neppure in questo caso è possibile dimostrare la sua coerenza dall'interno.

Mi piacerebbe sapere se c'è un teorema "notevole", analogo al II di Goedel, che dice espressamente come sia impossibile dimostrare la coerenza di $R$ dal suo interno.

Grazie mille, sei stato preziosissimo come al solito!

Ciao,
L.

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Uhm... Come fai a provare dall'interno la consistenza di R? Dovresti avere una formula F di R tale che se F è dimostrabile allora R è consistente. E inoltre F dovrebbe essere dimostrabile in R. Ma dell'esistenza di F ho seri dubbi... Ricordati che la teoria dei reali non contiene l'aritmetica e dunque non puoi effettuare l'aritmetizzazione del concetto di dimostrabilità, che era la chiave che permetteva all'aritmetica di parlare di se stessa...

[Lorenzo Pantieri]

"fields":
No, Gentzen non ha fatto così, e del resto non capisco proprio la tua idea di dimostrazione...

Provo a spiegarmi meglio. Il secondo teorema di Goedel afferma che non si può provare la consistenza dell'aritmetica dall'interno dell'aritmetica. Tuttavia i teoremi di Goedel non valgono per la teoria dei numeri reali, che è completa e decidibile. Ora, seguo questa linea di azione:

1. mi metto all'interno della teoria dei numeri reali, dove i teoremi di Goedel non valgono, e dove non ho né incompletezza né indecidibilità;
2. dimostro la consistenza di $R$;
3. provata la consistenza di $R$, passo a dimostrare, sempre dentro $R$, la consistenza dell'aritmetica: in altre parole dimostro la consistenza dell'aritmetica "dall'esterno".

In questo modo, ho superato le limitazioni del secondo teorema di Goedel: non ho dimostrato la consistenza dell'aritmetica dall'interno (cosa impossibile a farsi), ma ho dimostrato la coerenza dell'aritmetica.

Cosa c'è di sbagliato?

Grazie mille,
Lorenzo

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"Lorenzo Pantieri":
Perché non fare così, allora? Innanzitutto ci mettiamo all'interno della teoria dei numeri reali e ne dimostriamo la consistenza. Dopo di ciò, dimostriamo la consistenza dell'aritmetica "dall'esterno", basandoci proprio sulla teoria dei numeri reali.

Genzen ha fatto così per rpovare la consistenza dell'aritmetica?

No, Gentzen non ha fatto così, e del resto non capisco proprio la tua idea di dimostrazione...

Per la cronoca, Gentzen ha utilizzato i numeri ordinali e l'induzione transfinita nella sua prova, e di certo tali strumenti non sarebbero stati ammessi dal programma di Hilbert per le prove di consistenza...

A questo punto, però, non capisco una cosa. Se è così facile (in teoria) "aggirare l'ostacolo" del secondo teorema di Goedel, perché questo teorema limitativo viene considerato da tutti così devastante? Che cosa mi sfugge?

Mah, la questione sul carattere devastante o meno del secondo teorema di Godel la lascio sbrigare ai filosofi, chissà che entro 2000-3000 anni non ci diano una risposta soddisfacente... Comunque il "problema" della dimostrazione di Gentenz è che non è espressa dentro il sistema formale dell'aritmetica. L'idea è che le prove di consistenza formalizzate avrebbero povuto essere "affidabili" e rigorose, al contrario di quelle informali espresse nel linguaggio naturale.