Teoria dei numeri
ciao, volevo chiedere a voi quali sono i risultati principali in (1)Algebraic (2)Geometric (3)Analytic Number Theory
ed anche le congetture principali. So che è una domanda un pò vasta, forse sono io ma sul web non trovo risposte se non degli accenni, ed io voglio comprendere di cosa si occupano questi settori.
Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.
vi ringrazio
ed anche le congetture principali. So che è una domanda un pò vasta, forse sono io ma sul web non trovo risposte se non degli accenni, ed io voglio comprendere di cosa si occupano questi settori.
Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.
vi ringrazio
Risposte
"Il_Gariboldi":
@gabriella127: era mica Anne Bauval? Se così ha aiutato anche me per i down, mi ha segnalato un errore che ho fatto nel funzionamento delle risposte, ed è l'unica che ha risposto sensatamente alla mia domanda
Curiosità
Sì sì, deve essere lei, citavo a memoria e ho sbagliato il cognome, insegna matematica all'università in Francia. È una che aiuta e non è spocchiosa.
Certo l'obiettivo non può essere quello, caos e scortesia e perdita di tempo.
Poi è vero che ogni sito ha una sua policy, ma deve essere comprensibile agli utenti, e non duecento 'policy' inventate ognuna da un gruppo di gente che si riunisce in chat e si fanno concorrenza tra gruppi e gestiscono i thread a vanvera.
Il fatto è che Stack Exchange è una azienda che mira a fare profitti, e il sito funziona e a loro tanto basta.
E c'è questa tecnica di moderazione per cui ci sono pochi moderatori ufficiali, ma hanno poteri di moderazione tutti quelli che arrivano a una certa reputazione (punteggio acquisito con gli upvote), a prescindere dalle capacità.
È un sistema ormai consolidato nel tempo, e funziona, ma ha difetti anche grossi.
MathSE è una comunità grandissima per cui non hanno penuria di utenti, e quindi va bene così.
Ma in comunità più piccole questo stile può dare problemi nel ridurre il numero di partecipanti, mi pare che è quello che capita in EconomicSE, anche se lì è diverso, non ci sono le bande di chiuditori seriali scorazzanti.
Però è un vero peccato che un sito come Economic StackExchange, con un bacinio potenziale di utenza enorme, e di notevoli potenzialità, non si sviluppi, consentendo uno scambio più ampio e interessante, è un vero peccato.
Poi è vero che ogni sito ha una sua policy, ma deve essere comprensibile agli utenti, e non duecento 'policy' inventate ognuna da un gruppo di gente che si riunisce in chat e si fanno concorrenza tra gruppi e gestiscono i thread a vanvera.
Il fatto è che Stack Exchange è una azienda che mira a fare profitti, e il sito funziona e a loro tanto basta.
E c'è questa tecnica di moderazione per cui ci sono pochi moderatori ufficiali, ma hanno poteri di moderazione tutti quelli che arrivano a una certa reputazione (punteggio acquisito con gli upvote), a prescindere dalle capacità.
È un sistema ormai consolidato nel tempo, e funziona, ma ha difetti anche grossi.
MathSE è una comunità grandissima per cui non hanno penuria di utenti, e quindi va bene così.
Ma in comunità più piccole questo stile può dare problemi nel ridurre il numero di partecipanti, mi pare che è quello che capita in EconomicSE, anche se lì è diverso, non ci sono le bande di chiuditori seriali scorazzanti.
Però è un vero peccato che un sito come Economic StackExchange, con un bacinio potenziale di utenza enorme, e di notevoli potenzialità, non si sviluppi, consentendo uno scambio più ampio e interessante, è un vero peccato.
"gabriella127":
... ma certo ha questo aspetto di funzionamento che non invoglia..
Ma sai, forse l'obiettivo è questo, non mi riferisco tanto MathSE in particolare ma in generale ad ogni comunità.
Voglio dire che accade normalmente che ogni gruppo che funzioni tende ad avere regole sue, anche non scritte, ed ogni "straniero" viene sempre accolto con più o meno diffidenza sperando che non rompa "l'armonia".
Po ci sono posti più accoglienti ed altri meno e c'è chi si trova più a suo agio in montagna e chi al mare
@gabriella127: era mica Anne Bauval? Se così ha aiutato anche me per i down, mi ha segnalato un errore che ho fatto nel funzionamento delle risposte, ed è l'unica che ha risposto sensatamente alla mia domanda
Curiosità
Curiosità
Sono d'accordissimo che Stack Exchange è un sito importante e utilissimo, questo non vuol dire che non ci siano dei difettacci nella gestione, in particolare, come hanno spesso lamentato anche utenti di alta reputazione su MetaSE (la sezione dove si discute delle problematiche del sito), gruppi di chiuditori seriali frettolosi, superficiali e spesso ignoranti, per niente costruttivi, fanno caos, ogni gruppo con una sua ''policy' di cui discutono in chat, mi dicono.
Per non parlare dell'abitudine di postare una scarica di critiche scortesi come tono, spesso poco utili, quando un nuovo utente fa una domanda, e la scarica di downvotes senza spiegazione.
Questo in particolate su MathSE, Economic SE ha caratteristiche simili, anche se essendo piccolo funziona diversamente.
Non parlo di cose capitate a me, ma quello che ho osservato vedendo i post degli altri.
Vi faccio però un esempio capitato a me, tanto per capire che intendo.
Un utente aveva chiesto come si dimostrava che una funzione iniettiva tra due insiemi di uguale cardinalità è anche suriettiva.
Io ho risposto che il teorema è falso, perché è falso per insiemi infiniti, e ho indicato un controesempio.
Nel momento stesso in cui ho postato già avevo un downvote, boh.
Interviene nei commenti un'utente di alta reputazione, una professoressa universitaria, una certa Anne Duvall, mi pare, e dice che non capisce il downvote e mi dà un upvote. Interviene un altro utente di alta reputazione e dice lo stesso e mi dà un upvote.
Poi cominciano commenti su perché il downvote, uno dice ''Forse doveva essere un commento e non una risposta'', boh? Un altro dice : "La risposta è corretta, ma forse è contraria alla policy del sito". Triplo boh, mi chiedo ancora come dire che un teorema non è vero può essere contrario alla policy del sito.
Poi comincia un dibattito tra questa Anne e un utente, un certo Peter, che non capisce la differenza tra funzione iniettiva e biezione, e Anne si esaspera nel cercare di spiegarglielo. "Insomma, Peter, ti ho detto che funzione iniettiva e biezione non sono la stessa cosa!".
Nel frattempo l'OP vede la mia risposta, e modifica la sua domanda, scrivendo 'per insiemi finiti' nel testo, cosicché la mia risposta diventa idiota e inutile.
A questo punto interviene un chiuditore seriale dicendo "Così la domanda è un duplicato, chiudiamola", invece di dire all'OP "Guarda, non devi modificare il testo del teorema nella domanda in base alle risposte".
Passano pochi minuti e la banda di chiuditori, tra cui Peter che non sa cosa è una biezione, chiudono il thread e lo cancellano.
Io ho perso mezz'ora nel loro assurdo dibattito, a capire cosa sarà mai questa policy che avrei violato, e ho perso i miei upvote e il mio tempo.
Insomma, caos, e non è un'eccezione.
Questo non vuol dire che MathSE non sia ottimo, ma certo ha questo aspetto di funzionamento che non invoglia..
Per non parlare dell'abitudine di postare una scarica di critiche scortesi come tono, spesso poco utili, quando un nuovo utente fa una domanda, e la scarica di downvotes senza spiegazione.
Questo in particolate su MathSE, Economic SE ha caratteristiche simili, anche se essendo piccolo funziona diversamente.
Non parlo di cose capitate a me, ma quello che ho osservato vedendo i post degli altri.
Vi faccio però un esempio capitato a me, tanto per capire che intendo.
Un utente aveva chiesto come si dimostrava che una funzione iniettiva tra due insiemi di uguale cardinalità è anche suriettiva.
Io ho risposto che il teorema è falso, perché è falso per insiemi infiniti, e ho indicato un controesempio.
Nel momento stesso in cui ho postato già avevo un downvote, boh.
Interviene nei commenti un'utente di alta reputazione, una professoressa universitaria, una certa Anne Duvall, mi pare, e dice che non capisce il downvote e mi dà un upvote. Interviene un altro utente di alta reputazione e dice lo stesso e mi dà un upvote.
Poi cominciano commenti su perché il downvote, uno dice ''Forse doveva essere un commento e non una risposta'', boh? Un altro dice : "La risposta è corretta, ma forse è contraria alla policy del sito". Triplo boh, mi chiedo ancora come dire che un teorema non è vero può essere contrario alla policy del sito.
Poi comincia un dibattito tra questa Anne e un utente, un certo Peter, che non capisce la differenza tra funzione iniettiva e biezione, e Anne si esaspera nel cercare di spiegarglielo. "Insomma, Peter, ti ho detto che funzione iniettiva e biezione non sono la stessa cosa!".
Nel frattempo l'OP vede la mia risposta, e modifica la sua domanda, scrivendo 'per insiemi finiti' nel testo, cosicché la mia risposta diventa idiota e inutile.
A questo punto interviene un chiuditore seriale dicendo "Così la domanda è un duplicato, chiudiamola", invece di dire all'OP "Guarda, non devi modificare il testo del teorema nella domanda in base alle risposte".
Passano pochi minuti e la banda di chiuditori, tra cui Peter che non sa cosa è una biezione, chiudono il thread e lo cancellano.
Io ho perso mezz'ora nel loro assurdo dibattito, a capire cosa sarà mai questa policy che avrei violato, e ho perso i miei upvote e il mio tempo.
Insomma, caos, e non è un'eccezione.
Questo non vuol dire che MathSE non sia ottimo, ma certo ha questo aspetto di funzionamento che non invoglia..
Grazie, era quello che cercavo! 
Per quanto riguarda Stack exchange potrei anche aver esagerato nel valutarlo troppo a impressione, ma se faccio una domanda e in nemmeno 2 minuti mi becco 4 voti negativi (che mandano giù la reputazione, cosa che in quei siti fa peso) e mi si blocca la domanda, io mi immagino sia popolato da dei pistoleri ossessivo-compulsivi.
Per quanto riguarda Stack exchange potrei anche aver esagerato nel valutarlo troppo a impressione, ma se faccio una domanda e in nemmeno 2 minuti mi becco 4 voti negativi (che mandano giù la reputazione, cosa che in quei siti fa peso) e mi si blocca la domanda, io mi immagino sia popolato da dei pistoleri ossessivo-compulsivi.
ma niente ti impedisce di lavorarci sopra e scrivere una domanda più specifica
Verissimo, ma infatti poi ti aiutano a correggere il tiro. E dopo qualche errore capisci e ti allinei. Però, a sentimento, preferisco come punto di scambio (culturale) i forum.
Inoltre, ho trovato la grafica molto dispersiva: post grandi piccoli, di lato a dx sx... non so, forse è abitudine al nostro ma non mi piace quel tipo di layout.
Per il resto in realtà risposte sbagliate ci sono, ad esempio su 3/4 ricevute 2 erano davvero molto imprecise.
Forse preferisco usarlo passivamente, mi è capitato molte volte di ricevere notevole aiuto, non posso negarlo (con passivamente intendo con domande poste da altri per cui c'erano risposte che erano veri gioiellini).
"Cosimo00110":Sono molto in disaccordo con il tuo approccio generale all'argomento, math stack exchange è uno dei migliori siti di matematica, se non il migliore, perché l'utente medio di quel sito è un ricercatore o comunque qualcuno che fa ricerca attivamente, e le risposte, quando sono ben valutate, sono veramente ottime. D'altra parte, non è il tipo di sito dove troverai calore umano. Se scrivi una domanda troppo vaga (e ti informo che la tua domanda è troppo vaga) verrà chiusa, ma niente ti impedisce di lavorarci sopra e scrivere una domanda più specifica. Questo forum invece (Matematicamente) è un forum di discussione di più ampio respiro e il tuo tipo di domanda (troppo vaga) si adatta meglio qui perché troverai opinioni diverse, controdomande, richieste di chiarimenti eccetera. In parole povere, qui su matematicamente nessuno è contrario a domande troppo vaghe, mentre su stack exchange sono contrari a domande troppo vaghe.
@3m0o io la penso diversamente a riguardo (cioè ci saranno pure persone di spessore all'interno) ma la maggior parte sono dei nevrotici pazzoidi, a come la vedo io
"Cosimo00110":
ciao, volevo chiedere a voi quali sono i risultati principali in (1)Algebraic (2)Geometric (3)Analytic Number Theory
ed anche le congetture principali. So che è una domanda un pò vasta, forse sono io ma sul web non trovo risposte se non degli accenni, ed io voglio comprendere di cosa si occupano questi settori.
Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.
vi ringrazio
E' una domanda un po' complessa perchè i risultati si sono stratificati nel corso degli anni, e alcune cose assolutamente fondamentali, come il teorema di Mordell-Weil o il teorema di Dirichlet sui primi in progressione aritmetica sono considerati risultati classici ormai, e fanno parte della teoria di base. Inoltre distinguere tra algebraic number theory e geometric number theory ha poco senso; diciamo che la divisione generale è tra geometria aritmetica/teoria algebrica dei numeri (che sono aree legate a doppio filo) e teoria analitica dei numeri. Oltretutto alcune congetture fondamentali, tra cui il programma di Langlands citato da Martino e la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer sono a cavallo tra le due discipline.
Tutta la teoria dei numeri prende spunto dalla domanda molto generale e anche molto vaga di "comprendere le proprietà dei numeri interi/razionali". Dal lato algebrico, questo si concretizza nello studio delle soluzioni intere e razionali dei sistemi di equazioni polinomiali. Ovviamente anche questo è piuttosto vago, perchè le domande che ci si può porre sono un'infinità. Partendo dalle equazioni in una variabile, si arriva allo studio dei campi di numeri e delle loro proprietà. Qui risultati fondamentali (e super classici) sono (ad esempio, ma ce ne sono altri) il Teorema di Dirichlet sulle unità, la finitezza del gruppo delle classi, il teorema di densità di Chebotarev, la class field theory e la teoria di Iwasawa. In un cross-over con la teoria analitica dei numeri, anche la analytic class number formula. Tra le congetture più importanti sicuramente la congettura di Leopoldt.
Passando alle equazioni polinomiali in due variabili a coefficienti razionali, come $x^2+y^3-1=0$, ci si può chiedere quante soluzioni razionali abbiano, in prima istanza. Questa è una domanda a cui oggi sappiamo rispondere con precisione, grazie al Teorema di Faltings, indubbiamente uno dei risultati più importanti degli ultimi 40 anni. Invece trovare un algoritmo per determinare le soluzioni è una domanda aperta. Sicuramente i risultati più importanti in questa direzione sono il metodo di discesa per curve ellittiche e il metodo di Chabauty Coleman per curve di genere più alto. Un'altra domanda strettamente legata è quanto sia uniforme il numero di soluzioni, ovvero data un'equazione in due variabili, quante soluzioni si trovano variando i coefficienti (detto in modo molto brutale e anche sbagliato). Qui c'è una grossa congettura di uniformità, su cui peraltro è stato fatto un enorme passo avanti molto recentemente grazie a Dimitrov, Gao, Habegger e Kuhne. Le equazioni della forma $y^2=x^3+ax+b$ danno luogo a quelle che si chiamano curve ellittiche, ed hanno una quantità di proprietà speciali; in primis le soluzioni si possono sommare tra di loro trovando un'altra soluzione. Qui i risultati importanti e le congetture si sprecano. Sicuramente il primo risultato fondamentale è il teorema di Mordell-Weil. Negli ultimi 40 anni direi che i risultati più importanti sono stati il teorema di Gross-Zagier, il teorema di modularità e il risultato di Bhargava-Shankar sulla [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_of_an_elliptic_curve#:~:text=Indeed%2C%20Goldfeld%20and%20later%20Katz,be%201%2F2%20on%20average.]limitatezza del rango medio[/url] delle curve ellittiche. Senza ombra di dubbio la congettura più importante riguardo alle curve ellittiche è quella di Birch e Swinnerton-Dyer, che è anche uno dei problemi del millennio. Strettamente imparentata, c'è la finitezza del gruppo di Shafarevich-Tate. Poi ci sono varie congetture sulla modularità ed altre, più o meno folkloristiche, sulla limitatezza del rango e sul rango medio, come la congettura di Goldfeld.
Quando il numero di variabili e di equazioni si alza le cose diventano drasticamente più difficili. La congettura più importante è probabilmente quella di Bombieri-Lang, essenzialmente un analogo multidimensionale del teorema di Faltings. Qua però non sono tanto ferrato sui risultati più importanti.
Infine esiste un'ampia area di ricerca sulle cosiddette "intersezioni anomale" che studia (in un certo senso) la forma delle soluzioni delle equazioni sopracitate. Per esempio, è un teorema classico di Lang che se $f(x,y)=0$ ha infinite soluzioni $(x,y)$ con $x$ e $y$ radici dell'unità, allora $f(x,y)=ax^m+bx^n$ oppure $f(x,y)=cx^ny^m+d$. Questo è stato il punto di partenza per una rete di risultati che ha portato a dimostrare, ad esempio, la congettura di Manin-Mumford. La congettura fondamentale di quest'area di ricerca è la congettura di Zilber-Pink
La teoria analitica dei numeri si concentra invece sulle proprietà statistiche dei numeri interi, ed usa strumenti di analisi. Non c'è dubbio che le due congetture più importanti siano l'ipotesi di Riemann e la congettura abc, anche se quest'ultima è strettamente legata alla teoria algebrica dei numeri. Più folkloristiche ma altrettanto famose sono la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli. Riguardo a quest'ultima c'è stato un enorme breakthrough una decina di anni fa da parte di Zhang, poi ulteriormente migliorato da Tao, Maynard e un progetto condiviso di diversi matematici. Di nuovo non sono particolarmente ferrato sui risultati più importanti della teoria analitica dei numeri perchè non è il mio ambito, ma sicuramente il teorema di Dirichlet sui primi in progressione aritmetica, il teorema dei numeri primi, il teorema di Green-Tao sulle progressioni aritmetiche nei primi.
Sicuramente sto dimenticando una marea di cose, per esempio la teoria dei numeri trascendente. Se hai domande più specifiche posso aiutarti meglio.
"Cosimo00110":
Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.
Manco farlo apposta ne parlavo poco fa https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7#p8622117
Grazie
@Martino, ti ringrazio per il link, però io cerco più una guida per capire le differenze degli argomenti di studio dei 3 settori principali della tdn (algebrico, geometrico, analitico) dei vari risultati e congetture, nel link ci sono molte congetture e risultati ma rientrano tutte sotto il nome generico tdn ed io non ho le conoscenze per dividere i risultati nei tre campi da me citati.
@gabriella127 si, ho notato
@3m0o io la penso diversamente a riguardo (cioè ci saranno pure persone di spessore all'interno) ma la maggior parte sono dei nevrotici pazzoidi, a come la vedo io
@Martino, ti ringrazio per il link, però io cerco più una guida per capire le differenze degli argomenti di studio dei 3 settori principali della tdn (algebrico, geometrico, analitico) dei vari risultati e congetture, nel link ci sono molte congetture e risultati ma rientrano tutte sotto il nome generico tdn ed io non ho le conoscenze per dividere i risultati nei tre campi da me citati.
@gabriella127 si, ho notato
@3m0o io la penso diversamente a riguardo (cioè ci saranno pure persone di spessore all'interno) ma la maggior parte sono dei nevrotici pazzoidi, a come la vedo io
Certo che è pieno di gente in gamba ed è molto utile e interessante, ma a livello di moderazione (non i moderatori, ma gli utenti che hanno i privilegi vari di chiudere, cancellare, etc., che sono tanti ) fanno assurdità e sono frettolosi e scortesi.
Tu forse non te ne accorgi, perché interagisci a un livello alto, ma a livello più basso è diverso, ci sono anche un sacco di critiche e di lamentele su MetaStackExchange.
E addirittura è un sito che viene valutato negativamente in non mi ricordo quale sistema di valutazione, per le barriere all'ingresso, fatte spesso di comportamenti arbitrari e scortesi.
Certo, è diverso da un Forum, io lo conosco bene perché ho frequentato parecchio EconomicSE e quello di Storia della scienza.
Tu forse non te ne accorgi, perché interagisci a un livello alto, ma a livello più basso è diverso, ci sono anche un sacco di critiche e di lamentele su MetaStackExchange.
E addirittura è un sito che viene valutato negativamente in non mi ricordo quale sistema di valutazione, per le barriere all'ingresso, fatte spesso di comportamenti arbitrari e scortesi.
Certo, è diverso da un Forum, io lo conosco bene perché ho frequentato parecchio EconomicSE e quello di Storia della scienza.
"gabriella127":
[quote="Cosimo00110"]
Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.
Non ti preoccupare di MathStackExchange, sono una gabbia di matti scortesi, fanno delle cose assurde.
[/quote]Non è assolutamente vero, è pieno di gente in gamba che ne sa davvero molto! Però non è un forum è concepito in modo diverso
"Cosimo00110":
Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.
Non ti preoccupare di MathStackExchange, sono una gabbia di matti scortesi, fanno delle cose assurde.
Ciao, ti segnalo questa lista di teoremi e congetture e anche il cosiddetto programma di Langlands (Langlands program, cercalo su Google).
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