$ tau $ o $ pi $ ?

[Il Pitagorico]

To be or no to be? $ tau $ o $ pi $ ? Queste sono le domande che affliggono l'uomo, ma effettivamente, qual è la migliore tra le due costanti? Per me è indifferente, sta a voi discutere.

PS. Per chi non lo sapesse $ tau = 2 pi $

[Il Pitagorico]

A Pianoth: non ti preoccupare so molto, almeno a grandi linee, della matematica.
A gugo82: grazie molte, lo prenderò il prima possibile.

[gugo82]

"Il Pitagorico":c'è un mondo dietro le notazioni! Esiste un libro che parla della storia dei simboli della matematica?

Certo che ce ne sono!
Ad esempio, un riferimento completissimo sulle notazioni di base è A History of Mathematical Notations, due volumi scritti da Florian Cajori nel 1928-29: li dovresti trovare pubblicati insieme in un'edizione recente della Dover abbastanza economica.

[Pianoth]

Non credo però ti posso fare anche io un altro esempio, le derivate http://it.wikipedia.org/wiki/Derivata#Notazioni
Anche se molto probabilmente non hai la più pallida idea di cosa siano, è interessante vedere che praticamente ognuno la scriveva in modo differente (non è esattamente così, ma più o meno)

[Il Pitagorico]

c'è un mondo dietro le notazioni! Esiste un libro che parla della storia dei simboli della matematica?

[Zero87]

Ti faccio un altro esempio (che capirai sicuramente meglio tra qualche annetto ).

In matematica c'è una funzione particolare detta funzione gamma e indicata con $\Gamma$.
Tralasciando la sua definizione, l'unica cosa che posso dire è che essa, per numeri naturali, è l'estensione del fattoriale naturale. In altre parole
$\Gamma (n) = (n-1)!$
per $n$ naturale (per valori reali è un casino, ma ne riparleremo tra qualche anno).

Ora, la prima formulazione di questa funzione, prevedeva che la si indicasse con il simbolo $\Pi$ e che fosse diversa da come la si conosce oggi. E' stata una formulazione dettata dalla comodità perché, al contrario della $\Gamma$, la $\Pi$ era tale che
$\Pi(n) =n!$
che era sicuramente più "naturale" come interpretazione (ed era usata anche dallo zio Gauss, tra l'altro).

Tuttavia Legendre nei suoi scritti ha introdotto la notazione e la definizione tutt'ora attuale che si serve della funzione $\Gamma$ anche se molte volte si cade in errore proprio perché viene (quasi) spontaneo scrivere $\Gamma (n) = n!$ quando invece non è assolutamente così poiché $\Gamma(n) = (n-1)!$.

[size=85]Gli studenti - me compreso - oramai sono tutti stra-abituati alla $\Gamma$ invece che alla $\Pi$ (di cui ignorano anche l'esistenza) ma posso assicurare che in molti teoremi riguardanti la funzione $\zeta$, la $\Pi$ semplifica nettamente le cose (principalmente perché ha una rappresentazione come prodotto infinito più semplice rispetto alla $\Gamma$). Però anche qui, come ho detto qualche post fa, se tiri da una parte si accorcia dall'altra e quindi in tante altre cose la $\Gamma$ è decisamente meglio...[/size]

[gugo82]

"Il Pitagorico":Non lo sapevo... pensavo a qualcosa come l'incontro fatto a Parigi per i Pesi e le Misure.

Nooo... Questo modo di procedere è molto distante dall'uso dei Matematici.
La notazione si sviluppa a poco a poco nella ricerca; poi da lì, quando si è sufficientemente assestata, passa ai testi scolastici quasi "per osmosi".
Analogo percorso hanno le definizioni, i teoremi, i controesempi e tutto il resto.

"Il Pitagorico":La matematica allora è un po come una lingua che cambia le proprie parole, così un po' vanno i simboli.

Beh, in parte sì.

[Il Pitagorico]

Non lo sapevo... pensavo a qualcosa come l'incontro fatto a Parigi per i Pesi e le Misure. La matematica allora è un po come una lingua che cambia le proprie parole, così un po' vanno i simboli.

[gugo82]

No. Semplicemente l'adozione del simbolo si è diffusa col tempo.
Per le notazioni è sempre così: non esistono rivoluzioni in Matematica, ma c'è una lenta evoluzione.

[Il Pitagorico]

Anche la storia ha fatto casini con i simboli XD. Ma c'è stato tipo incontro internazionale per decretare che $ pi $ fosse il simbolo per il rapporto fra circonferenza e diametro?

[gugo82]

Bah... Tutto sto casino per una banale questione di notazione.

Ma vorrei approfittarne un po'. Visto che siamo in tema, permettetemi un brevissimo excursus storico.

Ovviamente gli antichi non conoscevano \(\pi\), in due sensi: in primo luogo, essi non avevano alcun simbolo particolare per denotare il rapporto tra area del cerchio e quadrato del raggio (o tra lunghezza del cerchio e diametro); in secondo luogo, non conoscevano il "vero" valore di \(\pi\) e si accontentavano di approssimazioni buone per fini pratici, ma sufficientemente "loffie" (nella Bibbia, addirittura c'è l'approssimazione \(\pi=3\)).

Il primo Matematico ad usare un simbolo apposito per denotare una quantità collegata a \(\pi\) fu John Wallis. Infatti nei suoi scritti c'è traccia del simbolo \(\square\), usato per denotare la quantità che oggi chiameremmo \(\frac{4}{\pi}\) (cfr. Arithmetica Infinitorum, 1655; il tutto è legato al ben noto prodotto di Wallis). Se usassimo la notazione di Wallis avremmo:
\[
C= \frac{8}{\square}\ r \qquad A=\frac{4}{\square}\ r^2
\]
per circonferenza ed area del cerchio di raggio \(r>0\).

La prima traccia di un simbolo per denotare il numero \(3.1415\ldots\) fu probabilmente William Oughterd in Clavis Mathematicae (1652).
Il simbolo era \(\frac{\pi}{\delta}\) ed era da intendersi non come frazione, ma semplicemente come notazione per mandare a memoria il fatto che il numero definito rappresentasse il rapporto tra perimetro (periphery) e diametro (diameter) del medesimo cerchio. Usando tale notazione avremmo:
\[
C= 2\frac{\pi}{\delta}\ r \qquad A=\frac{\pi}{\delta}\ r^2
\]
per circonferenza ed area del cerchio di raggio \(r>0\).
In forme simili, tale notazione fu usata anche da Barrow, Gregory e de Moivre.

Il primo simbolo unico per denotare \(\pi\) si ritrova in Mathesis Enucleata di J. Christian Sturm (1689) e tale simbolo era \(e\) (:lol:)... Fortunatamente esso non fu mai adottato da alcuno, sicché la \(e\) possiamo oggi usarla per denotare il numero di Nepero.

Il simbolo moderno, cioé \(\pi\), appare per la prima volta in Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) di William Jones.
La cosa divertente è che l'autore non si preoccupa minimamente di chiarire cosa sia \(\pi\) (nonostante lo stesso simbolo fosse stato usato nelle pagine precedenti per denotare altre cose -e.g., un punto in una costruzione geometrica ed il perimetro di una figura-) ed usa uno stile alquanto prosaico per introdurre tale costante (cito in inglese tradotto dal latino):

There are various other ways of finding the Lengths or Areas of particular Curve Lines, or Planes, which may very much facilitate the Practice; an for instance, in the Circle, the Diameter is to the Circumference as \(1\) to \(\overline{\frac{16}{5} - \frac{4}{239}} - \frac{1}{3}\ \overline{\frac{16}{5^3} - \frac{4}{239^3}} - \) , &c. = \(3.14159\), &c. = \(\pi\).
This series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I received from the Excellent Analyst, and my much esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desirable Ease and Dispatch.

Alcune righe dopo si trovano anche le formule \(d=c\div \pi\) e \(c = \pi \times d\).
Tuttavia, il simbolo non venne adottato da alcun autore immediatamente successivo (ad esempio, il Varignon usa ancora la notazione di Oughtred nel 1721).

Nel 1737, in De summis serierum reciprocarum, e nel 1736, in uno scambio di lettere con Stirling, Eulero usa la lettera latina \(p\) per denotare il numero in esame.
Però, nel celeberrimo Mechanica sive Motus Scientia Analytice Exposita del 1736, lo stesso Eulero aveva usato \(\frac{1}{\pi}\) per denotare il rapporto tra diametro e circonferenza, usando (non si sà se consciamente o meno) la notazione di Jones, nonostante anche in questo caso l'uso di \(\pi\) non è univoco.
Dal 1737 in poi, Eulero comincia ad usare la lettera \(\pi\) per denotare il numero \(3.14159\ldots\) con regolarità: si trova questo simbolo in alcuni articoli e, soprattutto, nella corrispondenza con Goldbach e con Johann e Nikolaus Bernoulli.

Nel 1741, vennero pubblicate alcune tavole matematiche (si ricordi che non esistevano calcolatrici e che i conti venivano fatti a mano con l'ausilio delle tavole) in cui \(\pi\) era usato alla maniera di Jones e Eulero.
Tuttavia, l'uso del simbolo non era ancora entrato nell'uso matematico comune: ad esempio, Diderot, Segner, Kastner non usavano tale simbolo o, se pure lo facevano, non lo riservavano al numero \(3.14159\ldots\).

Alla fine del 1700, il simbolo \(\pi\) comincia ad essere usato esclusivamente per denotare il rapporto tra circonferenza e diametro: ad esempio, in Daniel Bernoulli, Vandermonde e Laplace.
Tuttavia si incrocia ancora qualche voce fuori dal coro.
Ad esempio, nel 1799 Wessel usa \(\pi\) per denotare l'angolo giro, i.e. \(\pi=360^\circ\); mentre nel 1803 Lazare Carnot usa la stessa lettera per denotare l'angolo retto, \(\pi=90^\circ\).
Un approccio diverso (e sicuramente divertente) è quello di tal Dyonisius Lardner il quale (18) definisce \(\pi\) come "rapporto approssimato tra lunghezza della circonferenza ed il suo diametro", ma non chiarisce quale sia l'approssimazione di \(3.14159\ldots\) cui si riferisce.
L'italiano Ferroni usa \(P\) per \(3.14159\ldots\) e \(\Pi\) per \(6.283\ldots\) nel 1782.

Dopodiché, l'uso di \(\pi\) per denotare il \(3.14159\ldots\) diventa comune ed è impiegato anche sui libri di scuola.
Probabilmente, il primo libro di scuola in cui si usa tale convenzione è Elements de geometrie di Legendre del 1794.

Queste quattro righe servono per chiarire un paio di cosette: in primis che, finché ci si intende, la notazione è l'ultimo dei problemi; e, in secundis, che l'adozione di una nuova notazione ha sempre bisogno di un lungo periodo per essere digerita.

[Il Pitagorico]

Come si dice a Napoli: Va buò, so cos' e' nient'!

[Pianoth]

Già risposto a questa cosa, i Tauiani dicono "Progresso"... Comunque basta basta non è importante non importa lasciamo stare

[Zero87]

"Il Pitagorico":scusatemi, non credevo che la cosa fosse così inutile e poco seria. La prossima volta chiederò se qualcosa ha senso o meno discuterne.

Dai, non preoccuparti... è pur sempre un sondaggio simpatico. (Anzi, vado a votare prima che mi dimentico n'altra volta! )

"giuliofis":Ma se non altro sono secoli e secoli (due millenni?) che si usa questa costante $ pi $, si dovrebbero cambiare tutti i libri di testo, tutti dovrebbero adeguarsi alla nuova mentalità e sarebbe problematico affacciarsi alla lettura di vecchi libri...

Non posso che concordare!

[Sk_Anonymous]

Ma se non altro sono secoli e secoli (due millenni?) che si usa questa costante $pi$, si dovrebbero cambiare tutti i libri di testo, tutti dovrebbero adeguarsi alla nuova mentalità e sarebbe problematico affacciarsi alla lettura di vecchi libri...

[Il Pitagorico]

scusatemi, non credevo che la cosa fosse così inutile e poco seria. La prossima volta chiederò se qualcosa ha senso o meno discuterne.

[Pianoth]

Ma certo, è quello che ho detto io fino ad ora, non è un cambio molto utile, l'esempio dell'area l'ho fatto anche io nel primo post che ho scritto qui...

[Zero87]

"Pianoth":come ho scritto sopra è anche un fatto di convenienza, per chi si avvicina alla trigonometria e dovrà studiare la circonferenza unitaria, gli sembrerà strano pensare che metà circonferenza è di $pi$ radianti e non $pi/2$, un quarto di circonferenza è $pi/2$ e non $pi/4$, cosa che invece funziona con $tau$.

C'è l'esempio dell'area che mi hai ricordato nel post successivo che l'avevi fatto tu all'inizio
viewtopic.php?p=746515#p746515
quindi chiedo scusa per la memoria corta...

Per me ha ragione Luca Lussardi: è come dire che se tiri da una parte manca dall'altra...

[Luca.Lussardi]

Concordo sul fatto che sia una discussione di nessuna utilità, ma non si può discutere sul fatto che mettere $\tau=2\pi$ snellisca una formula in cui appare solamente $2\pi$, io parlo solo di snellimento formale.

[Pianoth]

"Luca.Lussardi":può certamente giovare a snellire alcune formule in cui appare $2\pi$

Non sono d'accordo, come ho scritto sopra è anche un fatto di convenienza, per chi si avvicina alla trigonometria e dovrà studiare la circonferenza unitaria, gli sembrerà strano pensare che metà circonferenza è di $pi$ radianti e non $pi/2$, un quarto di circonferenza è $pi/2$ e non $pi/4$, cosa che invece funziona con $tau$. Inoltre non sconvolge particolarmente la matematica fare questo cambio da $pi$ a $tau$. Più che altro, alla fin fine non è un cambio necessario e assolutamente importante, è questa la vera ragione per la quale questa discussione è praticamente superflua.

[Zero87]

"Luca.Lussardi":può certamente giovare a snellire alcune formule in cui appare $2\pi$, ma contribuisce a complicarne altre in cui appare $\pi$ ma non $2\pi$

Ottimo... e questo è il motivo principale per cui sono a favore del "va bene così" oltre che alla fine dopo anni che si usa il $\pi$ stravolgere tutto per togliere un $2$ in qualche formula può sembrare abbastanza inutile, no?