Sistemi non lineari e caos
Salve,
sto organizzando la tesina per l'Esame di Stato, ma non ho molto chiaro un concetto fondamentale.
Nella teoria del caos si parla sempre di sistemi non lineari: cosa sono in parole semplici? ( guardando su wikipedia capisco che non è lineare quando ha grado maggiore di due, ma quale sarebbe l'implicazione a livello concettuale per il concetto di caos? ).
Inoltre, volendo approfondire la matematica del caos, volevo chiedere se conoscete qualche libro che mi consigliereste al riguardo? ( Ora sto leggendo la fisica del caos della zanichelli ).
Grazie mille in anticipo per il supporto.
Davide
sto organizzando la tesina per l'Esame di Stato, ma non ho molto chiaro un concetto fondamentale.
Nella teoria del caos si parla sempre di sistemi non lineari: cosa sono in parole semplici? ( guardando su wikipedia capisco che non è lineare quando ha grado maggiore di due, ma quale sarebbe l'implicazione a livello concettuale per il concetto di caos? ).
Inoltre, volendo approfondire la matematica del caos, volevo chiedere se conoscete qualche libro che mi consigliereste al riguardo? ( Ora sto leggendo la fisica del caos della zanichelli ).
Grazie mille in anticipo per il supporto.
Davide
Risposte
Attenzione però... Quando in questi ambiti si parla di "sistemi nonlineari" si sottoindende spesso l'aggettivo dinamici(nonostante sia di fondamentale importanza), quindi si deve intendere "sistemi dinamici nonlineari".
Detto in modo semplicistico, un "sistema dinamico" è un modello matematico che esprime la legge che governa l'evoluzione di un sistema (fisico, biologico, chimico, economico, etc...) nel tempo.
Tipicamente, la legge che governa tale evoluzione è espressa mediante un'equazione differenziale (o un gruppo di equazioni differenziali) oppure un'equazione alle ricorrenze (o un gruppo di equazioni alle ricorrenze).
Tanto per capire il senso, consideriamo i due casi seguenti:
Detto in modo semplicistico, un "sistema dinamico" è un modello matematico che esprime la legge che governa l'evoluzione di un sistema (fisico, biologico, chimico, economico, etc...) nel tempo.
Tipicamente, la legge che governa tale evoluzione è espressa mediante un'equazione differenziale (o un gruppo di equazioni differenziali) oppure un'equazione alle ricorrenze (o un gruppo di equazioni alle ricorrenze).
Tanto per capire il senso, consideriamo i due casi seguenti:
- [*:1ysxyq80] un corpo (che possiamo approssimare con un punto materiale) si muove lungo una retta con velocità costante $v_0>0$ e (rispetto ad un punto fisso di osservazione prefissato) ha percorso al tempo $t_0$ lo spazio $s_0$.
Dato che la velocità istantanea $v(t)$ del corpo è uguale alla derivata prima \(s^\prime (t)\) della legge oraria $s(t)$ rispetto al tempo, la legge oraria è legata alla quantità $v_0$ dall'equazione:
\[
\tag{1}
s^\prime (t) = v_0\; ,
\]
la quale è un esempio di equazione differenziale ordinaria del primo ordine[nota]Si chiama "equazione differenziale ordinaria del primo ordine" un'equazione in cui l'incognita è una funzione (non un numero!) ed in cui compare anche la derivata prima di tale funzione: ad esempio, \(y^\prime (x) + y(x) = 0\), \(y^\prime (t) + y^2 (t) = 1\), \(u^\prime (s) = e^{u(s) + s}\).[/nota]. Inoltre, dai dati del problema segue che:
\[
\tag{2}
s(t_0) = s_0
\]
poiché lo spazio percorso al tempo $t_0$ è proprio uguale ad $s_0$. Mettendo insieme (1) e (2) si ottiene il sistema dinamico:
\[
\begin{cases} s^\prime (t) = v_0\\
s(t_0) = s_0
\end{cases}
\]
risolvendo il quale si determina la legge oraria del corpo osservato.
[In particolare, si vede che la soluzione del sistema è del tipo $s(t) = v_0(t-t_0) + s_0$, che è la legge oraria del moto rettilineo uniforme.]
[/*:m:1ysxyq80]
[*:1ysxyq80] considera un capitale iniziale $c_0$ depositato in banca, il quale aumenta con un tasso d'interesse annuo dell'\(\alpha \%\).
Ciò significa che, detto $c(n)$ il capitale in banca trascorso lo $n$-esimo anno, il capitale presente nell'anno successivo $c(n+1)$ si può calcolare sommando a $c(n)$ l'interesse maturato durante lo $n$-esimo anno, cioè $\alpha c(n)$; pertanto il capitale soddisfa la relazione $c(n+1) = c(n) + \alpha c(n)$ ovvero:
\[
\tag{3}
c(n+1) = \big( 1+ \alpha\big)\ c(n)\; ,
\]
la quale è un esempio di equazione alle ricorrenze del primo ordine[nota]Si chiama "equazione alle ricorrenze del primo ordine" un'equazione in cui l'incognita è una successione (che è una funzione definita in \(\mathbb{N}\)!) ed in cui compaiono lo $n$-esimo termine della successione ed il suo successivo (cioè lo $(n+1)$-esimo): ad esempio, \(a(n+1)-a(n)=1\), \(3 a(n+1) = 2^n - a(n)\), \(x(n+1) = x^2(n) + 2 x(n)\).[/nota]; d'altra parte, il capitale iniziale $c(0)$ è uguale alla quantità $c_0$, cioè:
\[
\tag{4}
c(0) = c_0\; .
\]
Quindi, unendo (3) e (4), si vede che l'evoluzione durante gli anni del capitale depositato è descritta dal sistema dinamico:
\[
\begin{cases}
c(n+1) = (1+\alpha)\ c(n)\\
c(0) = c_0
\end{cases}
\]
risolvendo il quale si trova la formula che consente di esprimere il capitale in un generico anno $n$.
[In particolare, si vede che la soluzione del sistema è $c(n) = c_0\ (1+\alpha)^n$, cosicché il capitale aumenta secondo una progressione geometrica.][/*:m:1ysxyq80][/list:u:1ysxyq80]
Ciao,
In realtà $y(x)= zx+c$ non è proprio lineare proprio a causa della costante c (in realtà si può dimostrare che tutte le funzioni lineari $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sono del tipo $y(x)=zx$) tuttavia non è questo il punto e vedo che hai capito. Infatti tutte le funzioni di secondo grado sono NON lineari. Hai capito vedo
.
Tieni conto però che, in generale, i sistemi dinamici fisici operano su funzioni e non su punti. Per intenderci, l'esempio che ti ho fatto qui è una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. La definizione di linearità/non linearità rimane comunque la stessa, solo che lo studio dei sistemi si complica. Una operazione lineare sulle funzioni è, ad esempio, l'operazione di derivata....
Come però tu avrai certamente osservato, il moto uniformemente accelerato è tutto tranne che imprevedibile . Eppure è non lineare! Questo spiega il perchè la semplice NON linearità è un requisito necessario ma non sufficiente a far comparire il caos.
Una credenza comune ad esempio è quella che, per essere caotico, un sistema debba presentare una dipendenza "esponenziale" dalle condizioni iniziali. In realtà questo NON è assolutamente sufficiente a garantire la presenza di un comportamento caotico.
Eccoti un semplice esempio di sistema caotico con una relazione di tipo quadratico o parabolico:
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
Il sistema in questo caso presenta una relazione Ingresso-uscita del tipo $y=x(1-x)$, dopodichè il sistema viene chiuso in retroazione ovvero l'ingresso successivo è l'uscita all'istante precedente
In realtà $y(x)= zx+c$ non è proprio lineare proprio a causa della costante c (in realtà si può dimostrare che tutte le funzioni lineari $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sono del tipo $y(x)=zx$) tuttavia non è questo il punto e vedo che hai capito. Infatti tutte le funzioni di secondo grado sono NON lineari. Hai capito vedo
.Tieni conto però che, in generale, i sistemi dinamici fisici operano su funzioni e non su punti. Per intenderci, l'esempio che ti ho fatto qui è una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. La definizione di linearità/non linearità rimane comunque la stessa, solo che lo studio dei sistemi si complica. Una operazione lineare sulle funzioni è, ad esempio, l'operazione di derivata....
Come però tu avrai certamente osservato, il moto uniformemente accelerato è tutto tranne che imprevedibile
. Eppure è non lineare! Questo spiega il perchè la semplice NON linearità è un requisito necessario ma non sufficiente a far comparire il caos.Una credenza comune ad esempio è quella che, per essere caotico, un sistema debba presentare una dipendenza "esponenziale" dalle condizioni iniziali. In realtà questo NON è assolutamente sufficiente a garantire la presenza di un comportamento caotico.
Eccoti un semplice esempio di sistema caotico con una relazione di tipo quadratico o parabolico:
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
Il sistema in questo caso presenta una relazione Ingresso-uscita del tipo $y=x(1-x)$, dopodichè il sistema viene chiuso in retroazione ovvero l'ingresso successivo è l'uscita all'istante precedente
Ciao,
grazie della risposta. Ma quindi solo le equazioni nella forma $ y(x)= zx+ c $ sono equazioni lineari? Anche quindi qualsiasi funzione di secondo grado non lo è più? Ad esempio l'equazione del moto uniformemente accelerato dove compare il termine $ 1/2at^2 $ non è più lineare?
Un'ultima cosa: potresti spiegarmi quale nesso c'è fra non linearità e caos?
Grazie vivamente,
Davide Martintoni
grazie della risposta. Ma quindi solo le equazioni nella forma $ y(x)= zx+ c $ sono equazioni lineari? Anche quindi qualsiasi funzione di secondo grado non lo è più? Ad esempio l'equazione del moto uniformemente accelerato dove compare il termine $ 1/2at^2 $ non è più lineare?
Un'ultima cosa: potresti spiegarmi quale nesso c'è fra non linearità e caos?
Grazie vivamente,
Davide Martintoni
Ciao!
Molto semplicemente un sistema lineare ubbidisce a una semplice regola. Immagina il tuo sistema come un blocco (funzionale) che si mangia un ingresso $x$ e ti restituisce una certa uscita $y$ ottenuta elaborando $x$, matematicamente questo si esprime come $y=f(x)$.
Se il sistema è lineare ed $a,b$ sono due ingressi, allora $f(a+b)=f(a)+f(b)$.
Cosa significa? Significa che il sistema gode del principio di sovrapposizione degli effetti ovverosia una sovrapposizione in ingresso produce una "sovrapposizione" in uscita.
I sistemi lineari (dinamici) sono molto importanti perchè sono semplici da studiare. Il loro comportamento è "prevedibile" perchè sono descritti da leggi semplici. Tanto per farti un esempio: Supponi di avere un pendolo in un ambiente senza attriti. Nota la forza di gravità, la posizione e la velocità iniziale tu puoi scrivere le equazioni del moto in forma chiusa, prevedendo in questo modo l'andamento futuro del tuo sistema.
Purtroppo i sistemi lineari sono veramente molto pochi in natura e spesso nascono da "semplificazioni" di altri problemi di natura molto più complessa.
Quando si ha a che fare con sistemi non lineari la faccenda si complica parecchio perchè...molto spesso non è possibile ricavare una legge matematica per la descrizione del processo. In realtà un sistema caotico richiede qualche caratteristica in più rispetto alla semplice "non linearità". Come ben saprai un esempio di sistema caotico è il pendolo doppio...
Approfondire la matematica del caos è molto complesso perchè la matematica utilizzata è difficile e sarebbero necessari un po' di requisiti (teoria dei sistemi, analisi, statistica). Avevo visto questo libro della zanichelli utilizzato negli istituti superiori, non so se esistano altri libri a questo livello per quanto riguarda la teoria del caos, che di per se è tanto affascinante quanto complessa.
Molto semplicemente un sistema lineare ubbidisce a una semplice regola. Immagina il tuo sistema come un blocco (funzionale) che si mangia un ingresso $x$ e ti restituisce una certa uscita $y$ ottenuta elaborando $x$, matematicamente questo si esprime come $y=f(x)$.
Se il sistema è lineare ed $a,b$ sono due ingressi, allora $f(a+b)=f(a)+f(b)$.
Cosa significa? Significa che il sistema gode del principio di sovrapposizione degli effetti ovverosia una sovrapposizione in ingresso produce una "sovrapposizione" in uscita.
I sistemi lineari (dinamici) sono molto importanti perchè sono semplici da studiare. Il loro comportamento è "prevedibile" perchè sono descritti da leggi semplici. Tanto per farti un esempio: Supponi di avere un pendolo in un ambiente senza attriti. Nota la forza di gravità, la posizione e la velocità iniziale tu puoi scrivere le equazioni del moto in forma chiusa, prevedendo in questo modo l'andamento futuro del tuo sistema.
Purtroppo i sistemi lineari sono veramente molto pochi in natura e spesso nascono da "semplificazioni" di altri problemi di natura molto più complessa.
Quando si ha a che fare con sistemi non lineari la faccenda si complica parecchio perchè...molto spesso non è possibile ricavare una legge matematica per la descrizione del processo. In realtà un sistema caotico richiede qualche caratteristica in più rispetto alla semplice "non linearità". Come ben saprai un esempio di sistema caotico è il pendolo doppio...
Approfondire la matematica del caos è molto complesso perchè la matematica utilizzata è difficile e sarebbero necessari un po' di requisiti (teoria dei sistemi, analisi, statistica). Avevo visto questo libro della zanichelli utilizzato negli istituti superiori, non so se esistano altri libri a questo livello per quanto riguarda la teoria del caos, che di per se è tanto affascinante quanto complessa.
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