Proprietà successioni potenze
ho sempre avuto paura scrivere in questa sezione... 
le serie delle potenze dei numeri naturali, tipo
$1+2+3+4+...+n$
$1+2^2+3^2+...+n^2$
si trovano spesso negli esercizi di induzione, tipo dimostrare
$1+2+3+4+...+n=(n(n+1))/2$
come posso dimostrare (o almeno giustificare) che la $f(n)$ della serie dei naturali elevati alla $1$ è una parabola [$(n(n+1))/2$], elevati alla $2$ è una cubica e così via... ?
le serie delle potenze dei numeri naturali, tipo
$1+2+3+4+...+n$
$1+2^2+3^2+...+n^2$
si trovano spesso negli esercizi di induzione, tipo dimostrare
$1+2+3+4+...+n=(n(n+1))/2$
come posso dimostrare (o almeno giustificare) che la $f(n)$ della serie dei naturali elevati alla $1$ è una parabola [$(n(n+1))/2$], elevati alla $2$ è una cubica e così via... ?
Risposte
"nato_pigro":
ma che sia un polinomio io lo davo già un po' per scontato... considerando che è una somma di numeri naturali, non può essere una funzione razionale fratta.
- there are more things than you can imagine (non ci sono solo polinomi e funzioni razionali. Ci sono le loro inverse e quindi le radici, le esponenziali, seni e coseni e compagnia, le funzioni non elementari, funzioni definite "a pezzi", strane diavolerie)
- dimostra che una somma di numeri naturali non può essere una funzione razionale fratta (magari specificando di quante e quali variabili...)
"nato_pigro":
E' una giustificazione errata o non è sufficiente? (che non sia rigorosa ok)
Se tu steso ritieni che non sia rigorosa, ti sei dato la risposta. Se non è rigorosa, non è sufficiente, e quindi è errata.
In mate (almeno a questi livelli elementari, mica stiamo parlando dei fondamenti!) non ci sono le mezze misure.
"nato_pigro":
Quello che tu hai dimostrato in 2 passaggi i ci provavo con mac lourin, non ci riuscivo perchè è un approccio completamente sbagiato o perchè siamo nel discreto?
Colin Maclaurin, I suppose...
Non mi è chiaro come tu possa applicarlo. Mi sembra difficile, perché il risultato fornito dal teorema di Maclaurin offre una approssimazione "locale" ad una funzione (detta malamente, in un intorno piccolo di un dato punto). Mentre qui lavori con valori di $n$ qualsiasi.
Poi, non puoi applicarlo direttamente, perché devi lavorare sul continuo: il teorema di Maclaurin si applica a funzioni reali di variabile reale, definite su un intervallo.
Tieni presente che, però, è difficile dire "no" in questi casi. Non escludo che qualche acuto frequentatore di questo forum possa trovare una strada, magari tortuosa, per usare il teorema di Maclaurin.
"Fioravante Patrone":
Solo per via di quelle maggiorazioni non si puo' dire che sia un polinomio.
Diciamo che e' un indizio forte, ma non una prova. La dimostrazione si puo' fare, al solito, con il metodo di induzione.
E le maggiorazioni ti garantiscono che, se e' un polinomio, e' di grado k+1. Quindi la formula da cercare di provare per induzione e' del tipo $a_0 * n^(k+1) + a_1 * n^k + a_k * n + a_(k+1)$. Il che e' un buon punto di partenza.
ma che sia un polinomio io lo davo già un po' per scontato... considerando che è una somma di numeri naturali, non può essere una funzione razionale fratta. E' una giustificazione errata o non è sufficiente? (che non sia rigorosa ok)
"Fioravante Patrone":
Per giunta hai anche buone speranze di determinare i coefficienti semplicemente imponendo che l'uguaglianza sia verificata per i primi termini.
si, l'idea è quella. Essendo un polinomio per i primi $k+1$ termini sapendo che passa per $(0,0)$.
Quello che tu hai dimostrato in 2 passaggi i ci provavo con mac lourin, non ci riuscivo perchè è un approccio completamente sbagiato o perchè siamo nel discreto?
"nato_pigro":
quindi dev'essere di grano $n^(k+1)$
Attenzione a distinguere il grano dal loglio
Voglio dire che mi sembra opportuno precisare una cosa.
Le maggiorazioni che ho proposto ti servono a vedere che il risultato e' del grado giusto, sapendo pero' che si tratta di una espressione polinomiale.
Solo per via di quelle maggiorazioni non si puo' dire che sia un polinomio.
Diciamo che e' un indizio forte, ma non una prova. La dimostrazione si puo' fare, al solito, con il metodo di induzione.
E le maggiorazioni ti garantiscono che, se e' un polinomio, e' di grado k+1. Quindi la formula da cercare di provare per induzione e' del tipo $a_0 * n^(k+1) + a_1 * n^k + a_k * n + a_(k+1)$. Il che e' un buon punto di partenza.
Per giunta hai anche buone speranze di determinare i coefficienti semplicemente imponendo che l'uguaglianza sia verificata per i primi termini.
molto. 
la serie è minore di
$n^(k+1)$
e maggiore di
$(1/2^(k+1))n^(k+1)$
quindi dev'essere di grano $n^(k+1)$
sisi, bella.
la serie è minore di
$n^(k+1)$
e maggiore di
$(1/2^(k+1))n^(k+1)$
quindi dev'essere di grano $n^(k+1)$
sisi, bella.
Supponiamo che tu stia sommando le potenze k-esime.
Considera quel che avviene fra n/2 ed n:
visto che sommi n/2 termini di quel tipo, il risultato e' maggiore o uguale di
$(n/2) * (n/2)^k = (n^(k+1))/(2^(k+1))$
Poi ovviamente la sommatoria e' minore o uguale di $n * n^k$...
Ti va come idea?
Considera quel che avviene fra n/2 ed n:
visto che sommi n/2 termini di quel tipo, il risultato e' maggiore o uguale di
$(n/2) * (n/2)^k = (n^(k+1))/(2^(k+1))$
Poi ovviamente la sommatoria e' minore o uguale di $n * n^k$...
Ti va come idea?
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