Proprietà numeri naturali

[giocind_88]

Buonasera a tutti e buon inizio anno. Mi sorge un dubbio: quando ci si trova a considerare a + b = c + d, con a, b , c, d numeri naturali e poi a moltiplicare entrambi i membri per un altro numero naturale e cioè e(a + b) = e(c + d), il cosiddetto "svolgimento delle parentesi" è dovuto alla proprietà distributiva...Invece quale proprietà ci permette di eseguire la moltiplicazione dei due membri per e?Sono cose che viste così tante volte, sembrano più che ovvie, per questo sembra sfuggire la "giustificazione" a quanto facciamo con una grandissima naturalezza. Vi ringrazio!

[@melia]

Sono d'accordo con Fioravante: se l'operazione # è ben definita e $a=b$ allora a#c=b#c

[Fioravante Patrone1]

Il fatto che la moltiplicazione è una operazione.
Quindi è in particolare una funzione (dal prodotto cartesiano di N per N in N, se parliamo di naturali).
Non serve altro.

Oppure ho capito male la domanda

[Rigel1]

Daglli assiomi di campo deduci che, se \(x\neq 0\) e \(xy = xz\), allora \(y=z\). Infatti, usando ripetutamente la definizione di inverso e la proprietà associativa del prodotto:
\[
y = 1 \cdot y = (x^{-1}\cdot x)\cdot y = x^{-1}\cdot (x\cdot y) = x^{-1}\cdot (x\cdot z) =
(x^{-1}\cdot x)\cdot z = z.
\]

Edit: mi è stato fatto notare che nel messaggio originale ci si riferiva solo ai numeri naturali; se così è, non si possono usare (direttamente su \(\mathbb{N}\)) le citate operazioni di campo.