Problema
Non riesco a risolvere questo problema qualcuno saprebbe darmi un imput?:
"In un parallelogramma OABC due vertici coincidono con i punti 0(0;0) e B(10;11),gli altri due vertici sono interni al primo quadrante e il lato OA è doppio del lato OC.Determinare le coordinate dei vertici A e C sapendo che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette OA e OC è 1. GRAZIE.
"In un parallelogramma OABC due vertici coincidono con i punti 0(0;0) e B(10;11),gli altri due vertici sono interni al primo quadrante e il lato OA è doppio del lato OC.Determinare le coordinate dei vertici A e C sapendo che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette OA e OC è 1. GRAZIE.
Risposte
Ecco la mia soluzione che trovate anche nella sezione Medie e Superiori:
La retta $OA$ ha equazione $y=mx$ ed $A$ coordinate generiche $(x,mx)$
La retta $OC$ ha equazione $y=x/m$ ed $C$ coordinate generiche $(x,x/m)$
La retta $AB$ ha equazione $y-11=1/m(x-10)$ cioè $y=(x-10)/m+11$. Intersecando tale retta con la retta $OA$ di equazione $y=mx$ si trovano le coordinate del punto $A$ in funzione di $m$, cioè:
$mx=(x-10)/m+11$ implica $x=(11m-10)/(m^2-1)$ per cui $A=((11m-10)/(m^2-1),m(11m-10)/(m^2-1))$
La retta $BC$ ha equazione $y-11=m(x-10)$ cioè $y=m(x-10)+11$. Intersecando tale retta con la retta $OC$ di equazione $y=x/m$ si trovano le coordinate del punto $C$ in funzione di $m$, cioè:
$x/m=(x-10)m+11$ implica $x=m(10m-11)/(m^2-1)$ per cui $C=(m(10m-11)/((m^2-1)),(10m-11)/((m^2-1)))$
Ora dall'imposizione che $OA=2OC$ cioè $OA^2=4OC^2$ si ha:
$OA^2=(11m-10)^2*(m^2+1)/((m^2-1)^2)$ ed $OC^2=(m^2+1)(10m-11)^2/((m^2-1)^2)$ da cui
$OA^2=4OC^2$ comporta $(11m-10)^2*(m^2+1)/((m^2-1)^2)=4(m^2+1)(10m-11)^2/((m^2-1)^2)$ e quindi
$(m^2+1)((400m^2-880m+484)/((m^2-1)^2)-(121m^2+100-220m)/((m^2-1)^2))=0$ da cui
$(m^2+1)(279m^2-660m+384)/((m^2-1)^2)=0$ cioè supponendo $m$ diverso da $+-1$ si ricava che $279m^2-660m+384=0$
$m1=(330+42)/279=4/3$ ed $m2=(330-42)/279=32/31$ . Ora il valore accettabile è $m=4/3$.
$m=32/31$ non è accettabile altrimenti il punto $C$ si troverebbe nel terzo quadrante e quindi non accettabile. Infatti dall'analisi dei punti $A$ e $C$ ci si pùo rendere conto che affinchè essi entrambi si trovino nel primo quadrante, deve aversi che $m>11/10$. Infatti $m=4/3>11/10$ e quindi accettabile, mentre $m=32/31<11/10$ e quindi non accettabile
Per cui in conclusione $m=4/3$ da cui
$A=(6,8)$, $C=(4,3)$
La retta $OA$ ha equazione $y=mx$ ed $A$ coordinate generiche $(x,mx)$
La retta $OC$ ha equazione $y=x/m$ ed $C$ coordinate generiche $(x,x/m)$
La retta $AB$ ha equazione $y-11=1/m(x-10)$ cioè $y=(x-10)/m+11$. Intersecando tale retta con la retta $OA$ di equazione $y=mx$ si trovano le coordinate del punto $A$ in funzione di $m$, cioè:
$mx=(x-10)/m+11$ implica $x=(11m-10)/(m^2-1)$ per cui $A=((11m-10)/(m^2-1),m(11m-10)/(m^2-1))$
La retta $BC$ ha equazione $y-11=m(x-10)$ cioè $y=m(x-10)+11$. Intersecando tale retta con la retta $OC$ di equazione $y=x/m$ si trovano le coordinate del punto $C$ in funzione di $m$, cioè:
$x/m=(x-10)m+11$ implica $x=m(10m-11)/(m^2-1)$ per cui $C=(m(10m-11)/((m^2-1)),(10m-11)/((m^2-1)))$
Ora dall'imposizione che $OA=2OC$ cioè $OA^2=4OC^2$ si ha:
$OA^2=(11m-10)^2*(m^2+1)/((m^2-1)^2)$ ed $OC^2=(m^2+1)(10m-11)^2/((m^2-1)^2)$ da cui
$OA^2=4OC^2$ comporta $(11m-10)^2*(m^2+1)/((m^2-1)^2)=4(m^2+1)(10m-11)^2/((m^2-1)^2)$ e quindi
$(m^2+1)((400m^2-880m+484)/((m^2-1)^2)-(121m^2+100-220m)/((m^2-1)^2))=0$ da cui
$(m^2+1)(279m^2-660m+384)/((m^2-1)^2)=0$ cioè supponendo $m$ diverso da $+-1$ si ricava che $279m^2-660m+384=0$
$m1=(330+42)/279=4/3$ ed $m2=(330-42)/279=32/31$ . Ora il valore accettabile è $m=4/3$.
$m=32/31$ non è accettabile altrimenti il punto $C$ si troverebbe nel terzo quadrante e quindi non accettabile. Infatti dall'analisi dei punti $A$ e $C$ ci si pùo rendere conto che affinchè essi entrambi si trovino nel primo quadrante, deve aversi che $m>11/10$. Infatti $m=4/3>11/10$ e quindi accettabile, mentre $m=32/31<11/10$ e quindi non accettabile
Per cui in conclusione $m=4/3$ da cui
$A=(6,8)$, $C=(4,3)$
dimmi dove...
è stato già svolto in un altro post questo problema
secondo me le equazioni sono:
Cy/Cx=Ax/Ay
rad(Ax^2+Ay^2)=2rad(Cx^2+Cx^2)
Cy+Ax=11
Cx+Ay=10
le ultime due derivano dal fatto che in un parallelogramma - se non sbaglio - le diagonali si incontrano nel loro punto medio.
Correggetemi se sbaglio, non vorrei suggerire male...
Cy/Cx=Ax/Ay
rad(Ax^2+Ay^2)=2rad(Cx^2+Cx^2)
Cy+Ax=11
Cx+Ay=10
le ultime due derivano dal fatto che in un parallelogramma - se non sbaglio - le diagonali si incontrano nel loro punto medio.
Correggetemi se sbaglio, non vorrei suggerire male...
Ciao 
Così a prima vista ti suggerirei di porre 4 incognite (2 per le coordinate del punto A e 2 per il punto C) e di ricavare quindi 4 equazioni con le informazioni che ti sono date..
In particolare avrai un'equazione data da: OA = 2 * OC
poi un'equazione legata ai coefficienti angolari della retta passante per OA e per OC (moltiplicati danno 1)
infine altre 2 equazioni da ricavare dalle condizioni di parallelismo tra i lati OC,AB e OA,CB..
I calcoli saranno un po' laboriosi
se mi viene in mente qualcosa di più facile da buttar giù ti dirò..
Così a prima vista ti suggerirei di porre 4 incognite (2 per le coordinate del punto A e 2 per il punto C) e di ricavare quindi 4 equazioni con le informazioni che ti sono date..
In particolare avrai un'equazione data da: OA = 2 * OC
poi un'equazione legata ai coefficienti angolari della retta passante per OA e per OC (moltiplicati danno 1)
infine altre 2 equazioni da ricavare dalle condizioni di parallelismo tra i lati OC,AB e OA,CB..
I calcoli saranno un po' laboriosi
se mi viene in mente qualcosa di più facile da buttar giù ti dirò..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo