Principio di Induzione
Sto leggendo il libro di Ivanov, Facile come pi greco?, e mi sono imbattuto subito in un dubbio.
Spero vorrete aiutarmi ed essere pazienti con me.
Dimostrare l'identità Sommatoria per k che va da 1 a n, k^3 è uguale a (n^2(n+1)^2)/4.
Un calcolo facile e diretto mostra che l'identità vale per n=1.
Poi dall'ipotesi scritta sopra si deduce che:
Sommatoria per k che va da 1 a n+1, k^3 è uguale a ((n+1)^2(n+2)^4)/4.
Perché (n+2)^4?
Sostituendo n con n+1 al numeratore non dovrebbe venire fuori ((n+1)^2)((n+1+1)2)?
Grazie
Emil
Spero vorrete aiutarmi ed essere pazienti con me.
Dimostrare l'identità Sommatoria per k che va da 1 a n, k^3 è uguale a (n^2(n+1)^2)/4.
Un calcolo facile e diretto mostra che l'identità vale per n=1.
Poi dall'ipotesi scritta sopra si deduce che:
Sommatoria per k che va da 1 a n+1, k^3 è uguale a ((n+1)^2(n+2)^4)/4.
Perché (n+2)^4?
Sostituendo n con n+1 al numeratore non dovrebbe venire fuori ((n+1)^2)((n+1+1)2)?
Grazie
Emil
Risposte
Di nulla, alla prossima 
p.s. Sull'errore di stampa, spero di non averti detto sbagliato perché non sono un'esperta, ma mi sembra così.
p.s. Sull'errore di stampa, spero di non averti detto sbagliato perché non sono un'esperta, ma mi sembra così.
Molte grazie per la precisione e la pazienza.
Certo che è davvero il colmo trovare un errore di stampa nella prima pagina del primo capitolo.
A buon rendere
Emil
Certo che è davvero il colmo trovare un errore di stampa nella prima pagina del primo capitolo.
A buon rendere
Emil
Secondo me sì.
Per i passaggi del messaggio precedente:
$ (n^2(n + 1)^2)/4 + (n+1)^3 = (n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3)/4 $
Raccolgo $(n+1)^2$:
$ ( (n+1)^2(n^2 + 4(n+1)) ) /4 $ = $ ( (n+1)^2 (n^2 + 4n+4))/4 $ = $ ((n+1)^2(n+2)^2)/4 $
[/quote]
Per i passaggi del messaggio precedente:
$ (n^2(n + 1)^2)/4 + (n+1)^3 = (n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3)/4 $
Raccolgo $(n+1)^2$:
$ ( (n+1)^2(n^2 + 4(n+1)) ) /4 $ = $ ( (n+1)^2 (n^2 + 4n+4))/4 $ = $ ((n+1)^2(n+2)^2)/4 $
[/quote]
Come si passa da
\[ \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} + {(n + 1)^3} \]
a
\[ \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{4}({n^2} + 4n + 4) \]
Grazie
\[ \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} + {(n + 1)^3} \]
a
\[ \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{4}({n^2} + 4n + 4) \]
Grazie
Dimostrare l'identità
\[ \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} \]
Deduciamo che
\[ \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}} = \frac{{{{(n + 1)}^2}{{(n + 2)}^4}}}{4} \]
è un errore di stampa?
\[ \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} \]
Deduciamo che
\[ \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}} = \frac{{{{(n + 1)}^2}{{(n + 2)}^4}}}{4} \]
è un errore di stampa?
Proprio così.
Quindi quell'elevazione alla quarta è un errore di stampa?
Approfitto inoltre per capire come passi dalla tua prima alla seconda, cioè dalla somma al prodotto al numeratore.
Sarebbero graditi i passaggi per capire meglio.
Ancora grazie
Emil
Quindi quell'elevazione alla quarta è un errore di stampa?
Approfitto inoltre per capire come passi dalla tua prima alla seconda, cioè dalla somma al prodotto al numeratore.
Sarebbero graditi i passaggi per capire meglio.
Ancora grazie
Emil
Ciao Emil, benvenuto!
Anche a me viene "alla seconda", ma ho una perplessità su quel "sostituendo" (scusa, magari sto capendo male quello che intendi)... L'implicazione $ P(n)->P(n+1) $ l'hai dimostrata così?:
$ (n^2(n + 1)^2)/4 + (n+1)^3 = ((n+1)^2(n^2 + 4n + 4))/4 = ((n+1)^2(n+2)^2)/4 $
Ciao
"EmilLask":
Perché (n+2)^4? Sostituendo n con n+1 al numeratore non dovrebbe venire fuori ((n+1)^2)((n+1+1)2)?
Emil
Anche a me viene "alla seconda", ma ho una perplessità su quel "sostituendo" (scusa, magari sto capendo male quello che intendi)... L'implicazione $ P(n)->P(n+1) $ l'hai dimostrata così?:
$ (n^2(n + 1)^2)/4 + (n+1)^3 = ((n+1)^2(n^2 + 4n + 4))/4 = ((n+1)^2(n+2)^2)/4 $
Ciao
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