\(\Phi(t, \boldsymbol y;t_0)\)

[DavideGenova1]

Ciao a tutti! Posto qui una domanda di tipo "generale" sui simboli matematici. Trovo sul mio libro di analisi la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) definita come la funzione che associa a \(\boldsymbol y_0\) l'unica soluzione \(\boldsymbol y (t)\) del problema di Cauchy con dato iniziale \(\boldsymbol y (t_0)=\boldsymbol y_0\).
Volevo chiedere come mai una virgola e un punto e virgola...
Grazie a tutti!!!

[Fioravante Patrone1]

"DavideGenova":Devo purificarmi dalle imprecisioni linguistiche che in letteratura fanno tanto bel vedere (scherzo, ma non troppo).

E meno male che mate e letteratura son due cose diverse! Altrimenti, vuoi mettere che noia?

[DavideGenova1]

Grazie a tutti ancora!!!!!! Intendevo quello, ma non sono ancora molto bravo ad esprimermi con il rigore necessario... Devo purificarmi dalle imprecisioni linguistiche che in letteratura fanno tanto bel vedere (scherzo, ma non troppo).

[dzcosimo]

no la funzione dovrebbe restituire il valore di $y$ all'istante $t$ e non l'intera funzione

EDIT: scusa Fioravante Patrone, ho scritto prima che tu scrivessi il tuo messaggio. In ogni caso io ho sempre visto la prima delle due opzioni

[Fioravante Patrone1]

"DavideGenova":[quote="Fioravante Patrone"]Rigel scrive: \(\Phi(t; y_0, t_0)\), mentre tu scrivi (a parte il "bold" che non è rilevante per quanto voglio far notare) \(\Phi(t, y_0; t_0)\). Sicuro di aver raggruppato bene le variabili?

Sono scritte così sul mio libro (con il bold per sottolineare che la funzione è vettoriale, ma anche $\Phi$ lo è)...[/quote]
Che il bold intendesse robbe vettoriali era chiaro.
Che siano scritte così sul libro ci credo, ma continua a sembrarmi strano.

"DavideGenova":[quote="Fioravante Patrone"]Mi colpisce anche che tu dica: "la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) definita come la funzione che associa a \(\boldsymbol y_0\) l'unica soluzione \(\boldsymbol y (t)\)..." Non mi è mica tanto chiaro il discorso.

Volevo dire che, da quanto ho capito io, dato il problema di Cauchy \(\boldsymbol y'=\boldsymbol f(t,\boldsymbol y),\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0\), la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) è quella che, avendo per variabili/parametri \(t, \boldsymbol y_0\) e \(t_0\), ha per immagine la funzione\(\boldsymbol y\). Spero di non aver frainteso quanto dice il mio libro di analisi... [/quote]
La parte evidenziata in verde la scriverei diversamente. Ci sono due modi ugualmente corretti per scriverla:
- la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) è quella che, avendo per variabili/parametri \(t, \boldsymbol y_0\) e \(t_0\), ha per immagine il valore che la funzione \(\boldsymbol y\) assume nel punto $t$
- la funzione \( t \mapsto \Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) è quella che, avendo come variabile $t$ e come parametri \( \boldsymbol y_0\) e \(t_0\), ha per immagine la funzione \(\boldsymbol y\)

[DavideGenova1]

"Fioravante Patrone":Rigel scrive: \(\Phi(t; y_0, t_0)\), mentre tu scrivi (a parte il "bold" che non è rilevante per quanto voglio far notare) \(\Phi(t, y_0; t_0)\). Sicuro di aver raggruppato bene le variabili?

Sono scritte così sul mio libro (con il bold per sottolineare che la funzione è vettoriale, ma anche $\Phi$ lo è)...

"Fioravante Patrone":Mi colpisce anche che tu dica: "la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) definita come la funzione che associa a \(\boldsymbol y_0\) l'unica soluzione \(\boldsymbol y (t)\)..." Non mi è mica tanto chiaro il discorso.

Volevo dire che, da quanto ho capito io, dato il problema di Cauchy \(\boldsymbol y'=\boldsymbol f(t,\boldsymbol y),\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0\), la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) è quella che, avendo per variabili/parametri \(t, \boldsymbol y_0\) e \(t_0\), ha per immagine la funzione\(\boldsymbol y\). Spero di non aver frainteso quanto dice il mio libro di analisi...
$+oo$ grazie a tutti!!!

[Luca.Lussardi]

Probabilmente l'uso della notazione $\Phi_{t_0,y_0}(t)$ è migliore.

[Fioravante Patrone1]

Ovviamente d'accordo con Rigel. La distinzione operata con l'uso del punto e virgola ha lo scopo di aiutare il lettore, anche percettivamente, a distinguere il ruolo diverso che hanno le variabili nell'analisi che ne intende fare chi scrive.

@DavideGenova, noto una cosa. Rigel scrive: \(\Phi(t; y_0, t_0)\), mentre tu scrivi (a parte il "bold" che non è rilevante per quanto voglio far notare) \(\Phi(t, y_0; t_0)\). Sicuro di aver raggruppato bene le variabili?

Mi colpisce anche che tu dica: "la funzione \(\Phi(t, \boldsymbol y_0;t_0)\) definita come la funzione che associa a \(\boldsymbol y_0\) l'unica soluzione \(\boldsymbol y (t)\)..." Non mi è mica tanto chiaro il discorso.

[DavideGenova1]

Risposta in tempo reale! Grazie di cuore, Rigel!!!

[Rigel1]

E' solo una questione di notazione. In genere le "variabili" dopo il punto-e-virgola sono pensate come parametri (anche se la distinzione è puramente formale), tanto che spesso si usa la notazione \(\Phi(t; y_0, t_0)\) per dire che si sta pensando ad una funzione della \(t\) (dunque alla soluzione del problema di Cauchy), tenendo però traccia della sua dipendenza dal dato iniziale.