Numeri relativi: La regola dei segni
Buongiorno.
Gradirei informazioni per quanto riguarda i vari metodi per dimostrare la cosiddetta regola dei segni (- * - = + ; +*- = -....) Esiste un solo metodo, ormai consolidato?
Storicamente quale matematico (o matematici) ha proposto teorie in proposito?
Grazie e saluti
Giovanni Cappellotto
Gradirei informazioni per quanto riguarda i vari metodi per dimostrare la cosiddetta regola dei segni (- * - = + ; +*- = -....) Esiste un solo metodo, ormai consolidato?
Storicamente quale matematico (o matematici) ha proposto teorie in proposito?
Grazie e saluti
Giovanni Cappellotto
Risposte
"fields":
Purtroppo però, per rendere gli interi $ZZ$ un anello, dobbiamo definire la moltiplicazione in base alla regola dei segni: quindi nel caso degli interi, la regola dei segni non viene dimostrata, ma definita. Quindi un bel pasto gratis
Non sono un esperto, in effetti avevo il dubbio che non fosse una dimostrazione in quanto tautologica.
"Princeps":
Una dimostrazione si potrebbe fare sfruttando la forma trigonometrica dei numeri complessi.
Moltiplicare un numero per un altro equivale al prodotto dei moduli per la somma degli angoli...
Se il numero complesso fa parte anche dell'insieme dei numeri reali, ed è positivo è caratterizzato dall'angolo 0, mentre se è negativo è caratterizzato dall'angolo $pi$.
Nel prodotto di un negativo per un positivo l'angolo è $pi+0$ e quindi rimane $pi$, pertanto il segno è negativo, mentre nel prodotto di un negativo per un negativo l'angolo sarebbe $pi+pi$, ossia $2pi$ che equivale a zero.
Tale dimostrazione assume che si sia già dimostrata la regola dei segni per i Reali, quindi ha poco senso...
In ogni caso la dimostrazione astratta della regola dei segni è banale, e vale per qualunque Anello.
Purtroppo però, per rendere gli interi $ZZ$ un anello, dobbiamo definire la moltiplicazione in base alla regola dei segni: quindi nel caso degli interi, la regola dei segni non viene dimostrata, ma definita. Quindi un bel pasto gratis
"Princeps":
Una dimostrazione si potrebbe fare sfruttando la forma trigonometrica dei numeri complessi.
Moltiplicare un numero per un altro equivale al prodotto dei moduli per la somma degli angoli...
Se il numero complesso fa parte anche dell'insieme dei numeri reali, ed è positivo è caratterizzato dall'angolo 0, mentre se è negativo è caratterizzato dall'angolo $pi$.
Nel prodotto di un negativo per un positivo l'angolo è $pi+0$ e quindi rimane $pi$, pertanto il segno è negativo, mentre nel prodotto di un negativo per un negativo l'angolo sarebbe $pi+pi$, ossia $2pi$ che equivale a zero.
Non ci avevo mai pensato, ma mi sembra di uccidere una mosca a cannonate.
Sono sicuro che esiste una dimostrazione a partire dall'assiomatica di Peano e dall'introduzione degli interi relativi a partire da questa, ma ora non mi viene in mente nulla di più dettagliato.
Una dimostrazione si potrebbe fare sfruttando la forma trigonometrica dei numeri complessi.
Moltiplicare un numero per un altro equivale al prodotto dei moduli per la somma degli angoli...
Se il numero complesso fa parte anche dell'insieme dei numeri reali, ed è positivo è caratterizzato dall'angolo 0, mentre se è negativo è caratterizzato dall'angolo $pi$.
Nel prodotto di un negativo per un positivo l'angolo è $pi+0$ e quindi rimane $pi$, pertanto il segno è negativo, mentre nel prodotto di un negativo per un negativo l'angolo sarebbe $pi+pi$, ossia $2pi$ che equivale a zero.
Moltiplicare un numero per un altro equivale al prodotto dei moduli per la somma degli angoli...
Se il numero complesso fa parte anche dell'insieme dei numeri reali, ed è positivo è caratterizzato dall'angolo 0, mentre se è negativo è caratterizzato dall'angolo $pi$.
Nel prodotto di un negativo per un positivo l'angolo è $pi+0$ e quindi rimane $pi$, pertanto il segno è negativo, mentre nel prodotto di un negativo per un negativo l'angolo sarebbe $pi+pi$, ossia $2pi$ che equivale a zero.
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