Numeri complessi

[*marcellopedone]

Due anni fa, Antonio studente di ingegneria presso il politecnico mi ha chiesto di sviluppare la seguente potenza
(1+i)^18, possibilmente, in maniera semplice.

Gli ho inviata la soluzione generalizzandola e pubblicandola sul sito nella sezione esercizi svolti
https://www.matematicamente.it/esercizi/num_imma_e1.jpg

Quali e quanti sono i metodi per trovare lo sviluppo di (1+i)^n ?

[Maxos2]

No no, quello era l'effetto della vodka.

[evariste1]

adesso capisco perchè eulero quando scrisse la formula di eulero disse "allora Dio esiste":-)

[Maxos2]

Non c'è un risultato, perché l'esponenziale complesso non è una operazione che sputa fuori un solo numero, ma infiniti (dati dal $k in ZZ$ variabile nella formula).

E' quella che si chiama una "funzione" polidroma (il contrario sarebbe monodroma)

E' uno dei pochi casini della altrimenti linearissima analisi complessa (eh eh, ossimori...)

[_nicola de rosa]

"V per Vendetta":quindi il risultato di (3i)^i qual è?

$(3i)^i= e^(i*(ln3+i(pi/2+2kpi)))=e^(i*ln3)*e^-(pi/2+2kpi)=3^i*e^-(pi/2+2kpi)=(cos(ln3)+isin(ln3))*e^-(pi/2+2kpi)$ $k in ZZ$

[V1]

quindi il risultato di (3i)^i qual è?

[Maxos2]

E V per Vendetta scoprì le "funzioni" polidrome.

[_nicola de rosa]

"V per Vendetta":E se io volessi fare (ni)^i ??????

$(ni)^i =e^(i*ln(ni))$
Ora se$z in CC$, $lnz=ln(|z|*e^(i(phi+2kpi)))=ln|z|+i(phi+2kpi)$ con $k in ZZ$ da cui
$ln(ni)=ln|n|+i(pi/2*sign(n)+2kpi)$ (ho inteso $n$ come numero qualsiasi, percio ho messo nella fase $phi=pi/2*sign(n)$ perchè se $n>0$ la fase ( o meglio la determinazione principale) è $phi=pi/2$ mentre se $n<0$ la fase ( o meglio la determinazione principale) è $phi=-pi/2$, cioè $phi=pi/2*sign(n)$ dove $sign()$ è la funzione signum ) per cui
$(ni)^i= e^(i*(ln|n|+i(pi/2*sign(n)+2kpi)))=e^(i*ln|n|)*e^-(pi/2*sign(n)+2kpi)=|n|^i*e^-(pi/2*sign(n)+2kpi)=(cos(ln|n|)+isin(ln|n|))*e^-(pi/2*sign(n)+2kpi)$

[_nicola de rosa]

"marcellopedone":Due anni fa, Antonio studente di ingegneria presso il politecnico mi ha chiesto di sviluppare la seguente potenza
(1+i)^18, possibilmente, in maniera semplice.

Gli ho inviata la soluzione generalizzandola e pubblicandola sul sito nella sezione esercizi svolti
https://www.matematicamente.it/esercizi/num_imma_e1.jpg

Quali e quanti sono i metodi per trovare lo sviluppo di (1+i)^n ?

Io farei così:
Se $n$ è pari allora $n=2*n/2$ per cui
$(1+i)^n=((1+i)^2)^(n/2)=(2i)^(n/2)$
Se $n$ è dispari allora $(1+i)^n=(1+i)*(1+i)^(n-1)=(1+i)*(1+i)^2*(1+i)^((n-1)/2)=(1+i)*(2i)^((n-1)/2)$
In tal caso $n=18$ per cui
$(1+i)^18=(2i)^9=2^9*i^9=2^9*i*(i^2)^4=i*2^9$

[V1]

E se io volessi fare (ni)^i ??????

[Nidhogg]

Inoltre in generale (usando la trigonometria) si può dire che: $(a+i)^n=e^(i*n*(acot(a)))*(a^2+1)^(n/2)$, dove $acot(a)$ indica l'arcocotangente di a.

[Nidhogg]

"cavallipurosangue":Ma posso scrivere allora:
$(1+i)^n=2^{n/2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))=2^{n/2}e^{(i n\pi/4)}$

Meglio scrivere così: $(1+i)^n=2^(n/2)*(-1)^(n/4)$

[cavallipurosangue]

Ma posso scrivere allora:
$(1+i)^n=2^{n/2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))=2^{n/2}e^{(i n\pi/4)}$

[stellacometa]

Mi avete incuriosita... Vorrei sapere ache io...

[carlo232]

"marcellopedone":Hai ragione,
però ho dimenticato di scrivere che lo studente non voleva usare la trignometria!

Può usare la formula per la potenza di un binomio e le proprietà delle potenze di $i$, però vorrei ripetere che se esiste un metodo semplice e meglio usarlo...

[*marcellopedone]

Hai ragione,
però ho dimenticato di scrivere che lo studente non voleva usare la trignometria!

[cavallipurosangue]

Magari non c'entra niente, ma se voglio sapere quanto fa $(1+i)^n$
Basta che scrivo che $(1+i)^n=2^{n/2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))$
No?