$n < oo$?
Ciao, amici! Pongo qui una domandina "generalista": quando si trovano successioni di tipo $a_1,...,a_n$ con indici che arrivano fino a $n$ o $m$ o simili, si intende che $n$ e $m$ siano numeri naturali (finiti)?
Mi sono posto la domanda studiando insiemi di generatori ${\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n}$ di spazi vettoriali \(\langle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\rangle\)...
${"grazie"_1,...,"grazie"_{oo}}$ a tutti!
Mi sono posto la domanda studiando insiemi di generatori ${\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n}$ di spazi vettoriali \(\langle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\rangle\)...
${"grazie"_1,...,"grazie"_{oo}}$ a tutti!
Risposte
${"grazie"_n}_{n\in NN}$ anche a te!!!
"DavideGenova":
Ciao, amici! Pongo qui una domandina "generalista": quando si trovano successioni di tipo $a_1,...,a_n$ con indici che arrivano fino a $n$ o $m$ o simili, si intende che $n$ e $m$ siano numeri naturali (finiti)?
Per quello che ne so, una scrittura $a_1,...,a_n$ indica una famiglia finita. Io ho sempre inteso una successione come infinita (e ordinata) e in genere tendo a scriverla $\{a_1,a_2,...\}$ o $\{a_n\}_{n\in NN\}$, o anche con le parentesi tonde al posto delle graffe (quest'ultima notazione la preferisco).
Questa uguaglianza mi fa allora supporre che ci debba essere un rapporto piuttosto intimo tra $a_i x_i$, e quindi $x_i$ stesso, e la struttura algebrica cui appartiene $a_n$, il che mi riporta alle proprietà delle operazioni definite nella struttura di cui $a_n$ è elemento... Spezzo l'ultimo thread in cui mi hai aiutato per aprire un nuovo topic in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.
$2^{\aleph_3}$ grazie!
$2^{\aleph_3}$ grazie!
Risposta veloce
$(a_0,a_1,....,a_n,...) -= \sum_(i=0)^na_ix^i$.
$(a_0,a_1,....,a_n,...) -= \sum_(i=0)^na_ix^i$.
Grazie a tutti e 2, ragazzi!!!!
Abbi pazienza per la mia ignoranza, ma -se hai tempo e voglia di rispondermi- che relazione c'è tra i termini della successione definitivamente nulla e il tipo di polinomio che conosco della forma $\sum_{j=0}^{M} a_j\prod_{i=0}^{N}X_i^{d_i}$ con $d_i\in NN uu {0}$ e $a_j$ elemento di un anello? Ogni $a_j\prod_{i=0}^{N}X_i^{d_i}$ corrisponde ad un termine della successione (lo chiedo, ma sembra troppo facile per essere così e mi sbaglio sicuramente)?
EDIT: avevo dimenticato due indici.
"Kashaman":
è un polinomio
Abbi pazienza per la mia ignoranza, ma -se hai tempo e voglia di rispondermi- che relazione c'è tra i termini della successione definitivamente nulla e il tipo di polinomio che conosco della forma $\sum_{j=0}^{M} a_j\prod_{i=0}^{N}X_i^{d_i}$ con $d_i\in NN uu {0}$ e $a_j$ elemento di un anello? Ogni $a_j\prod_{i=0}^{N}X_i^{d_i}$ corrisponde ad un termine della successione (lo chiedo, ma sembra troppo facile per essere così e mi sbaglio sicuramente)?
EDIT: avevo dimenticato due indici.
"DavideGenova":
P.S.: [quote="Kashaman"]Prendi però $(a_1,a_2,....,a_n,....)$ successione di elementi in $K$ definitivamente nulla (sai dirmi cosa rappresenta questa successione?)
Purtroppo quel che so di algebra $->0$...
So solo che se è definitivamente nulla $EE N\in NN :n>N\Rightarrow a_n=0$...[/quote]è un polinomio
Salve DavideGenova,
$n$ ed $m$ sono elementi di $NN$, penso che se vuoi che siano anche il simbolo infinito dovresti considerare l'insieme dei naturali esteso..
Cordiali saluti
$n$ ed $m$ sono elementi di $NN$, penso che se vuoi che siano anche il simbolo infinito dovresti considerare l'insieme dei naturali esteso..
Cordiali saluti
Grazie di cuore di nuovo, Kashaman! Ad occhio avrei l'impressione che, se in una scrittura di tipo $a_1,...,a_n$ non ci sono più puntini dopo il termine di indice $n$, allora $n$ è finito... no? Viceversa mi pare che $a_1,...,a_n,...$ implichi che le $a_i$ non si fermino necessariamente a $n$...
$("grazie"_1,...,"grazie"_n,...)$
P.S.:
Purtroppo quel che so di algebra $->0$... So solo che se è definitivamente nulla $EE N\in NN :n>N\Rightarrow a_n=0$...
$("grazie"_1,...,"grazie"_n,...)$
P.S.:
"Kashaman":
Prendi però $(a_1,a_2,....,a_n,....)$ successione di elementi in $K$ definitivamente nulla (sai dirmi cosa rappresenta questa successione?)
Purtroppo quel che so di algebra $->0$...
So solo che se è definitivamente nulla $EE N\in NN :n>N\Rightarrow a_n=0$...
Si, anche se non necessariamente... dipende dall'ambito secondo me.
Prendi ad esempio $v_1,v_2,.....,v_n in V- sp$ vettoriale.
Allora se $v_1,v_2,.....,v_n$ sono linearmente indipendenti e la $dimV=n$ generano $V$ , in tal caso il pedice è finito.
E sta a indicare che quegli $n$ elementi bastano per generare $V$.
Prendi però $(a_1,a_2,....,a_n,....)$ successione di elementi in $K$ definitivamente nulla (sai dirmi cosa rappresenta questa successione?), il termine $n$ è finito, e sta a indicare che fino a quell'enne i termini ci sono.
ma non è detto che non esista $a_(n+1)$, infatti in quel tipo di successione $a_(n+1)=0$, quindi potenzialmente, quell'$n$ può estendersi ad infinito.
potremmo scrivere, volendo
$(a_0,a_1,....,a_n,a_(n+1),a_(n+2),......,a_(n+k),.....)$ con la particolarità che i termini con indice $>= n+1$ sono tutti nulli.
Prendi ad esempio $v_1,v_2,.....,v_n in V- sp$ vettoriale.
Allora se $v_1,v_2,.....,v_n$ sono linearmente indipendenti e la $dimV=n$ generano $V$ , in tal caso il pedice è finito.
E sta a indicare che quegli $n$ elementi bastano per generare $V$.
Prendi però $(a_1,a_2,....,a_n,....)$ successione di elementi in $K$ definitivamente nulla (sai dirmi cosa rappresenta questa successione?), il termine $n$ è finito, e sta a indicare che fino a quell'enne i termini ci sono.
ma non è detto che non esista $a_(n+1)$, infatti in quel tipo di successione $a_(n+1)=0$, quindi potenzialmente, quell'$n$ può estendersi ad infinito.
potremmo scrivere, volendo
$(a_0,a_1,....,a_n,a_(n+1),a_(n+2),......,a_(n+k),.....)$ con la particolarità che i termini con indice $>= n+1$ sono tutti nulli.
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