Mersenne
C'è un motivo per cui tutti i 47 Numeri di mersenne ad oggi conosciuti finiscono (esclusi i primi) tutti con 1 oppure con 7? e il 3 il 5 e il 9?
Risposte
"nato_pigro":
@raptorista: mi sa che scherzavo :S
Doh!
Scusami! Da bravo ingegnere ovviamente non ci sono arrivato... Aggiornerò il mio parser
@raptorista: mi sa che scherzavo :S
"Raptorista":Incredibile
@Gi8: la finiamo di farci cross-posting a vicenda?? XD
@Gi8: la finiamo di farci cross-posting a vicenda?? XD
"Gi8":
...
Ma sai che ciò che dici mi sembra davvero familiare?? XD
Comunque, mi ero perso il fatto che l'esponente di due dovesse essere un numero primo: in tal caso la cifra [tex]3[/tex] si esclude così: un numero [tex]2^n-1[/tex] può finire per [tex]3[/tex] se e solo se [tex]2^n[/tex] finisce per [tex]4[/tex]; siccome le potenze di [tex]2[/tex] terminano, in sequenza, con le cifre [tex]2, 4, 8, 6[/tex] allora una potenza di [tex]2[/tex] che finisca per [tex]4[/tex] è senz'altro scritta nella forma [tex]4 \cdot 2^{4k}, k \in \mathbb{N}[/tex], ossia [tex]2^2 \cdot 2^{4k} = 2^{4k + 2} = 2^{2(2k + 1)}[/tex]. Ma [tex]2(2k+1)[/tex] è certamente pari, e dunque non può essere primo a meno che non sia [tex]k = 0[/tex], da cui l'unica eccezione!
Ecco, ho trovato:
$2^p-1$ termina con $3$ $<=> 2^p$ termina con $4$
Ma le potenze di $2$ che terminano con $4$ sono tutti e soli i numeri $x =2+4k$, con $k in NN$
Tra questi, l'unico numero primo si trova ponendo $k=0$, ovvero $p=2=> M_2=3$
$2^p-1$ termina con $3$ $<=> 2^p$ termina con $4$
Ma le potenze di $2$ che terminano con $4$ sono tutti e soli i numeri $x =2+4k$, con $k in NN$
Tra questi, l'unico numero primo si trova ponendo $k=0$, ovvero $p=2=> M_2=3$
I numeri primi di Mersenne sono numeri primi della forma $M_p=2^p-1$, con $p$ numero primo
Ad oggi se ne conoscono $47$ in tutto.
Elenco i primi cinque: $M_2=3$, $M_3=7$, $M_5=31$, $M_7=127$, $M_13=8191$
Secondo me fritjof intende questo:
Perchè, a parte il primo numero primo di Mersenne (cioè $M_2=3$), tutti i numeri primi di Mersenne terminano con $1$ oppure $7$?
Come ha già spiegato Rggb, un numero primo non può mai terminare per $5$.
Si può anche dimostrare che nemmeno $9$ potrà mai essere l'ultima cifra.
Infatti, se $EE p $ primo tale che $2^p-1$ termina con $9$, si avrebbe che $2^p$ termina con $0$. Assurdo,
perchè le potenze di $2$ non terminano mai con $0$
Rimarrebbe da spiegare perchè non c'è mai il $3$...
Ad oggi se ne conoscono $47$ in tutto.
Elenco i primi cinque: $M_2=3$, $M_3=7$, $M_5=31$, $M_7=127$, $M_13=8191$
Secondo me fritjof intende questo:
Perchè, a parte il primo numero primo di Mersenne (cioè $M_2=3$), tutti i numeri primi di Mersenne terminano con $1$ oppure $7$?
Come ha già spiegato Rggb, un numero primo non può mai terminare per $5$.
Si può anche dimostrare che nemmeno $9$ potrà mai essere l'ultima cifra.
Infatti, se $EE p $ primo tale che $2^p-1$ termina con $9$, si avrebbe che $2^p$ termina con $0$. Assurdo,
perchè le potenze di $2$ non terminano mai con $0$
Rimarrebbe da spiegare perchè non c'è mai il $3$...
@nato_pigro: penso che significhi "tranne i primi dell'elenco".
@fritjof: siccome sono tutti numeri nella forma [tex]2^n - 1[/tex], e siccome le potenze di due finiscono solamente per [tex]2, 4, 8, 6[/tex] i numeri candidati come ultime cifre sono solo [tex]1, 3, 7[/tex] e [tex]5[/tex]. Questo esclude il [tex]9[/tex] ed il [tex]5[/tex] è già stato escluso perché esiste un solo primo che finisca per [tex]5[/tex].
Per la cifra [tex]3[/tex] non saprei...
@fritjof: siccome sono tutti numeri nella forma [tex]2^n - 1[/tex], e siccome le potenze di due finiscono solamente per [tex]2, 4, 8, 6[/tex] i numeri candidati come ultime cifre sono solo [tex]1, 3, 7[/tex] e [tex]5[/tex]. Questo esclude il [tex]9[/tex] ed il [tex]5[/tex] è già stato escluso perché esiste un solo primo che finisca per [tex]5[/tex].
Per la cifra [tex]3[/tex] non saprei...
come "esclusi i primi"?
Sono tutti primi!
Sono tutti primi!
"fritjof":
... i 47 Numeri di mersenne ad oggi conosciuti
Parli evidentemente dei numeri primi di Mersenne.
"fritjof":
... e il 3 il 5 e il 9?
Essendo primi, ed essendo scritti in notazione decimale, che finiscano per 5 mi sembra difficile.
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