Matematica: creazione o scoperta 2
scusa la mia eventuale ignoranza, ammetto di non essere un esperto (mi manca un esame di logica 
), ma ho sempre pensato che la validità di un teorema dipenda fortemente dal sistema di assiomi in cui esso è immerso.
Volendo ritengo che sia facile costruire due semplici sistemi formali in cui un teorema valido nel primo non lo sia nel secondo
però, ripeto, non sono competente in materia quindi chiedo lumi a qualcuno più esperto
), ma ho sempre pensato che la validità di un teorema dipenda fortemente dal sistema di assiomi in cui esso è immerso.Volendo ritengo che sia facile costruire due semplici sistemi formali in cui un teorema valido nel primo non lo sia nel secondo
però, ripeto, non sono competente in materia quindi chiedo lumi a qualcuno più esperto
Risposte
grazie mille, mi informerò su questo Godel.
"sofiasofia":
Alla luce di questo vorrei fare una domanda: è possibile che esisteno degli assiomi che non sono stati ancora soperti?
Perché no? Certo.
Di fatto, in teoria degli insiemi, negli ultimi cinquant'anni molti matematici hanno cercato nuovi assiomi, con la speranza, anche, di risolvere problemi che con gli assiomi attuali non possono essere risolti. Il primo a suggerire questo tipo di indagini fu, tanto per cambiare, Godel.
La teoria degli insiemi, inoltre, è il fondamento di tutta la matematica. Dunque, cercare nuovi assiomi per essa è come cercare nuovi assiomi per la matematica.
Buongiorno a tutti, mi presento: ho 25 anni ed ho appena firmato una tregua con la matematica, che fino a qualche giorno fa non mi ha ragalato altro che supreme umiliazioni. Dunque pensate che ho solo voglia di imparare ma che ancora non so proprio nienete. Alla luce di questo vorrei fare una domanda: è possibile che esisteno degli assiomi che non sono stati ancora soperti? o delle regole ancora più profonde degli assiomi che conosciamo già e che stanno alla base dell'esistenza della vita? Sofia
mi spiace, ma Cartesio risale per me a qualche decennio fa 
e temo di dire bestialità. M'è rimasto in memoria un senso di frustrazione generato da due componenti diverse del suo discorso: una molto improntata al buon senso (il dubbio metodico), ed una che scivolava, credo inconsapevolmente, verso la metafisica (la teoria dei vortici). A distanza di tempo lo giustifico pensando che in lui convivevano due anime, collocandolo quindi in una posizione di transizione tra un vecchio (la scolastica?) ed un nuovo che stava per iniziare, e di cui potrebbe essere stato proprio lui l'autore.
Tornando alla questione creazione/scoperta nella matematica, posso convenire che adattando opportunamente il modo di intendere questi termini si può anche classificare sotto entrambe le voci parti diverse della matematica. Però, confesso che ciò mi sembra un artificio linguistico, che ad un'analisi successiva può sgretolarsi. Mi spiego meglio.
Se dico che creo gli assiomi e che scopro i teoremi che ne derivano logicamente, in realtà sto solo dicendo che quando ho creato gli assiomi non ero in grado di immaginare contestualmente tutte le conseguenze che ne avrei potuto dedurre logicamente. La scoperta successiva altro non sarebbe, quindi, che la presa di coscienza delle innumerevoli diramazioni possibili che posso costruire sulle radici che ho posto (gli assiomi). Ma se guardiamo bene quali sono gli ingredienti di questa ricetta, ritroviamo solo gli assiomi e la nostra logica. Ancora tutto umano (troppo umano, direbbe Friedrich). Se di scoperta si vuol parlare, allora è la scoperta di se stessi.
e temo di dire bestialità. M'è rimasto in memoria un senso di frustrazione generato da due componenti diverse del suo discorso: una molto improntata al buon senso (il dubbio metodico), ed una che scivolava, credo inconsapevolmente, verso la metafisica (la teoria dei vortici). A distanza di tempo lo giustifico pensando che in lui convivevano due anime, collocandolo quindi in una posizione di transizione tra un vecchio (la scolastica?) ed un nuovo che stava per iniziare, e di cui potrebbe essere stato proprio lui l'autore.Tornando alla questione creazione/scoperta nella matematica, posso convenire che adattando opportunamente il modo di intendere questi termini si può anche classificare sotto entrambe le voci parti diverse della matematica. Però, confesso che ciò mi sembra un artificio linguistico, che ad un'analisi successiva può sgretolarsi. Mi spiego meglio.
Se dico che creo gli assiomi e che scopro i teoremi che ne derivano logicamente, in realtà sto solo dicendo che quando ho creato gli assiomi non ero in grado di immaginare contestualmente tutte le conseguenze che ne avrei potuto dedurre logicamente. La scoperta successiva altro non sarebbe, quindi, che la presa di coscienza delle innumerevoli diramazioni possibili che posso costruire sulle radici che ho posto (gli assiomi). Ma se guardiamo bene quali sono gli ingredienti di questa ricetta, ritroviamo solo gli assiomi e la nostra logica. Ancora tutto umano (troppo umano, direbbe Friedrich). Se di scoperta si vuol parlare, allora è la scoperta di se stessi.
"Megan00b":
Innanzitutto ci tengo a comunicare che a me Kant è sempre stato mooolto antipatico non tanto in sè (perchè era un bravuomo e anche una gran testa) ma per il fatto che venga citato e infilato da tutte le parti per motivare convinzioni personali come si può citare la bibbia o altri testi sacri - fenomeno peraltro che va contro le idee stesse piuttosto illuministe di Kant. Inoltre, una volta per tutte, Kant ormai è superato e le sue teorie sono affascinanti ma assolutamente inaccettabili per il semplice fatto che partono - illuministicamente - dalla convinzione che la mente umana, o il pensiero, o comunque lo si voglia chiamare, possa descrivere correttamente qualcosa. Per dirla in maniera brutale Kant puzza ancora troppo di Cartesio e di Hume per essere accettato ai nostri giorni.
provo a dire qualcosa sperando che gli animi un po' esacerbati negli ultimi post, si dispongano ad ascoltare (o meglio a leggere) serenamente.
1. è un peccato scaricare su Kant l'eventuale suo impiego strumentale
2. ho letto di Cartesio il suo Discorso sul metodo (e credo niente altro, ma è stato utile) e di Kant la Critica della ragione pura (ho iniziato la critica del giudizio, ma mi sono rotto le...). Io, personalmente, non li avrei mai affiancati, neanche olfattivamente. La distanza mi sembra molto maggiore di quella temporale che li separa
3. ho letto qualcosa anche di filosofi successivi (a cominciare da Hegel), ma di fondamentali passi avanti ne ho percepiti pochi, almeno per quanto riguarda la teoria della conoscenza. Poi ho cambiato genere
4. tornando a Kant ed alla filosofia trascendentale, dico che non mi è rimasto impresso un tentativo di voler qualificare la conoscenza. A me sembra che Kant abbia fatto il tentativo di cercarne le basi, non la sua verità. Nell'a-priori non si nasconde nessuna verità. Certamente mi sono perso un pezzo importante di Kant, non avendo letto ciò che del suo pensiero indirizza l'etica. Ma so che Kant era un fervente credente; quindi posso immaginare che, come accade a chi crede, oltrepassati certi confini si cambiano anche gli strumenti adottati, e forse è capitato anche a lui. Ma posso sbagliare.
Non avrei voluto scrivere questo messaggio ma forse è necessario.
Qui non si tratta di risentimento verso di me o verso qualcun altro; bollare di incompetenza un interlocutore va contro le più elementari ed ovvie regole della comunicazione civile e cristallizza qualsiasi motivazione di discussione specie se questa ha inizialmente l'intento speculativo che qui ci proponevamo. E' molto sgarbato e poco democratico. Non mi presterò ad ulteriori palleggi perchè aborro l'idea di trasformare questo topic in uno sterile litigio degno al più delle peggiori trasmissioni televisive odierne.
Ci tengo solo a precisare che posso ricordare male quanto a Kant, e in tal caso una correzione educata l'avrei accettata a braccia aperte: il fatto che ignori qualcosa solitamente per me è la principale motivazione per cercare di saperne di più; per quanto riguarda lo scetticismo ho già detto in maniera molto chiara e comprensibile da chiunque che la mia era una evidente riduzione dato che al di là della sezione del forum in cui si scrive risulta difficile sintetizzare nello spazio di un topic l'evoluzione di un concetto presente nella storia della filosofia da più di 2000 anni e in questo senso va inteso il fatto che sia impossibile conferire completezza ad una discussione simile in quesa sede. Inoltre ritengo che la filosofia cominci proprio dall'aprire la bocca e lasciare andare onde poi raccogliere le idee e passare al setaccio della logica e della coerenza. Citare letture o studi passati con la pretesa che essi implichino verità assoluta non è filosofia, non è moderno, non è intelligente, non è soprattutto utile: è solo un pedante tentativo di dimostrare la propria bravura in una sede in cui ciò non è richiesto.
Dato che preferisco passare per ignorante (che è una cosa sempre positiva, perchè vuol dire che si può imparare) piuttosto che da erudito e saggio (che vuol dire che bisogna insegnare e quindi assumersi la responsabilità di avere una qualche verità nel cassetto) mi tiro fuori da questa discussione che per me non ha più alcun interesse.
Non ho mai preteso di avere la verità nel cassetto, anch'io lì ci tengo solo le mutande.
Qui non si tratta di risentimento verso di me o verso qualcun altro; bollare di incompetenza un interlocutore va contro le più elementari ed ovvie regole della comunicazione civile e cristallizza qualsiasi motivazione di discussione specie se questa ha inizialmente l'intento speculativo che qui ci proponevamo. E' molto sgarbato e poco democratico. Non mi presterò ad ulteriori palleggi perchè aborro l'idea di trasformare questo topic in uno sterile litigio degno al più delle peggiori trasmissioni televisive odierne.
Ci tengo solo a precisare che posso ricordare male quanto a Kant, e in tal caso una correzione educata l'avrei accettata a braccia aperte: il fatto che ignori qualcosa solitamente per me è la principale motivazione per cercare di saperne di più; per quanto riguarda lo scetticismo ho già detto in maniera molto chiara e comprensibile da chiunque che la mia era una evidente riduzione dato che al di là della sezione del forum in cui si scrive risulta difficile sintetizzare nello spazio di un topic l'evoluzione di un concetto presente nella storia della filosofia da più di 2000 anni e in questo senso va inteso il fatto che sia impossibile conferire completezza ad una discussione simile in quesa sede. Inoltre ritengo che la filosofia cominci proprio dall'aprire la bocca e lasciare andare onde poi raccogliere le idee e passare al setaccio della logica e della coerenza. Citare letture o studi passati con la pretesa che essi implichino verità assoluta non è filosofia, non è moderno, non è intelligente, non è soprattutto utile: è solo un pedante tentativo di dimostrare la propria bravura in una sede in cui ciò non è richiesto.
Dato che preferisco passare per ignorante (che è una cosa sempre positiva, perchè vuol dire che si può imparare) piuttosto che da erudito e saggio (che vuol dire che bisogna insegnare e quindi assumersi la responsabilità di avere una qualche verità nel cassetto) mi tiro fuori da questa discussione che per me non ha più alcun interesse.
Non ho mai preteso di avere la verità nel cassetto, anch'io lì ci tengo solo le mutande.
Guarda, se il fatto che mi sia lasciato scappare un ricordo di liceo buttato lì e che non posso documentare (e non ne ho la minima voglia) ti turba in questo modo provvedo immediatamente ad editare il mio messaggio e ad ammettere pubblicamente la mia incompetenza (suppongo tu ti riferisca a me). Si potrebbe prevedere una sezione gogna nel forum...
Suppongo tuttavia che nessuna persona con un briciolo di senno si aspetterebbe da un forum on line che le sue discussioni su temi del genere possano essere complete ed esaustive quindi la tua stizzita risposta potrebbe essere in qualche modo esagerata soprattutto dato che io stesso avevo espressamente palesato l'insufficienza di 5 righe per spiegare cosa sia lo scetticismo. Altra evidente dimostrazione di mia incompetenza.
Appellandomi ad una molto-Kantiana indipendenza dell'individuo mi riservo il diritto di sguazzare nella mia dilagante incompetenza e di continuare a pensare che il fondamento logico e quindi il senso stesso di ogni sistema formale in uso è d'argilla e che questo concetto sia fortemente innovativo rispetto alle tesi dello scetticismo classico e a quello empirico.
Complimenti per le tue erudite letture. Miao!
Suppongo tuttavia che nessuna persona con un briciolo di senno si aspetterebbe da un forum on line che le sue discussioni su temi del genere possano essere complete ed esaustive quindi la tua stizzita risposta potrebbe essere in qualche modo esagerata soprattutto dato che io stesso avevo espressamente palesato l'insufficienza di 5 righe per spiegare cosa sia lo scetticismo. Altra evidente dimostrazione di mia incompetenza.
Appellandomi ad una molto-Kantiana indipendenza dell'individuo mi riservo il diritto di sguazzare nella mia dilagante incompetenza e di continuare a pensare che il fondamento logico e quindi il senso stesso di ogni sistema formale in uso è d'argilla e che questo concetto sia fortemente innovativo rispetto alle tesi dello scetticismo classico e a quello empirico.
Complimenti per le tue erudite letture. Miao!
"Sergio":
[quote="Megan00b"]Nossignore, questa è la versione successiva dello stesso software, ma ha importanti modifiche strutturali che lo rendono completamente diverso.
Non capisco. Le modifiche strutturali consisterebbero nell'uso di allucinogeni? Davvero: non capisco.[/quote]
No, anche se a giudicare dagli argomenti che stiamo trattando forse un po' di funghi strani li abbiamo mangiati davvero.
Le modifiche strutturali sono nel fatto che dopo lo scetticismo empirico (da cui peraltro Kant attinge a piene mani) sono nate nuove teorie prima impensabili.(*NOTA IN FONDO*) Lo scetticismo (classico ed empirico) in sostanza afferma che non siamo in grado di trovare una radice primitiva del pensiero o della logica e che quindi non possiamo in alcun modo aspettarci che il pensiero sia corretto. Questo Kant lo "formalizza" dicendo che possiamo fissare la radice primitiva del ragionamento puro ma che non si trova tra le cose su cui ragioniamo ma dentro di noi. Poi medicina, neurologia, le varie teorie sulla conoscenza, Nietzsche in maniera periferica e tanti altri hanno descritto come funziona questo "finto" ragionamento. E poi Goedel ha dato il colpo finale dimostrando che se accettiamo la logica allora non possiamo dimostrarne la radice e se scegliamo la radice non possiamo accettare la logica per intero. Ecco, detto in 5 righe non rende ma la "novità" è che il telescopio si è spostato dalla convinzione che non esiste la logica (gli scetticisti hanno sempre evitato di dirlo ma il succo del concetto è quello) alla convinzione che la logica non ha senso al di fuori della logica perchè il senso stesso è logica.
"Sergio":
[quote="Megan00b"]La storiella del fenomeno e del noumeno è interessante e infatti è la base di quello che sto per dire, ma lo stesso kant negli ultimi anni della sua vita ha cominciato a metterla in dubbio.
Mi interessa: in che senso l'ha messa in dubbio?[/quote]
Non sparei darti il riferimento esatto all'opera ma ricordo perfettamente dai tempi del liceo di aver letto oltre alle vagonate di critiche, sottocritiche e controcritiche a Kant un paio di scritti degli ultimi anni, forse appunti o note alla "critica del giudizio", in cui Kant stesso metteva in dubbio la teoria del fenomeno e del noumeno non come sbagliata ma come incompleta e ricordo anche che da queste osservazioni provengano alcuni lavori giovanili di Fichte e delle prime accezioni della Fenomenologia dovute ad Husserl. Non posso darti ulteriori informazioni perchè qui i miei ricordi diventano ovviamente troppo vaghi. L'avevo inserito nel messaggio precedente così perchè mi era tornato in mente.
NOTA: Ci tengo ad evidenziare la mia incompetenza circa quanto segue e la mia audacia nello sfidare con il mio libero pensiero (quindi non filosofico) chi, reduce da letture eccellenti, ne sa più di me.
Aggiungo una piccola cosa: in un film che mi piace molto c'è una scena buffa. Un ragazzino va a prendere un'accetta che pensa si trovi nella legnaia, ma la porta della legnaia è chiusa da un lucchetto e per aprila prende l'accetta (che in realtà è poggiata sul muro esterno della legnaia) e comincia a colpire la porta con essa.
Credo che quest'immagine descriva perfettamente e allo stesso tempo accomuni le tesi apparentemente discordi dei miei interlocutori.
Credo che quest'immagine descriva perfettamente e allo stesso tempo accomuni le tesi apparentemente discordi dei miei interlocutori.
"Sergio":
Cosa abbiamo inventato e cosa scoperto?
Niente di entrambi.
"Sergio":
Vecchio tema filosofico, tipico dello scetticismo classico di Sesto Empirico, ripreso poi nel XVI-XVII secolo nella forma dello "scetticismo empirico".
Nossignore, questa è la versione successiva dello stesso software, ma ha importanti modifiche strutturali che lo rendono completamente diverso.
Innanzitutto ci tengo a comunicare che a me Kant è sempre stato mooolto antipatico non tanto in sè (perchè era un bravuomo e anche una gran testa) ma per il fatto che venga citato e infilato da tutte le parti per motivare convinzioni personali come si può citare la bibbia o altri testi sacri - fenomeno peraltro che va contro le idee stesse piuttosto illuministe di Kant. Inoltre, una volta per tutte, Kant ormai è superato e le sue teorie sono affascinanti ma assolutamente inaccettabili per il semplice fatto che partono - illuministicamente - dalla convinzione che la mente umana, o il pensiero, o comunque lo si voglia chiamare, possa descrivere correttamente qualcosa. Per dirla in maniera brutale Kant puzza ancora troppo di Cartesio e di Hume per essere accettato ai nostri giorni. La storiella del fenomeno e del noumeno è interessante e infatti è la base di quello che sto per dire, ma lo stesso kant negli ultimi anni della sua vita ha cominciato a metterla in dubbio.
Detto questo vorrei chiarire cosa intendevo con i 4 assiomi del messaggio precedente.
1) Qualcosa esiste: a questo punto non sappiamo se è vero, non sappiamo cosa voglia dire vero, non sappiamo cosa vuol dire "cosa voglia dire", "esiste. Non sappiamo niente. Se qualcosa esiste allora qualcosa esiste (necessità dell'esistente) altrimenti tutto questo discorso non esisterebbe e potremmo fermarci qui. Dunque supponiamo che qualcosa esista.
2) Esiste il linguaggio...: per linguaggio intendo la comunicazione ossia ciò che esiste comunica con sè stesso cioè si evolve cioè presenta più di uno "stato".
3) L'uomo esiste e interagisce...: cioè l'uomo (qualunque cosa sia) è parte attiva dell'esistente.
4) Le varie accezioni dell'esistente che identifichiamo con la parola uomo sono uniformi nell'intendere una percezione una volta fissata una regola di comunicazione.
Il fatto che questi siano assiomi non vuol dire che siano veri, perchè la parola "vero" esiste solo dopo aver fissato il 4° assioma. Se vogliamo si può considerare come una generalizzazione del principio di Goedel cioè per farla breve tutto quello che stiamo dicendo non ha alcun senso... qualsiasi cosa voglia dire, a noi sembra che sia così ma non possiamo dire se è vero o falso perchè non esiste il vero o il falso.
Saltando un centinaio di passaggi : Per quanto riguarda l'astrazione matematica ad esempio la palla in $RR^7$ non è affato vero che non si può vederla. Anzi chiunque sappia un po' di analisi la può vedere: Prendi una quantità fisica ad esempio la temperatura di un corpo in un sistema che dipende da 6 altre grandezze secondo la radice quadrata della somma dei loro quadrati. Eccoti una bellissima semisfera in $RR^7$. E non sto barando perchè il fatto che una sfera 7d sia la generalizzazione delle sfere 1d, 2d, 3d è solo una convinzione diffusa, non sta scritto da nessuna parte. E si potrebbero fare tanti altri esempi. Tipo: che differenza c'è tra $pi$ cm e 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944599 cm? Nessuna. Se parliamo di centimetri sfido chiunque a mostrarmi un oggetto la cui dimensione sia la differenza tra i due (e se lo trovate ci aggiungo altre 1000 cifre...). Inoltre nessuno tra chi leggerà questo messaggio, nel leggere le cifre di pigreco che ho scritto si accorgerà che l'ultima cifra è sbagliata e se non lo dicessi tutti i lettori sarebbero certi che ho scritto giusto.
Quello che voglio dire è che la matematica non è nè un'invenzione, perchè vorrebbe dire che ciò che esiste si può creare e allora bisogerebbe fare una distinzione in base a chi ha creato cosa che distruggerebbe la teoria stessa, nè una scoperta perchè la matematica non esiste. Semplicemente ammettendo quei 4 assiomi la matematica è un'accezione finita del linguaggio (cioè dell'interazione cioè dell'evoluzione dell'esistente) che per qualche motivo che non conosciamo (perchè non esiste) ci piace (anche se non sappiamo che cosa voglia dire che ci piace).
"Sergio":
[quote="kinder"]Il triangolo non ha un'area. Il concetto di area è inventato. Deve essere definito, in un modo ben preciso. Sappiamo come sia possibile definire metriche diverse ecc.
Ancora più divertente: parti dal Polo Nord e scendi fino all'equatore; spostati di 90° verso Ovest; ritorna al Polo Nord.
Hai tracciato un triangolo. Un triangolo rettangolo.
Prova a calcolarne l'area con "base per altezza diviso 2"....[/quote]
si, davo per scontato questa parte... dopo esserci messi d'accordo su cos'è l'area, che è un qual cosa strettamente legato con le proprietà del rettangolo, allora l'era è quella. Il concetto di area non possiamo pretendere di dire che l'abbiamo inventato.
Più in generale, se ho un problema ben posto, fatte le opportune precisazioni (ci troviamo in uno spazio euclideo mettiamo e tutto il resto) il risultato è uno. E noi non è che lo inventiamo, è più corretto dire hce lo scopriamo.
si d'accordo ma la cosa interessante della matematica non sono gli enti matematici in se ma le loro mutue relazioni
e queste non possono essere ridotte al concetto di regola o definizione
queste relazioni sembrano esistere al di la di noi
e il portarle alla luce sembra un processo di scoperta genuina
e queste non possono essere ridotte al concetto di regola o definizione
queste relazioni sembrano esistere al di la di noi
e il portarle alla luce sembra un processo di scoperta genuina
"nato_pigro":
Quando abbiamo un rettangolo che ha base e altezza note e dobbiamo calcolarne l'area noi ne scopriamo l'area, essa è indipendente da noi, da come la calcoliamo e chiunque la calcola, se non sbaglia, trova lo stesso risultato. Quel triangolo ha quell'area, non possiamo farci niente, ha quell'area per noi, per le formiche e per gli alieni.
a questo non darei più significato di quanto non ne abbia. Quello che appare come un risultato necessario ed universale, altro non è che l'impiego consapevole di una regola nota a chi deve usarla. Ti faccio un esempio. Se si stabilisce che, dopo aver visto un oggetto giallo e poi uno nero, si debba dire ad alta voce "fa caldo", e questa regola viene insegnata, allora vedi che persone diverse che seguono disciplinatamente questa regola, giungono allo stesso risultato ogni volta che vedono un oggetto giallo ed uno nero. Messa in questi termini la cosa si evidenzia meno misteriosa e meno importante di quanto non appaia se immersa in ambito geometrico. E' il risultato dell'applicazione di una regola. Ed a nessuno, spero, verrà in mente di elevare questa regola a chissà quale rango di universalità e necessità. Sarebbe ancora più ridicolo pensare che sia il risultato della scoperta di un qualcosa che esiste al di la dell'uomo che tale regola applica.
Il triangolo non ha un'area. Il concetto di area è inventato. Deve essere definito, in un modo ben preciso. Sappiamo come sia possibile definire metriche diverse, e non possiamo pretendere per ognuna di esse una realtà propria. Sarebbe, per l'uomo, una visione del mondo un po' troppo presuntuosa. Io, ad un rettangolo, posso associare chissà quante grandezze ottenute agendo su alcune sue caratteristiche, quali le misure dei lati. Posso, per esempio, introdurre una grandezza data da una qualunque serie di operazioni fatte sui lati. Scoprirò poi che ha proprietà tutte sue, probabilmente diverse da quelle dell'area data dal prodotto dei lati, e penserò di aver scoperto una proprietà geometrica strana. Io credo che la maggior parte delle cose matematiche siano contingenti, perché dipendenti dai punti di partenza (assiomi, concetti primitivi, definizioni etc.). Quello che mi sembra davvero fondamentale è soprattutto l'uso della logica.
secondo me nella matematica ci sono tutte e due, sia la matematica che la scoperta.
Quando abbiamo un rettangolo che ha base e altezza note e dobbiamo calcolarne l'area noi ne scopriamo l'area, essa è indipendente da noi, da come la calcoliamo e chiunque la calcola, se non sbaglia, trova lo stesso risultato. Quel triangolo ha quell'area, non possiamo farci niente, ha quell'area per noi, per le formiche e per gli alieni.
La soluzione di un problema (che esiste se è ben posto) noi la troviamo, la scopriamo, non la inventiamo.
Ma la matematica non progredisce solo per problemi ben posti, essa progredisce anche (e direi sopratutto) grazie a chi ha creato - inventato - nuove teorie, nuove branche della matematica. La teoria dei grafi, degli insiemi infiniti, e tutto il resto non ci sognami di chiamarle scoperte, ma sono creazione dei loro autori.
Quando c'è un problema ben posto i matematici si metto all'opera e arrivano tutti alla stessa soluzione, perchè la soluzione è una. Quando c'è un'esigenza più generale e bisogna rispodere a qualche necessità i matematici si metto all'opera e partoriscono teorie per cercare di soddisfarla. Si potrebbe semplificare dicendo che un conto è scoprire la soluzione e un conto è inventare il metodo risolutivo (anche se quest'ultima frase è un po' troppo semplificativa).
La matematica - per quanto ne so - non è solo soluzione di problemi ben posti per cui non è corretto dire che fare matematica è scoprire la solzione, anzi i più grandi matematici della storia sono inventori di teorie.
Quando abbiamo un rettangolo che ha base e altezza note e dobbiamo calcolarne l'area noi ne scopriamo l'area, essa è indipendente da noi, da come la calcoliamo e chiunque la calcola, se non sbaglia, trova lo stesso risultato. Quel triangolo ha quell'area, non possiamo farci niente, ha quell'area per noi, per le formiche e per gli alieni.
La soluzione di un problema (che esiste se è ben posto) noi la troviamo, la scopriamo, non la inventiamo.
Ma la matematica non progredisce solo per problemi ben posti, essa progredisce anche (e direi sopratutto) grazie a chi ha creato - inventato - nuove teorie, nuove branche della matematica. La teoria dei grafi, degli insiemi infiniti, e tutto il resto non ci sognami di chiamarle scoperte, ma sono creazione dei loro autori.
Quando c'è un problema ben posto i matematici si metto all'opera e arrivano tutti alla stessa soluzione, perchè la soluzione è una. Quando c'è un'esigenza più generale e bisogna rispodere a qualche necessità i matematici si metto all'opera e partoriscono teorie per cercare di soddisfarla. Si potrebbe semplificare dicendo che un conto è scoprire la soluzione e un conto è inventare il metodo risolutivo (anche se quest'ultima frase è un po' troppo semplificativa).
La matematica - per quanto ne so - non è solo soluzione di problemi ben posti per cui non è corretto dire che fare matematica è scoprire la solzione, anzi i più grandi matematici della storia sono inventori di teorie.
"remo":
[quote="Gugo82"][quote="remo"]ha ragione in un certo senso...
voler spiegare un assioma,sarebbe come voler spiegare il perchè della vita, in fondo!
noi comuni mortali non possiamo far altro che accettarli...ma badate: questa accettazione non è dogmatica come quella che può discendere dalle religione!
al fine dei conti,questi assiomi inspiegabili, producono calcoli e ragionamenti che trovano pieno riscontro nella realtà!
ed il bello è che sono completamente astratti! non esistono in natura...sono delle regolo fatte dall'uomo su misura, in base a quel che abbiamo attorno!
la pianta degli assiomi non esiste! siamo noi umani che li abbiamo creati a immagine e somiglianza di quello che osserviamo attorno a noi!
Dissento vivamente.
In natura non esiste alcunché di uguale ad una curva continua, ad esempio.[/quote]
Gugo...a volte mi sembra di parlare al vento...stiamo dicendo la stessa cosa!
la matematica descrive una curva tramite l'utilizzo di regole e formule...
la fisica prende tali deduzioni e le applica a problemi reali!
ovvio che mentre cammino per strada non vedo "curve" attorno a me, ma tali curve, descritte tramite il modello matematico, descrivono perfettamente l'evoluzione dei fenomeni che ci circondano nella vita quotidiana!
graficamente la posizione di un corpo che si muove con accellerazione costante, è descritta da una curva!
[/quote]In questi casi è l'uso dei verbi che fa la differenza.
Dire che la nostra Matematica "può essere usata per descrivere il mondo" è una cosa, dire che "calcoli e ragionamenti trovano pieno riscontro nella realtà" oppure che la Matematica è fatta ad "immagine e somiglianza di quello che osserviamo attorno a noi" è tutt'altro; mentre posso accettare una frase come la prima che ho virgolettato, non accetto il punto di vista delle altre due: gli oggetti della Matematica non si identificano con oggetti reali, né tutta la Matematica è derivata dalle nostre osservazioni del mondo.
Io l’ho capito diversamente (ma non sono un filosofo, quindi…). Secondo me Kant, nella Critica della ragione pura, non veste i panni del matematico né del fisico. Lui fa teoria della conoscenza, intesa come fenomeno umano. Io non colgo alcuna pretesa di capire la vera natura di spazio e tempo, nell’estetica trascendentale. Anzi. E’ forse la prima volta che qualcuno priva totalmente di una sua consistenza questo problema, tanto da individuare in essi le forme pure dell’intuizione sensibile. Kant, a parolacce, dice che spazio e tempo, come noi li intuiamo, stanno nella nostra testa, e nulla di diverso si può percepire, a livello di intuizione. Se ci pensiamo bene, vediamo che è proprio così. Credo che ben poche persone riescano a costruire un’immagine mentale di uno spazio diverso da quello euclideo. Tant’è vero che il passaggio da tre a più dimensioni ha richiesto di sostituire il punto geometrico (come lo intuiamo) con una n-upla di numeri, l’estensione a quegli spazi della distanza come conosciuta nelle dimensioni da 1 a tre, e poi si è andati avanti in modo astratto. Ripeto, non so chi è in grado di costruirsi un’immagine mentale di una sfera in $RR^7$. Insomma, l’estensione della geometria oltre i limiti di quella euclidea ha richiesto un’astrazione che non può più essere supportata da immagini mentali. E la geometria analitica è stata lo strumento principale. Ma è algebra.
Con il senno di poi possiamo dire, addirittura, che l’aver ricondotto la concezione umana di spazio e tempo a fenomeni strettamente mentali, Kant ha liberato la natura fisica di questi enti (ammesso che abbiano esistenza propria) da ogni vincolo. E’ stato forse il momento in cui si poteva cominciare a pensare che potevano essere come volevano, quindi anche molto diversi dalla nostra intuizione. Ma si poteva anche arrivare a dire che non abbiamo elementi per affermare che tali enti esistano davvero. Francamente non so neanche se, a distanza di 220 anni, abbiamo acquisito elementi ulteriori per riconoscere una natura fisica a tali enti, al di la del loro utile ruolo come strumenti di modellizzazione nella fisica. Nei modelli fisici spazio e tempo funzionano, ma funzionano anche le equazioni differenziali e le radici quadrate. Non so se si può attribuire ad una radice quadrata un’esistenza fisica propria. Ma qui sono forse OT, e comunque invoco il soccorso dei fisici.
P.S. quando dico spazio euclideo mi riferisco a quello a 3 dimensioni
Con il senno di poi possiamo dire, addirittura, che l’aver ricondotto la concezione umana di spazio e tempo a fenomeni strettamente mentali, Kant ha liberato la natura fisica di questi enti (ammesso che abbiano esistenza propria) da ogni vincolo. E’ stato forse il momento in cui si poteva cominciare a pensare che potevano essere come volevano, quindi anche molto diversi dalla nostra intuizione. Ma si poteva anche arrivare a dire che non abbiamo elementi per affermare che tali enti esistano davvero. Francamente non so neanche se, a distanza di 220 anni, abbiamo acquisito elementi ulteriori per riconoscere una natura fisica a tali enti, al di la del loro utile ruolo come strumenti di modellizzazione nella fisica. Nei modelli fisici spazio e tempo funzionano, ma funzionano anche le equazioni differenziali e le radici quadrate. Non so se si può attribuire ad una radice quadrata un’esistenza fisica propria. Ma qui sono forse OT, e comunque invoco il soccorso dei fisici.
P.S. quando dico spazio euclideo mi riferisco a quello a 3 dimensioni
"Sergio":
Il "nostro" di Kant era dato una volta per sempre. Oggi si è andati oltre, riconoscendo che i nostri "a priori" cambiano.
Per dirla in due parole, ai giudizi sintetici a priori di Kant sostituiamo modelli matematici creati, non scoperti, forme puramente astratte che adottiamo per interpretare e prevedere fenomeni reali, e che buttiamo via e sostituiamo con altri se e quando non funzionano più.
Non sono sicuro che sia una giusta contrapposizione tra la visione di Kant e l'approccio odierno. Intendo dire che anche l'adozione di forme astratte, motivata dall'utilità del momento e da fini specifici, quindi anche contingenti e passibili di modifiche, si appoggiano comunque sulle forme pure, sia nell'estetica sia nella logica trascendentale. Nella mia interpretazione di Kant il suo a-priori sta ad un livello più basso; in linguaggio moderno, credo che Kant l'avrebbe collocato a livello di firmware, se non hardware. Quello che indichi tu è già software.
Beh ti contraddici: allora socraticamente ti chiedo: "Cosa vuol dire vedere?" Che differenza c'è tra vedere una cosa e immaginarla ad esempio sotto l'effetto di qualche sostanza allucinogena? Sei sicuro che tutto ciò che dici di vedere non sia un'illusione?
Io sono convinto che la matematica non sia nè una scoperta nè un'invenzione, come qualsiasi cosa. Ogni convinzione od elemento di percezione umana devono essere inscritti nel linguaggio con cui vengono comunicati, nella persona specifica che li analizza o li trasmette. Niente è definibile in maniera assoluta.
Una casa non è definibile.
Perchè dipende da chi ne parla: un ricco che abita in un antico maniero francese o un povero che abita in un appartamentino di edilizia popolare.
Perchè dipende da quale genere di architettura domestica siamo abituati a vedere. Un romano penserà ad un villone con piscina e un newyorkese ad un enorme grattacielo.
eccetera eccetera eccetera.
Io penso che gli unici veri assiomi siano:
1) "Qualcosa esiste" (Da cui la necessità dell'esistente)
2) "Esiste il linguaggio che sto usando in questo momento" (Da cui l'autoreferenzialità dell'analisi del linguaggio)
3) "L'uomo esiste e interagisce con tutto ciò che esiste attraverso il linguaggio" (Da cui la scienza)
4) "Gli uomini fissano in maniera unica gli elementi del linguaggio identificando classi di percezioni e denotandole con parole e simboli"
I primi 3 sono, credo, ovvi. Il 4 richiede una spiegazione e per farla tornerò alla matematica propriamente detta.
Cos'è un triangolo? Un triangolo non è un poligono di 3 lati ecc... ma solo una parola che in qualche modo (non sappiamo come perchè deriva dal 3° assioma) associamo tutti ad una classe di interazioni tra l'uomo e l'esistente. Infatti possiamo vedere un triangolo e dire che è un triangolo, poi vedere un quadrato e dire che non è un triangolo ma se vediamo un traliccio dell'enel possiamo benissimo dire che è un insieme di triangoli adiacenti.
Quelli poi che consideriamo assiomi in matematica sono delle definizioni, nel senso che decidiamo che due rette parallele non si incontrano cioè prendiamo una percezione dell'esistente, quella che deriva dal fatto che la nostra esperienza del concetto di retta si limita a segmenti molto lunghi. Poi ci accorgiamo che due binari sono due segmenti molto più lunghi delle nostre linee sulla lavagna e appaiono intersecarsi all'orizzonte (il punto più lontano che riusciamo a vedere = più lontano di tutti gli altri punti = l'infinito) e diciamo che due rette parallele si incontrano all'infinito.
E tutto questo per dire: FUMA BELLO, FUMA SANO, FUMA SOLO PAKISTANO!
Io sono convinto che la matematica non sia nè una scoperta nè un'invenzione, come qualsiasi cosa. Ogni convinzione od elemento di percezione umana devono essere inscritti nel linguaggio con cui vengono comunicati, nella persona specifica che li analizza o li trasmette. Niente è definibile in maniera assoluta.
Una casa non è definibile.
Perchè dipende da chi ne parla: un ricco che abita in un antico maniero francese o un povero che abita in un appartamentino di edilizia popolare.
Perchè dipende da quale genere di architettura domestica siamo abituati a vedere. Un romano penserà ad un villone con piscina e un newyorkese ad un enorme grattacielo.
eccetera eccetera eccetera.
Io penso che gli unici veri assiomi siano:
1) "Qualcosa esiste" (Da cui la necessità dell'esistente)
2) "Esiste il linguaggio che sto usando in questo momento" (Da cui l'autoreferenzialità dell'analisi del linguaggio)
3) "L'uomo esiste e interagisce con tutto ciò che esiste attraverso il linguaggio" (Da cui la scienza)
4) "Gli uomini fissano in maniera unica gli elementi del linguaggio identificando classi di percezioni e denotandole con parole e simboli"
I primi 3 sono, credo, ovvi. Il 4 richiede una spiegazione e per farla tornerò alla matematica propriamente detta.
Cos'è un triangolo? Un triangolo non è un poligono di 3 lati ecc... ma solo una parola che in qualche modo (non sappiamo come perchè deriva dal 3° assioma) associamo tutti ad una classe di interazioni tra l'uomo e l'esistente. Infatti possiamo vedere un triangolo e dire che è un triangolo, poi vedere un quadrato e dire che non è un triangolo ma se vediamo un traliccio dell'enel possiamo benissimo dire che è un insieme di triangoli adiacenti.
Quelli poi che consideriamo assiomi in matematica sono delle definizioni, nel senso che decidiamo che due rette parallele non si incontrano cioè prendiamo una percezione dell'esistente, quella che deriva dal fatto che la nostra esperienza del concetto di retta si limita a segmenti molto lunghi. Poi ci accorgiamo che due binari sono due segmenti molto più lunghi delle nostre linee sulla lavagna e appaiono intersecarsi all'orizzonte (il punto più lontano che riusciamo a vedere = più lontano di tutti gli altri punti = l'infinito) e diciamo che due rette parallele si incontrano all'infinito.
E tutto questo per dire: FUMA BELLO, FUMA SANO, FUMA SOLO PAKISTANO!
no...per vederla intendo VEDERLA!quello che dici tu puoi capitarmi...sotto l'effetto di qualcosa però! 
In realtà quella curva tu la vedi e come... perchè se per vedere intendi creare una "immagine" in mente dell'oggetto (ed è difficile definirla altrimenti) che guardi allora questo fenomeno avviene nel tuo cervello come un puzzle in cui tanti pezzi precedenti vengono attaccati a formare il nuovo oggetto. E' per questo che quando incontriamo una nuova cosa, un nuovo gioco, un nuovo oggetto tentiamo istintivamente di ricondurlo o almeno paragonarlo ad oggetti già visti.
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