\(\mapsto\)
Posto qui una domanda sulle notazioni.
Il mio testo di analisi complessa, il Presilla, utilizza spesso la notazione \(f:(S,d)\mapsto (\Omega,\rho)\) per funzioni tra spazi metrici e \(f:S\mapsto\mathbb{C}\) per funzioni a valori complessi. Questa notazione differisce in qualcosa dal per me più usuale $f:S\to \mathbb{C}$?
Ho anche ipotizzato che possa entrarci qualcosa la monodromia delle funzioni prese in considerazione, perché si parla per esempio di unicità del limite, se esiste, $\lim_{x\to a}f(x)$ per \(f:(S,d)\mapsto (\Omega,\rho)\), che se $f$ fosse una funzione polidroma non sarebbe vera, o si definisce una serie come limiti della successione \(\sum_{k=0}^n f_k(x)\) mentre tale successione non sarebbe definita se \(f_k(x)\) non fosse un solo valore, ma non ne sono sicuro...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Il mio testo di analisi complessa, il Presilla, utilizza spesso la notazione \(f:(S,d)\mapsto (\Omega,\rho)\) per funzioni tra spazi metrici e \(f:S\mapsto\mathbb{C}\) per funzioni a valori complessi. Questa notazione differisce in qualcosa dal per me più usuale $f:S\to \mathbb{C}$?
Ho anche ipotizzato che possa entrarci qualcosa la monodromia delle funzioni prese in considerazione, perché si parla per esempio di unicità del limite, se esiste, $\lim_{x\to a}f(x)$ per \(f:(S,d)\mapsto (\Omega,\rho)\), che se $f$ fosse una funzione polidroma non sarebbe vera, o si definisce una serie come limiti della successione \(\sum_{k=0}^n f_k(x)\) mentre tale successione non sarebbe definita se \(f_k(x)\) non fosse un solo valore, ma non ne sono sicuro...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
"DavideGenova":
$\infty$ grazie! Quindi il Presilla, Elementi di analisi complessa, usa una notazione non-standard.
Era l'idea che volevo trasmettere col mio intervento (senza nulla togliere alla qualità del testo, di autori di testi ottimi ma dalle notazioni "esotiche" ce ne sono svariati), ma mi pare di capire che il mio non sia quel genere d'ironia che viene universalmente colto.
"DavideGenova":
se si scrive \(f:G\mapsto \mathbb{C}\) o \(f:G\to \mathbb{C}\), piuttosto che qualcosa come \(f:G\to \mathcal{P}(\mathbb{C})\), si intende una funzione monodroma, vero?
Partendo dal fatto che le funzioni polidrome costituiscono un concetto molto utile nella pratica ma sono un mero pleonasmo nella teoria, facciamo finta che non esistano (si potrebbe parlare di relazioni "multivoche totali a sinistra", ma in fin dei conti a che pro?). Una funzione è per definizione una relazione univoca, ergo una funzione cosiddetta monodroma. Così la notazione \( f : G \to \mathbb{C}\) in un contesto insiemistico o analitico indicherà sempre una funzione propriamente detta. Stesso dicasi per la notazione \( f : G \to \mathcal{P}(\mathbb{C})\) che è una funzione da \(G\) in \(\mathcal{P}(\mathbb{C})\), ma in questo caso può essere (ed è quello che si fa nella pratica) comodamente pensata come una funzione polidroma con dominio in \(G\) ed a valori in \(\mathbb{C}\), dove le immagini associate a ciascun elemento \( x \in G\) sono quelle contenute nel sottoinsieme \(f(x) \subseteq \mathbb{C}\).
$\infty$ grazie! Quindi il Presilla, Elementi di analisi complessa, usa una notazione non-standard. Cosa che non inficia minimamente la comprensibilità e l'alta qualità di questo testo chiarissimo ed esauriente -dimostra tutto ciò che non sia banale per chi abbia una base di "Analisi 2" anche minima come la mia, tranne la formula di Abel-Plana- che ho potuto studiare nella massima comodità, per esempio senza dover andare a ricercare continuamente chiarimenti fuori dal testo, come talvolta capita con testi che sottintendono molto.
No, perché per usare correttamente la freccia $\mapsto$ devi avere a sinistra un elemento del dominio e a destra la rispettiva immagine tramite $f$, questo seguendo le notazioni standard.
Ringrazio tutti per aver rinfrescato con nuovi interessanti apporti il thread.
Invece \(f:(X,d)\mapsto(X',d')\) è un'espressione giusta?
Invece \(f:(X,d)\mapsto(X',d')\) è un'espressione giusta?
Si è soliti usare $f: A \to B$ per indicare una funzione definita su $A$ e a valori in $B$ e si è soliti indicare con $x \mapsto f(x)$ l'azione che ha $f$ sul generico $x\in A$. Una scrittura tra quelle riportate all'inizio però è "sbagliata": $f : (X,d) \to (X',d')$ come funzione tra spazi metrici è una notazione sbagliata, o perlomeno non è corretta se si vuole intendere comunque una funzione $X\to Y$: secondo la teoria degli insiemi infatti una funzione $f$ denotata con $f : (X,d) \to (X',d')$ prende un elemento $x\in (X,d)$ e lo manda in un elemento $f(x)\in (X',d')$.
"onlyReferee":
Sì, sapevo anche io fosse una notazione stilistica più che alto ma a dire la verità poi ho incontrato anche chi mi ha detto (il mio relatore di tesi nella fattispecie) che $\mapsto$ serve ad indicare più specificatamente la legge di una determinata funzione e $\rightarrow$ invece si usa per specificare dominio e codominio al fine di "descrivere" la stessa...
Quindi, per capire meglio
$f:A\rightarrow B$
$\ \x \mapsto y=x^2$
giusto?
"onlyReferee":
Sì, sapevo anche io fosse una notazione stilistica più che alto ma a dire la verità poi ho incontrato anche chi mi ha detto (il mio relatore di tesi nella fattispecie) che $\mapsto$ serve ad indicare più specificatamente la legge di una determinata funzione e $\rightarrow$ invece si usa per specificare dominio e codominio al fine di "descrivere" la stessa...
Certo, questa è la convenzione più diffusa, ma "certi autori vogliono solo veder bruciare il mondo"
Sì, sapevo anche io fosse una notazione stilistica più che alto ma a dire la verità poi ho incontrato anche chi mi ha detto (il mio relatore di tesi nella fattispecie) che $\mapsto$ serve ad indicare più specificatamente la legge di una determinata funzione e $\rightarrow$ invece si usa per specificare dominio e codominio al fine di "descrivere" la stessa...
Gentilissimo e velocissimo! 
Naturalmente, comunque, se si scrive \(f:G\mapsto \mathbb{C}\) o \(f:G\to \mathbb{C}\), piuttosto che qualcosa come \(f:G\to \mathcal{P}(\mathbb{C})\), si intende una funzione monodroma, vero? Mi pongo il problema perché il mio testo parla per cinque capitoli di funzioni tout court senza averle preventivamente definite e poi, al sesto capitolo, dice, senza aver introdotto il concetto, che \(\log\) è una funzione polidroma, al che mi sono andato a vedere se le cose precedentemente dimostrate valessero per funzioni polidrome o no, ma mi sembra proprio che si faccia la tacita assunzione che le funzioni per cui si è definita continuità, limiti, derivabilità e varie proprietà correlate siano monodrome.
$\infty$ grazie ancora!!!
Naturalmente, comunque, se si scrive \(f:G\mapsto \mathbb{C}\) o \(f:G\to \mathbb{C}\), piuttosto che qualcosa come \(f:G\to \mathcal{P}(\mathbb{C})\), si intende una funzione monodroma, vero? Mi pongo il problema perché il mio testo parla per cinque capitoli di funzioni tout court senza averle preventivamente definite e poi, al sesto capitolo, dice, senza aver introdotto il concetto, che \(\log\) è una funzione polidroma, al che mi sono andato a vedere se le cose precedentemente dimostrate valessero per funzioni polidrome o no, ma mi sembra proprio che si faccia la tacita assunzione che le funzioni per cui si è definita continuità, limiti, derivabilità e varie proprietà correlate siano monodrome.$\infty$ grazie ancora!!!
Penso sia solo una sua preferenza stilistica, sostituiscila tranquillamente con la freccia standard.
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