La classifica generale.
Problemino.
Date N classifiche assegnare una classifica generale equa.
Dopo averci pensato su un po' sono arrivato a questa definizione di equità (che ho chiamato PRINCIPIO DI ESTENSIONE):
Sia F una funzione che associa a N classifiche una classifica generale. Sia T la classifica ottenuta applicando F alle N classifiche [T=F(c1,c2,...,cn)] Diciamo che F è equa se riordinando le ci secondo T si ha F(T(c1),T(c2),...T(cn))=T.
Mi spiego:
In pratica "estendo" il valore della classifica generale e suppongo che il primo di tale classifica batta regolarmente tutti gli altri, il secondo batta regolarmente i successivi ecc...
Ora riordino le classifiche parziali secondo tale principio e riapplico F; se ottengo ancora T allora F è equa, altrimenti no.
Es.
Una sola classifica
2,1,3 (cioè il giocatore 2 è arrivato primo, il giocatore 1 secondo e il giocatore 3 terzo)
Sia F fatta così
F:="La classifica generale è la classifica parziale al contrario"
Allora
F(2,1,3)=(3,1,2)=T
Ora "estendo" il valore di T e affermo che, se T è "veritiera" la gara avrebbe dovuto dare il risultato
3,1,2
Riapplico F ottenendo T'=2,1,3
Poichè T<>T' --> F non è equa.
Si dimostra subito che le uniche F eque per casi di una sola classifica parziale sono l'identità [Caso ovvio] e il caso "tutti a parimerito".
Ora ecco i miei problemi (sempre che sia riuscito a chiarire la parte precedente):
1) La mia definizione di equità mi pare soddisfacente, ma viene applicata alla funzione valutatrice, mentre sarebbe più utile avere una definizione in grado di dirmi,date le classifiche parziali c1,...cn e quella generale T, se T è equa o no, indipendentemente da come sia stata calcolata.
2) esiste una F equa per il caso generale? (oltre "tutti a parimerito" che è sempre equa).
3)nel caso
c1=1,2
c2=3,4
indipendentemente da quanto detto sopra, qual'è [quali sono] la classifica generale equa [le classifiche genarali eque]?
P.S.
Il fatto che "tutti a parimerito" sia sempre equa è uno dei motivi che mi convincono che la definizione di equità data sia buona. Mi sembra equo [e soprattutto bello] che, al di là dei risultati parziali ottenuti alla fine si possa assegnare un "6 politico" oppure fare altre valutazioni secondo le quali, in fondo, tutti hanno lo stesso valore. (sto mischiando etica e matematica...mmm...sarà un bene?)
ciao,Marcellus.
Date N classifiche assegnare una classifica generale equa.
Dopo averci pensato su un po' sono arrivato a questa definizione di equità (che ho chiamato PRINCIPIO DI ESTENSIONE):
Sia F una funzione che associa a N classifiche una classifica generale. Sia T la classifica ottenuta applicando F alle N classifiche [T=F(c1,c2,...,cn)] Diciamo che F è equa se riordinando le ci secondo T si ha F(T(c1),T(c2),...T(cn))=T.
Mi spiego:
In pratica "estendo" il valore della classifica generale e suppongo che il primo di tale classifica batta regolarmente tutti gli altri, il secondo batta regolarmente i successivi ecc...
Ora riordino le classifiche parziali secondo tale principio e riapplico F; se ottengo ancora T allora F è equa, altrimenti no.
Es.
Una sola classifica
2,1,3 (cioè il giocatore 2 è arrivato primo, il giocatore 1 secondo e il giocatore 3 terzo)
Sia F fatta così
F:="La classifica generale è la classifica parziale al contrario"
Allora
F(2,1,3)=(3,1,2)=T
Ora "estendo" il valore di T e affermo che, se T è "veritiera" la gara avrebbe dovuto dare il risultato
3,1,2
Riapplico F ottenendo T'=2,1,3
Poichè T<>T' --> F non è equa.
Si dimostra subito che le uniche F eque per casi di una sola classifica parziale sono l'identità [Caso ovvio] e il caso "tutti a parimerito".
Ora ecco i miei problemi (sempre che sia riuscito a chiarire la parte precedente):
1) La mia definizione di equità mi pare soddisfacente, ma viene applicata alla funzione valutatrice, mentre sarebbe più utile avere una definizione in grado di dirmi,date le classifiche parziali c1,...cn e quella generale T, se T è equa o no, indipendentemente da come sia stata calcolata.
2) esiste una F equa per il caso generale? (oltre "tutti a parimerito" che è sempre equa).
3)nel caso
c1=1,2
c2=3,4
indipendentemente da quanto detto sopra, qual'è [quali sono] la classifica generale equa [le classifiche genarali eque]?
P.S.
Il fatto che "tutti a parimerito" sia sempre equa è uno dei motivi che mi convincono che la definizione di equità data sia buona. Mi sembra equo [e soprattutto bello] che, al di là dei risultati parziali ottenuti alla fine si possa assegnare un "6 politico" oppure fare altre valutazioni secondo le quali, in fondo, tutti hanno lo stesso valore. (sto mischiando etica e matematica...mmm...sarà un bene?)
ciao,Marcellus.
Risposte
Poichè questo post l'ho avviato anche in una newsletter, nel caso a qualcuno interessasse, riporto lo stato della discussione:
****************
impossibile, per il teorema di Arrow. (salvo naturalmente il caso "tutti a pari merito")
Esempio pratico: tre classifiche (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2).
****************
[L'esempio] Mostra solo che una eventuale funzione equa dovrà associare alle classifiche (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) una parità. [e non è nemmeno necessario!!]
Peraltro, la mia definizione di equità è assolutamente provvisoria e sono disponibilissimo a cambiarla mentre il teorema di Arrow, se non ricordo male, fa riferimento a premesse molto più strette di quelle che interessano a me.
******************
Mi accorgo ora [scusate] che in realtà il mio secondo quesito
--
2) esiste una F equa per il caso generale? (oltre "tutti a parimerito" che è sempre equa).
--
è assolutamente ozioso. Infatti data una qualsiasi funzione F consideriamo la funzione 'corretta' F1 così definita
F1=F dove F è equa (secondo il principio di estensione) Altrimenti F1='tutti a pari merito'.
In questo modo otteniamo facilmente delle funzioni eque (non banali)
Per esempio il sistema del medagliere delle olimpiadi(vince chi ha il maggior numero di primi posti,a pari merito si considerano i secondi posti ecc..) corretto è equo.
Resta il mio problema principe:
Date le classifiche c1,c2,..,cn e la classifica generale T, come si stabilisce se esiste una funzione F equa tale che F(c1,...,cn)=T?
Cioè esiste una definizione di equità equivalente al principio di estensione (o simile) ma applicato a T anziché a F?
************************
Scusate la prolissità ma vorrei fare ancora un paio di precisazioni
La funzione F deve essere simmetrica
F(c1,c2)=F(c2,c1)
La funzione F non può dipendere dal giocatore (cioè permutando i nomi dei giocatori bisogna ottenere una medesima permutazione dei nomi nella classifica generale)
Allora,per le classifiche 'separate'
C1=(1,2)
C2=(3,4)
si possono fare le seguenti considerazioni:
1 non può precedere (seguire) 3 altrimenti in F(c2,c1) 1 seguirebbe
(precederebbe) 3 --> 1,3 sono a pari merito
Stesso ragionamento per 2,4 --> 2,4 sono a pari merito
Restano solo 3 possibilità (le [] indicano i parimerito):
I) [1,2,3,4] --> Equa
II)[1,3],[2,4]
III)[2,4],[1,3]
La III non è equa infatti applicando il principio di estensione si ha:
C1'=(2,1)
C2'=(4,3)
Poiché {C1',C2'} è equivalente (a meno di cambi di nome) a {C1,C2} F(c1',c2')=[1,3],[2,4]<> [2,4],[1,3]
La II è equa (applicazione del metodo del medagliere corretto).
****************
impossibile, per il teorema di Arrow. (salvo naturalmente il caso "tutti a pari merito")
Esempio pratico: tre classifiche (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2).
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[L'esempio] Mostra solo che una eventuale funzione equa dovrà associare alle classifiche (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) una parità. [e non è nemmeno necessario!!]
Peraltro, la mia definizione di equità è assolutamente provvisoria e sono disponibilissimo a cambiarla mentre il teorema di Arrow, se non ricordo male, fa riferimento a premesse molto più strette di quelle che interessano a me.
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Mi accorgo ora [scusate] che in realtà il mio secondo quesito
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2) esiste una F equa per il caso generale? (oltre "tutti a parimerito" che è sempre equa).
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è assolutamente ozioso. Infatti data una qualsiasi funzione F consideriamo la funzione 'corretta' F1 così definita
F1=F dove F è equa (secondo il principio di estensione) Altrimenti F1='tutti a pari merito'.
In questo modo otteniamo facilmente delle funzioni eque (non banali)
Per esempio il sistema del medagliere delle olimpiadi(vince chi ha il maggior numero di primi posti,a pari merito si considerano i secondi posti ecc..) corretto è equo.
Resta il mio problema principe:
Date le classifiche c1,c2,..,cn e la classifica generale T, come si stabilisce se esiste una funzione F equa tale che F(c1,...,cn)=T?
Cioè esiste una definizione di equità equivalente al principio di estensione (o simile) ma applicato a T anziché a F?
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Scusate la prolissità ma vorrei fare ancora un paio di precisazioni
La funzione F deve essere simmetrica
F(c1,c2)=F(c2,c1)
La funzione F non può dipendere dal giocatore (cioè permutando i nomi dei giocatori bisogna ottenere una medesima permutazione dei nomi nella classifica generale)
Allora,per le classifiche 'separate'
C1=(1,2)
C2=(3,4)
si possono fare le seguenti considerazioni:
1 non può precedere (seguire) 3 altrimenti in F(c2,c1) 1 seguirebbe
(precederebbe) 3 --> 1,3 sono a pari merito
Stesso ragionamento per 2,4 --> 2,4 sono a pari merito
Restano solo 3 possibilità (le [] indicano i parimerito):
I) [1,2,3,4] --> Equa
II)[1,3],[2,4]
III)[2,4],[1,3]
La III non è equa infatti applicando il principio di estensione si ha:
C1'=(2,1)
C2'=(4,3)
Poiché {C1',C2'} è equivalente (a meno di cambi di nome) a {C1,C2} F(c1',c2')=[1,3],[2,4]<> [2,4],[1,3]
La II è equa (applicazione del metodo del medagliere corretto).
Il problema è interessante. Non so se esiste qualcosa del genere nella letteratura. In linea di principio ritengo che una gara è interessante proprio perché non è equa. "La frase vinca il migliore" significa semplicemente che chi vince è da ritenersi il migliore. Viceverse se si sa a priori chi è il migliore è inutile giocare.
Se vado allo stadio è perché voglio vedere la mia squadra del cuore vincere, anche se gioca contro il Milan.
Antonio Bernardo
Se vado allo stadio è perché voglio vedere la mia squadra del cuore vincere, anche se gioca contro il Milan.
Antonio Bernardo
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