Isomorfismo tra i numeri naturali e i numeri interi
Buongiorno a tutti 
. Vorrei porre un mio dubbio: In maniera molto naturale tendiamo nella nostra mente a stabilire una corrispondenza, un isomorfismo tra i numeri naturali (che sono i primi numeri visti da piccoli nei nostri primi anni di scuola!!) e i numeri interi, precisamente con i numeri interi positivi. Come potrebbe essere una giustificazione, una "dimostrazione" di questo isomorfismo?
Io avrei pensato di prendere gli elementi di Z come classi di equivalenza (del tipo [(a,b)]) e precisamente le classi del tipo [(a,0)] che corrisponderebbe ad a - 0 ossia a, con a numero naturale...Fatto ciò, come potrei proseguire per la dimostrazione?
Grazie mille a voi.
Saluti
. Vorrei porre un mio dubbio: In maniera molto naturale tendiamo nella nostra mente a stabilire una corrispondenza, un isomorfismo tra i numeri naturali (che sono i primi numeri visti da piccoli nei nostri primi anni di scuola!!) e i numeri interi, precisamente con i numeri interi positivi. Come potrebbe essere una giustificazione, una "dimostrazione" di questo isomorfismo?Io avrei pensato di prendere gli elementi di Z come classi di equivalenza (del tipo [(a,b)]) e precisamente le classi del tipo [(a,0)] che corrisponderebbe ad a - 0 ossia a, con a numero naturale...Fatto ciò, come potrei proseguire per la dimostrazione?
Grazie mille a voi
.Saluti
Risposte
Ah ok allora è un problema che si risolve nella teoria degli insiemi, quando costruisci $\mathbb Z$ a partire da $\mathbb N$. È molto facile, basta che dai una definizione a $+$ e $-$. Per esempio, chiami + l'insieme vuoto $\emptyset$ e chiami - l'insieme $\{\emptyset\}$ (insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto). Definisci poi $\mathbb Z$ come l'insieme delle coppie ordinate della forma $(+,n)$ o della forma $(-,n)$ con $n\in\mathbb N$. Termini estendendo nel modo giusto la somma e il prodotto.
.Io non intendevo l'esistenza di un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e TUTTO l'insieme dei numeri interi ma solo con i numeri interi positivi...(per intenderci la corrispondenza che noi, con tanta naturalezza, siamo abituati a porre tra, per esempio, 7 e +7.
Una struttura su $\mathbb N$ c'è, ed è quella di monoide, $\mathbb N$ è un monoide rispetto alla somma e anche rispetto al prodotto, così come $\mathbb Z$. È quindi vero che c'è un isomorfismo di monoidi tra $\mathbb N$ e $\mathbb Z$? A intuito mi sembra di no, ma non ho provato.
Infatti, non parlavo di alcun segno - nella dimostrazione (quanto da me scritto del segno - riguardava il "significato"della definizione della classe di equivalenza . Nella dimostrazione fatta da me il segno - non compare o meglio non compare come nel significato di opposto, che ovviamente è una definizione che nasce con i numeri interi e non dai naturali!
(quanto da me scritto del segno - riguardava il "significato"della definizione della classe di equivalenza . Nella dimostrazione fatta da me il segno - non compare o meglio non compare come nel significato di opposto, che ovviamente è una definizione che nasce con i numeri interi e non dai naturali!
"gi88":
Da vederli come insiemi o meglio l'insieme dei numeri naturali come sottoinsieme di quello degli interi positivi...Riflettendoci su, sto cercando di costruire un isomorfismo che va dal primo insieme al secondo e verificando che sia iniettiva, suriettiva, quindi biettiva e che sia un isomorfismo ovvero controllare che conserva le operazioni
E come potrebbe essere possibile se le operazioni in questione sono le usuali $+$ e $\cdot$? Tanto per dirne una: l'opposto in $ZZ$ c'è, in $NN$ no.
Ci sei,ma forse è più corretto dire che la struttura algebrica $(NN,+,*)$,con le usuali operazioni di somma e prodotto,
può essere "immersa"
(nel senso che si riesce ad individuare un'applicazione iniettiva del primo nel secondo,
che ad esempio è quella da te ben pensata..e se vuoi verificarlo rigorosamente fà pure )
nell'anello commutativo $(ZZ,+_(ZZ),*_(ZZ))$;
ciò comporta che $NN$,con quelle operazioni,
può esser messo in corrispondenza biiettiva col sottoinsieme di $ZZ$ corrispondente all'insieme immagine di quell'applicazione $f$:
ciò giustifica l'abuso di linguaggio $n=+n$ $AA n in NN$,che è un modo meno formale di scrivere $n < - >[n,0]$
(corrispondenza biunivoca che avviene appunto tramite $f$..) $AA n inNN$,
e tutto ciò che,accettandola una volta che ci s'è messi d'accordo sul suo significato,
ne consegue in termini di semplificazione delle operazioni elementari sugli insiemi in questione..
Saluti dal web.
può essere "immersa"
(nel senso che si riesce ad individuare un'applicazione iniettiva del primo nel secondo,
che ad esempio è quella da te ben pensata..e se vuoi verificarlo rigorosamente fà pure
)nell'anello commutativo $(ZZ,+_(ZZ),*_(ZZ))$;
ciò comporta che $NN$,con quelle operazioni,
può esser messo in corrispondenza biiettiva col sottoinsieme di $ZZ$ corrispondente all'insieme immagine di quell'applicazione $f$:
ciò giustifica l'abuso di linguaggio $n=+n$ $AA n in NN$,che è un modo meno formale di scrivere $n < - >[n,0]$
(corrispondenza biunivoca che avviene appunto tramite $f$..) $AA n inNN$,
e tutto ciò che,accettandola una volta che ci s'è messi d'accordo sul suo significato,
ne consegue in termini di semplificazione delle operazioni elementari sugli insiemi in questione..
Saluti dal web.
Da vederli come insiemi o meglio l'insieme dei numeri naturali come sottoinsieme di quello degli interi positivi...Riflettendoci su, sto cercando di costruire un isomorfismo che va dal primo insieme al secondo e verificando che sia iniettiva, suriettiva, quindi biettiva e che sia un isomorfismo ovvero controllare che conserva le operazioni .Spero di stare sulla giusta strada!!!
.Spero di stare sulla giusta strada!!!
Isomorfismo di cosa? Campi? Anelli? Gruppi?
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