Intuito e ragione: come si produce la matematica?

[mysterium]

caro luca, riprendo la nostra discussione sull'intuito in questo topic apposito (vedete il topic olomorfia)

sono pienamente d'accordo con te quando dici che l'intuito può trarmi in inganno, ma... dato ke hanno tentato per secoli di dimostrare il quinto postulato di euclide, se avessimo atteso tale dimostrazione, se euclide non avesse dato... retta al suo intuito, al giorno d'oggi nn potremmo misurare neppure i terreni.
certo, il postulato sulle parallele è in realtà una parte della definizione di retta, ma la scelta dell'ente matematico da "inventare" è stata indubbiamente dettata da esigenze pratiche, intuitive.

altro problema: una volta finita la dimostrazione, ki mi dà la certezza assoluta di non aver commesso errori? anke controllando e ricontrollando tutto dieci volte? anke john nash potrebbe non accorgersi degli errori della mia dimostrazione, perkè è un uomo. ci accorgiamo dell'errore matematico solo quando ne vediamo le conseguenze: gli incidenti causati dall'applicazione della teoria matematica (o + banalmente, del conto) sbagliata. ad esempio, la stabilità di un circuito ke va calcolata a priori: se sbagliamo il calcolo, lo stereo esplode lo stesso.

a rigore, anche il concetto di correttezza dovrebbe essere codificato in modo razionale come la logica aristotelica, e ti confesso di averlo spesso visto come relativo agli assiomi assunti, come il principio di non contraddizione dello stesso aristotele che distrugge il fatto che "essere e non essere sono la stessa cosa" proposto da parmenide. nessuno dei due ha ragione o torto, possiamo postulare il sistema logico che vogliamo assumendo o negando la non contraddizione.
però, procedendo così, andiamo a ritroso all'infinito.
tornando alla matematica aristotelica, ho notato che tutte le dimostrazioni hanno tutti e soli i seguenti ingredienti:
- il principio di non contraddizione;
- gli assiomi che, in realtà, sono le definizioni degli insiemi e degli enti matematici.
le premesse sono i secondi, le conseguenze sono i primi.

ke ne dici?
a presto, mys

[mysterium]

in effetti la geometria di riemann mi profuma di compattificazione di alexandrov (me ne ha parlato fioravante patrone, vedi topic "una domandina infinita"). quanti orizzonti che si aprono in matematica! la amo per questo, anke se raccontandomi del colpo che godel ha dato a frege e ad hilbert, francamente, sei tu a dare un colpo a me, e mi priva la matematica di un po' del fascino ke su di me ha sempre avuto.
godel ha dimostrato che la matematica è degradata rispetto alla logica! ahiahiahi!

[pjcohen]

"mysterium":
altro problema: una volta finita la dimostrazione, ki mi dà la certezza assoluta di non aver commesso errori? anke controllando e ricontrollando tutto dieci volte? anke john nash potrebbe non accorgersi degli errori della mia dimostrazione, perkè è un uomo.

Quando una dimostrazione è veramente una dimostrazione è una serie di passi logici talmente banali e elementari che non è possibile sbagliare. Personalmente la utilizzo proprio per controllare il mio intuito. Procedo così ( come penso molti di voi). Prima visualizzo intuitivamente il problema, e viaggio un po' con la fantasia. Poi mi metto a costruire formalmente la prova, con un dettaglio crescente fino alla perfezione. Spesso il tentativo di costruire la dimostrazione formale rivela un errore, magari sottile, dell'intuizione, e allora comincio da capo.

Se uno scrivesse una dimostrazione in modo veramente formale, basterebbe inserirla in un calcolatore, con un semplice programmino, e chiedergli: è giusta?

[Luca.Lussardi]

Nel caso della Geometria euclidea è stato proprio l'intuito a portare "fuori strada" il nostro padre Euclide. Quello che infatti Euclide erroneamente pensava era che la Geometria del mondo che ci circonda fosse quella euclidea, e quindi piatta, ovvero quella in cui vale il postulato delle parallele. Ma il suo intuito si sbagliava, poichè è oggi noto che la Geometria euclidea funziona bene solo su piccole scale. Su grandi scale (confrontabili con il raggio della terra) la Geometria ellittica invece funziona meglio di quella euclidea. E dobbiamo accettare le geometrie non euclidee poichè costruite correttamente su modelli concreti.

Andando invece nella Teoria della dimostrazione, la dimostrazione logico-deduttiva è l'unico strumento che la Matematica ha a disposizione per convalidare una proprietà. E' chiaro che gli errori ci possono essere, però la dimostrazione rimane l'unica possibile strada per avere la "certezza" di un risultato. Certezza che è sempre relativa al sistema assiomatico scelto come fondamento della Matematica. Oggi la Teoria assiomatica degli insiemi costituisce il fondamento dell'intera Matematica; tutta la Matematica si può costruire su 8 assiomi che elencano proprietà più o meno "ovvie" degli insiemi. Purtroppo non è possibile dimostrare che la Teoria degli insiemi è esente da contraddizioni, benchè la logica lo è. Si dimostra che la logica formale del primo ordine (il calcolo dei predicati) è completa e coerente (principio di non contraddizione incluso). Il problema è che la Matematica non è riconducibile alla logica, questo è stato il duro colpo alla scuola di Frege-Hilbert dato da Godel.

Il meglio che quindi la Matematica può fare è di sperare che la Teoria degli insiemi sia coerente, e dedurre in modo relativamente ineccepibile i Teoremi. Un Teorema è una stringa di simboli logici logicamente riconducibile agli assiomi della Teoria assiomatica, quindi il concetto di correttezza di una dimostrazione di per sè è definito. Quella che non è definita è il "grado di correttezza umana"; ma la Matematica prescinde dalla correttezza umana. Essa c'è, sta lì, sta a noi scoprirla. E' vero che a volte sbagliamo, e speriamo solo di non aver fatto troppi errori. Ma del resto in tutte le discipline c'è questa "incognita" della fallibilità del ragionamento umano, e così c'è anche nella Matematica. Quello che possiamo fare è cercare di essere il più precisi possibile quando dimostriamo qualcosa, il minimo errore non è tollerato.