Interessante teorema

[Stellinelm]

Ciao , proprio ora ho letto un interessante teorema di Chebyshev (ex postulato di Bertrand) , successivamente dimostrato anche da Ramanujan e da Paul Erdös ;
tale teorema dimostra che , per $x>3$ , dato un naturale $x$ tra l'intervallo numerico che va da $x$ a $2x-2$ c'è almeno un numero primo , in tale senso volevo chiedervi :

1) se prendessi due naturali $x$ ed $x+1$
il primo che è presente tra $x$ e $2x-2$
ed il primo che è presente tra $x+1$e $2(x+1)-2$
è lo stesso ? (in teoria potrebbe anche essere lo stesso)

2) Affermando che i primi presenti in questi due diversi intervalli numerici sono distinti
si commette un errore ?

Ve lo chiedo perchè non ha capito bene la cosa

[Zero87]

"PadreBishop":@Zero87: ok che non ci si fa molto, ma è un "classico" teorema di esistenza, e come tale non dà riscontri pratici tangibili, ma di sicuro fornisce stime al tempo di computazione massimo per trovare l' $n+1$ -esimo numero primo avendone trovati fino ad ora $n$.

Ok per l'upper bound, ma il margine d'errore che fornisce è del 100%...

Non ho detto che non sia interessante, ho solo detto che non aiuta molto dal punto di vista pratico.

[PadreBishop]

@Zero87: ok che non ci si fa molto, ma è un "classico" teorema di esistenza, e come tale non dà riscontri pratici tangibili, ma di sicuro fornisce stime al tempo di computazione massimo per trovare l' $n+1$ -esimo numero primo avendone trovati fino ad ora $n$.

[Zero87]

"Stellinelm":p.s. : chiedo anticipatamente scusa se non uso il simbolo del dollaro per scrivere
"congruo ad 1 modulo 4, e l'altro è congruo a −1 modulo 4" perchè non so come si scrive cosi come non so cosa significa .

http://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_modulare
Non ci aggiungo 2 parole solo perché non ho molto tempo ora .

In LaTeX ho scoperto da poco che con il comando \equiv tra simboli di dollaro si ottiene $\equiv$.

Va beh, ci aggiungo 2 parole .
- Congruo a 1 modulo 4 vuol dire che è un numero della forma $4k+1$ (k intero!) cioè, rifacendomi ai moduli e alle congruenze, vuol dire che quel numero, se diviso per 4, dà resto 1.
- Congruo a -1 modulo 4 vuol dire che è un numero della forma $4h-1$ (h intero) cioè, rifacendomi ai moduli e alle congruenze, vuol dire che quel numero, se diviso per 4, dà resto -1.

Ora, congruo a -1 modulo 4 vuol dire anche congruo a 3 modulo 4: basta vedere che $4h-1= 4(h-1+1)-1= 4(h-1)+4-1=4(h-1)+3$, quindi dal fatto che $h-1$ è intero, segue che $4(h-1)$ è un multiplo di 4 e ci si rifà a definizioni simili.

... Uhm, non so se quelle due parole che ho detto aiutano, però c'è anche la pagina di wikipedia.

[Stellinelm]

grazie

Chiedevo perchè magari dal metodo dimostrativo utilizzato si poteva evincere qualche informazioni in più .
C'è scritto anche che Erdős dimostrò anche che esistono sempre due numeri primi $p$ e $q$ con
$x < p, q < 2x$ per ogni $x > 6$ .
Inoltre, uno di essi è congruo ad 1 modulo 4, e l'altro è congruo a −1 modulo 4.
http://it.wikipedia.org/wiki/Postulato_di_Bertrand

p.s. : chiedo anticipatamente scusa se non uso il simbolo del dollaro per scrivere
"congruo ad 1 modulo 4, e l'altro è congruo a −1 modulo 4" perchè non so come si scrive cosi come non so cosa significa .

[Zero87]

"Stellinelm":tale teorema dimostra che dato un naturale $x$ tra l'intervallo numerico che va da $x$ a $x-2$ c'è almeno un nmero primo

...dato $x>3$, tra $x$ e $2x-2$ esiste almeno un primo, ricordavo

Ora, come tutti i teoremi di "esistenza", cioè quelli in cui si dice "date certe ipotesi, esiste..." vuol dire che ne esiste uno (o "almeno" uno, come in questo caso), ma non mi dice qual è e dove sta.

Esempio.
Tra $8$ e $14$ il teorema ci assicura che esiste almeno un primo.
Se, poi, andiamo a controllare, ci sono $11$ e $13$ che sono primi. In generale "esiste almeno un..." vuol dire che ce n'è almeno uno (ma poi ce ne possono essere altri).

E' un teorema teoricamente interessante ma praticamente inutile dato che non ci dice né dov'è né quanti ce ne sono, né altro ma solo che "ce n'è almeno uno": lo si può interpretare al massimo come una specie di densità, ma non è che serva a chissà quanto.

"Stellinelm":1) se prendessi due naturali $x$ ed $x+1$
il primo che è presente tra $x$ e $2x-2$
ed il primo che è presente tra $x+1$e $2(x+1)$
è lo stesso ? (in teoria potrebbe anche essere lo stesso)

Ti sei risposta da te, è lo stesso? Forse, ma anche no! (Nel secondo caso avresti dovuto scrivere $2(x+1)-2$, anche se non cambia molto).

"Stellinelm":2) Affermando che i primi presenti in questi due diversi intervalli numerici sono distinti
si commette un errore ?

Si, forse, ma anche no...
Come detto "ne esiste almeno uno", poi finish, stop, basta... Può essere lo stesso contemplato in un altro intervallo come può esserne uno diverso come possono essere più di uno come... ecc... ecc...

"Fioravante Patrone":Frego gugo82 sul tempo:
un'interessante

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[Stellinelm]

"Fioravante Patrone":Frego gugo82 sul tempo:
un'interessante

Quanto al teorema, quanto tu enunci è banalissimamente falso. Ovvio che c'è un "errore di stampa".
Ma fare attenzione a quello che si scrive, magari rileggere, no? Troppa fatica?

mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa...
perchè è falso ?

[Fioravante Patrone1]

Frego gugo82 sul tempo:
un'interessante

Quanto al teorema, quanto tu enunci è banalissimamente falso. Ovvio che c'è un "errore di stampa".
Ma fare attenzione a quello che si scrive, magari rileggere, no? Troppa fatica?