Infinito e statistica
Chiedo la vostra attenzione per due problemi di tipo matematico che, purtroppo, le mie conoscenze non permettono di superare.
1 Domanda)
Sappiamo per definizione che k/∞ = 0 per qualsiasi k appartenente al campo dei numeri reali.
Sappiamo anche che lim x-->∞ k/x tende a 0, senza essere zero stesso. Ovvero é definito in un suo intorno.
Supponiamo ora di avere un contenitore in cui abbia cento palline numerate (per esempio con i numeri naturali da 1 a 100), e che io voglia pescare un numero a caso.
La possibilità di pescare per esempio il numero 5, qualora facessi una sola estrazione, sarebbe naturalmente di 1/100.
Supponiamo ora che il contenitore abbia pareti indefinitamente elastiche, e che quindi si possa allargare all'infinito. Al suo interno allora avrà un numero infinito di palline per definizione e quindi, supponendo che siano sempre tutti numeri naturali, la mia possibilità di pescare il numero 5 sarà 1/∞ = 0, ovvero non avrò alcuna possibilità di pescare il numero 5. Tuttavia un numero verrà sempre pescato, di conseguenza ognuno di questi avrà una, seppur piccola, possibilità di essere pescato. Ma questo va contro l'affermazione che k/∞ = 0.
Come possiamo spiegare questo?
La spiegazione che mi sono dato è valida solo al limite, ovvero quando x --> ∞ la possibilità non è zero, ma è un numero nel suo intorno. Tuttavia per definizione del problema le palline sono infinite, ovvero per ogni pallina contata ce ne sarà sempre un'altra.
2 Domanda)
Supponiamo di avere il contenitore infinito di prima, in cui ci siano infinite palline.
Ora, se potessi effettuare non una, ma infinite estrazioni, quante possibilità avrei di pescare il numero 5?
A me sembrerebbe un limite indeterminato e non sono riuscito a risolverlo ne sono pratico di statistica.
Questa domanda mi interessa particolarmente perchè può essere adattata a tutti i campi. Per esempio, se esistessero infiniti alberi, quante possibilità avrei che 2 alberi siano perfettamente uguali? Oppure che lo siano tutti?
Oppure ancora, se per esempio esistessero infinite realtà parallele alla nostra, ci serebbe sicuramente una in cui sarò un contadino, una un avvocato, etc.?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
1 Domanda)
Sappiamo per definizione che k/∞ = 0 per qualsiasi k appartenente al campo dei numeri reali.
Sappiamo anche che lim x-->∞ k/x tende a 0, senza essere zero stesso. Ovvero é definito in un suo intorno.
Supponiamo ora di avere un contenitore in cui abbia cento palline numerate (per esempio con i numeri naturali da 1 a 100), e che io voglia pescare un numero a caso.
La possibilità di pescare per esempio il numero 5, qualora facessi una sola estrazione, sarebbe naturalmente di 1/100.
Supponiamo ora che il contenitore abbia pareti indefinitamente elastiche, e che quindi si possa allargare all'infinito. Al suo interno allora avrà un numero infinito di palline per definizione e quindi, supponendo che siano sempre tutti numeri naturali, la mia possibilità di pescare il numero 5 sarà 1/∞ = 0, ovvero non avrò alcuna possibilità di pescare il numero 5. Tuttavia un numero verrà sempre pescato, di conseguenza ognuno di questi avrà una, seppur piccola, possibilità di essere pescato. Ma questo va contro l'affermazione che k/∞ = 0.
Come possiamo spiegare questo?
La spiegazione che mi sono dato è valida solo al limite, ovvero quando x --> ∞ la possibilità non è zero, ma è un numero nel suo intorno. Tuttavia per definizione del problema le palline sono infinite, ovvero per ogni pallina contata ce ne sarà sempre un'altra.
2 Domanda)
Supponiamo di avere il contenitore infinito di prima, in cui ci siano infinite palline.
Ora, se potessi effettuare non una, ma infinite estrazioni, quante possibilità avrei di pescare il numero 5?
A me sembrerebbe un limite indeterminato e non sono riuscito a risolverlo ne sono pratico di statistica.
Questa domanda mi interessa particolarmente perchè può essere adattata a tutti i campi. Per esempio, se esistessero infiniti alberi, quante possibilità avrei che 2 alberi siano perfettamente uguali? Oppure che lo siano tutti?
Oppure ancora, se per esempio esistessero infinite realtà parallele alla nostra, ci serebbe sicuramente una in cui sarò un contadino, una un avvocato, etc.?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
boh io non ci capisco più niente ...Lasciamo che intervenga qualcuno di competenza ^_^. Però sono curioso di scoprire la conclusione.
PS: ma Prometeo, ovvero il diretto interessato non interviene più???
PS: ma Prometeo, ovvero il diretto interessato non interviene più???
Esteta, se sei rivolto a me, io intendevo dire che k/(infinito) non vale 0, e allo stesso tempo non ha un valore diverso da zero: semplicemente non "avrebbe senso"(metto tra virgolette e uso il condizionale per sottolineare il supporto di matematici esperti 
). Così, lo stesso varrebbe per k/0.
). Così, lo stesso varrebbe per k/0.
emmm come mai $k/oo$ è diverso da zero, e $k/0$ diverso da $oo$?O_o
Ragazzi, scusate, ma a me pare di aver letto che, a rigor di termine, non è vero che k/(infinito) valga 0, così come k/0 non vale infinito (entrambe per ogni valore di k, zero escluso mi pare). Fin dove mi sbaglio?
Di conseguenza, si potrebbe ragionare solo con gli intorni, perchè logicamente sarebbe assurdo dire (uso il condizionale perchè non ne sono sicuro) i due enunciati.
Aggiungendo altre, probabilmente false, congetture, mi viene in mente, molto semplicemente, la condizione di accettabilità di alcune equazioni, dove vengono esclusi, senza discutervi se non per escluderli categoricamente (scusate lo scarso rigore nel linguaggio), i valori dell'incognita per i quali il denominatore si annulla.
Di conseguenza, si potrebbe ragionare solo con gli intorni, perchè logicamente sarebbe assurdo dire (uso il condizionale perchè non ne sono sicuro) i due enunciati.
Aggiungendo altre, probabilmente false, congetture, mi viene in mente, molto semplicemente, la condizione di accettabilità di alcune equazioni, dove vengono esclusi, senza discutervi se non per escluderli categoricamente (scusate lo scarso rigore nel linguaggio), i valori dell'incognita per i quali il denominatore si annulla.
"Prometeo":
Supponiamo ora che il contenitore abbia pareti indefinitamente elastiche, e che quindi si possa allargare all'infinito. Al suo interno allora avrà un numero infinito di palline per definizione e quindi, supponendo che siano sempre tutti numeri naturali, la mia possibilità di pescare il numero 5 sarà 1/∞ = 0, ovvero non avrò alcuna possibilità di pescare il numero 5
Scusami un secondo... Ma se hai uno spazio fisico infinito, ciò non è mica causa sufficiente perché che anche lo spazio fondamentale lo sia di conseguenza.
Infatti il numero di palline rimane sempre lo stesso
. E la probabilità di estrarla la stessa.Se però decidi di inserire infinite palline (stile opera futuristica di Cecchini
). Allora il discorso cambia ed è come lavorare in uno spazio fondamentale numerabile ma infinito.. Tuttavia un numero verrà sempre pescato, di conseguenza ognuno di questi avrà una, seppur piccola, possibilità di essere pescato. Ma questo va contro l'affermazione che k/∞ = 0.
Come possiamo spiegare questo?
Credo perché questa regola possa valere solo nel caso in cui si parla di spazi di probabilità continui e non discreti e numerabili, come nel caso che hai presentato. Se sei in uno spazio di probabilità continuo la probabilità P(X=x) corrisponde all'area di un segmento. E l'area di un qualsiasi segmento è sempre nulla....Quindi ci siamo capiti ^_^
La spiegazione che mi sono dato è valida solo al limite, ovvero quando x --> ∞ la possibilità non è zero, ma è un numero nel suo intorno. Tuttavia per definizione del problema le palline sono infinite, ovvero per ogni pallina contata ce ne sarà sempre un'altra.
esatto solo nel suo intorno perché siamo nel discreto
2 Domanda)
Supponiamo di avere il contenitore infinito di prima, in cui ci siano infinite palline.
Ora, se potessi effettuare non una, ma infinite estrazioni, quante possibilità avrei di pescare il numero 5?
A me sembrerebbe un limite indeterminato e non sono riuscito a risolverlo ne sono pratico di statistica.
Se le estrazioni sono infinite e con reinserimento subentra il teorema del limite centrale...La distribuzione diviene una normale con valore atteso np e varianza np(1-p). Per calcolarti la probabilità devi calcolarti la funzione di ripartizione di tale distribuzione una volta standardizzata.
Dove "n" rappresenta il numero di estrazioni , e "p" la probabilità di ottenere un singolo successo.
Questa domanda mi interessa particolarmente perchè può essere adattata a tutti i campi. Per esempio, se esistessero infiniti alberi, quante possibilità avrei che 2 alberi siano perfettamente uguali? Oppure che lo siano tutti?
Oppure ancora, se per esempio esistessero infinite realtà parallele alla nostra, ci serebbe sicuramente una in cui sarò un contadino, una un avvocato, etc.?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Credo che basti vedere l'applicazione del teorema del limite centrale applicato per la variabile casuale binomiale, in questo caso con x= numero di successi=1 .
C'è però un problema veramente serio: il teorema del limite centrale può essere applicato solo se si hanno dei numeri...Quindi non puoi applicare la purezza dell'infinito. Se la si potesse applicare la Statistica sarebbe una scienza astratta e invece è un'applicazione della matematica nel concreto. I modelli che si suppongono non si possono purtroppo applicare nella realtà.
L'unica soluzione a cui sto pensando è applicare un "metodo stocastico" e puramente intuitivo: siccome non puoi contare il numero di estrazioni che compi, il numero di alberi e di realtà parallele e via dicendo....Dovresti assegnare una probabilità numerica di un successp che tenda allo zero relativa a ciascuna realtà parallela, o a ciascuna pallina ...Ad esempio: 0.00000000000000000000000000000000000000000000000005 . E un numero di estrazioni infinite tipo 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 .
Non trovo altre soluzioni, purtroppo statistica non è matematica . Se utilizzi un ragionamento troppo matematico ti viene un valore atteso e varianza indeterminati$E(X)=0*oo=V(X)$. Quindi i casi sono 2:
- o il tuo problema è irrisolvibile e la sua soluzione diviene imperfetta e approssimata...Cioè composta da una percentuale di menzogna (è il problema in genere delle scienze che si occupano di ciò che è reale).
- o la soluzione si trova insita nel teorema del limite centrale, che contiene altri misteri.
PICCOLO OT: se ci pensi la statistica è decisamente inferiore alla matematica proprio perché è limitata e ti crea una prigione che ti tiene legato alla realtà.Le verità sono tante quante sono i modelli modelli logico-matematici che si possono creare, la realtà una e una sola.
ok adesso senza coimplicare troppo l ecose,la probabilita' infinitesima non c'entra niente?
Un saluto a tutti! 
Lascierei perdere universi inflazionati e buchi neri,visto anche l'attuale situazione politico-economica.Limitiamoci quindi alla questione matematica,indipendentemente dalla sua realizzazione fisica.Come già è stato detto probabilità nulla =impossibilità solo se lo spazio degli eventi è finito.Altrimenti va bene anche parlare di prob. zero ma definendo la prob. come il limite della frequenza di un dato evento su un numero di prove tendente ad infinito.Cosi,la prob di estrarre il n.5 dai primi cento interi è 1/100,ma ciò non vuol dire che in cento prove uscirà una sola volta il 5 e neppure che in 100.000 prove debba uscire il 5 esattamente 1000 volte.Supponiamo ora di voler stabilire empiricamente la prob. di pescare il numero 5 dall'infinito spazio degli eventi N,e supponiamo di essere incredibilmente fortunati e pescarlo al primo tentativo.Ciò ci autorizza a dire che la prob. è forse 1 ? No,bisognerà proseguire con altre prove e allora vedremo la prob stimata ridursi a 1/2,1/3,...1/1000 ecc.Ovvio che essendo stati incredibilmente fortunati al primo tentativo 0 non lo raggiugeremo mai esattamente ma possiamo estrapolarlo all'infinito.Più realisticamente il 5 non lo troveremo al primo tentativo nè al centomiliardesimo e quindi ipotizzeremo molto prima che la prob.è nulla.Il fatto che un numero però lo peschiamo sempre,pur avendo comunque ogni numero prob.nulla,non è paradossale visto che è un fatto a posteriori e quindi equivale a dire che la prob. di pescare un intero in N è 1;cosa ovvia.Ma questo vuol dire allora che pescando infinite volte in N la prob. di trovare il n. 5 è 1 ? No! L'infinito non è un numero e quindi non basta un simbolo a definirlo;ci sono infiniti e infiniti.Possiamo rispondere solo che la prob. è compresa tra 0 e 1;azzarderei anche un razionale tra 0 e 1.Dipende dalla modalità con cui si realizzano le pescate.Non è difficile pensare ad una macchina di Turing che fornisce una prob. ad es di 2/3.Infine,se come plausibile, gli alberi sono in modalità finite allora tra infiniti alberi ne troveremo 2 uguali,viceversa la prob. di estrarre 0,5 dall'intervallo[0,1] è nulla anche per infinite pescate.Ovviamente supponendole di una infinità numerabile,cosa ragionevole ,ammesso che si possa usare un tale termine quando è in ballo l'infinito
Lascierei perdere universi inflazionati e buchi neri,visto anche l'attuale situazione politico-economica.Limitiamoci quindi alla questione matematica,indipendentemente dalla sua realizzazione fisica.Come già è stato detto probabilità nulla =impossibilità solo se lo spazio degli eventi è finito.Altrimenti va bene anche parlare di prob. zero ma definendo la prob. come il limite della frequenza di un dato evento su un numero di prove tendente ad infinito.Cosi,la prob di estrarre il n.5 dai primi cento interi è 1/100,ma ciò non vuol dire che in cento prove uscirà una sola volta il 5 e neppure che in 100.000 prove debba uscire il 5 esattamente 1000 volte.Supponiamo ora di voler stabilire empiricamente la prob. di pescare il numero 5 dall'infinito spazio degli eventi N,e supponiamo di essere incredibilmente fortunati e pescarlo al primo tentativo.Ciò ci autorizza a dire che la prob. è forse 1 ? No,bisognerà proseguire con altre prove e allora vedremo la prob stimata ridursi a 1/2,1/3,...1/1000 ecc.Ovvio che essendo stati incredibilmente fortunati al primo tentativo 0 non lo raggiugeremo mai esattamente ma possiamo estrapolarlo all'infinito.Più realisticamente il 5 non lo troveremo al primo tentativo nè al centomiliardesimo e quindi ipotizzeremo molto prima che la prob.è nulla.Il fatto che un numero però lo peschiamo sempre,pur avendo comunque ogni numero prob.nulla,non è paradossale visto che è un fatto a posteriori e quindi equivale a dire che la prob. di pescare un intero in N è 1;cosa ovvia.Ma questo vuol dire allora che pescando infinite volte in N la prob. di trovare il n. 5 è 1 ? No! L'infinito non è un numero e quindi non basta un simbolo a definirlo;ci sono infiniti e infiniti.Possiamo rispondere solo che la prob. è compresa tra 0 e 1;azzarderei anche un razionale tra 0 e 1.Dipende dalla modalità con cui si realizzano le pescate.Non è difficile pensare ad una macchina di Turing che fornisce una prob. ad es di 2/3.Infine,se come plausibile, gli alberi sono in modalità finite allora tra infiniti alberi ne troveremo 2 uguali,viceversa la prob. di estrarre 0,5 dall'intervallo[0,1] è nulla anche per infinite pescate.Ovviamente supponendole di una infinità numerabile,cosa ragionevole ,ammesso che si possa usare un tale termine quando è in ballo l'infinito
Ciao
mi é venuto di pensare al tuo contenitore elastico come ad un che di "inflazionario", per cui l'assunzione che possa dilatarsi infinitamente mi pare piuttosto un'illazione. Nella versione "inflazionaria", il tuo contenitore continua ad essere finito. Mi chiedo poi perché sia "per definizione" che debbano aumentare anche il numero degli enti contenuti. All'inizio avrei pensato che il medesimo contenitore ampliandosi continuasse a contenere le biglie o che altro che conteneva prima di espandersi. Poi ho pensato che l'incremento del contenuto possa essere pensato in due modi 1) come moltiplicazione del set originario di elementi 2) come incremento del set originario. Nel primo caso avresti innumerevoli copie e dunque la stessa proprietà di estrazione che avevi in origine. Il secondo caso é quello che individui tu. Io rimango dell'idea che considerando il contenitore sempre finito, per quanto grande la probabilità di estrazione di un numero sia infinitesima ma sarà sempre diversa da zero. Una cosa interessante in proposito sarebbe la possibilità di stimare in termini probabilistici la dimensione del contenitore a seconda dei numeri che si estraggono; tanto é più grande il contenitore tanto maggiore la probabilità che nell'estrazione esitino numeri grandi, probabilità comunque piccola e probabilmente di tipo poissoniano. Che non sia il mio un paralogismo?
C'è poi il caso del contenitore inflazionario con il set originario di elementi. Anche in questo caso, per ragioni pratiche (forse), la probabilità di estrarre un elemento diventa infinitesima. Forse in questo caso diventa decisamente zero.
Credo, infine, ma lo dico così magari chi ne sa di più ci pensa meglio e ci dice qualcosa, insomma credo che il tuo sacco elastico con un contenuto discontinuo, potrebbe essere assimilato al corpo nero, e la distribuzione di frequenza delle estrazioni, in qualche modo alla distribuzione d'intensità di emissione per frequenza del corpo nero. Se si potesse mostrare l'analogia del tuo sistema con il corpo nero, avresti a disposizione la distribuzione di Boltzman, o di Fermi a seconda del tipo di elementi del sistema, meglio di come questi aumentino, o rimangano gli stessi.
Ciao
mi é venuto di pensare al tuo contenitore elastico come ad un che di "inflazionario", per cui l'assunzione che possa dilatarsi infinitamente mi pare piuttosto un'illazione. Nella versione "inflazionaria", il tuo contenitore continua ad essere finito. Mi chiedo poi perché sia "per definizione" che debbano aumentare anche il numero degli enti contenuti. All'inizio avrei pensato che il medesimo contenitore ampliandosi continuasse a contenere le biglie o che altro che conteneva prima di espandersi. Poi ho pensato che l'incremento del contenuto possa essere pensato in due modi 1) come moltiplicazione del set originario di elementi 2) come incremento del set originario. Nel primo caso avresti innumerevoli copie e dunque la stessa proprietà di estrazione che avevi in origine. Il secondo caso é quello che individui tu. Io rimango dell'idea che considerando il contenitore sempre finito, per quanto grande la probabilità di estrazione di un numero sia infinitesima ma sarà sempre diversa da zero. Una cosa interessante in proposito sarebbe la possibilità di stimare in termini probabilistici la dimensione del contenitore a seconda dei numeri che si estraggono; tanto é più grande il contenitore tanto maggiore la probabilità che nell'estrazione esitino numeri grandi, probabilità comunque piccola e probabilmente di tipo poissoniano. Che non sia il mio un paralogismo?
C'è poi il caso del contenitore inflazionario con il set originario di elementi. Anche in questo caso, per ragioni pratiche (forse), la probabilità di estrarre un elemento diventa infinitesima. Forse in questo caso diventa decisamente zero.
Credo, infine, ma lo dico così magari chi ne sa di più ci pensa meglio e ci dice qualcosa, insomma credo che il tuo sacco elastico con un contenuto discontinuo, potrebbe essere assimilato al corpo nero, e la distribuzione di frequenza delle estrazioni, in qualche modo alla distribuzione d'intensità di emissione per frequenza del corpo nero. Se si potesse mostrare l'analogia del tuo sistema con il corpo nero, avresti a disposizione la distribuzione di Boltzman, o di Fermi a seconda del tipo di elementi del sistema, meglio di come questi aumentino, o rimangano gli stessi.
Ciao
credo che analogamente alla divisione per zero la divisione per infinito non esista in quanto infinito non è un estremo superiore dei reali proprio perche' l'estremo non c'è .credo che quindi possa andar bene una semplice probabilita' infinitesima dP da associare a ciascuna pallina ,in modo che integrando da -infinito a + infinito il dP,sia 1 la probabilita' di pescare la pallina numero n.Dato che la probabilita' deve essere uguale per tutte le palline sinceramente non so assolutamente come definire il dP e non so neanche se sia possibile e dato che mi sta venendo il dubbio di aver detto delle cretinate mi appello a qualcuno qui per spiegarmi bene la cosa
"Chevtchenko":
[quote="Lord K"]... a parte che infinito non è un numero e la sua definizione è un limite, quindi sempre un qualcosa molto grande contenuto in un intorno...
A me pare che il problema non sia ben posto. Ripeto che l'infinito non è un numero e non può essere trattato come tale. Posso al massimo determinare cosa accadrebbe se detto n il numero di esperimenti facessi tendere n all'infinito. (Non pensate dica la stessa cosa di quanto sopra, il punto di vista è sostanzialmente diverso!!!)
Una possibilità divisa per la cardinalità degli elementi in [0,1] (che è alef zero per la cronaca)
Sicuro che queste affermazioni siano corrette?
[/quote]Cosa non ti convince?
"Prometeo":A questa domada è stata data una corretta risposta, mi pare, nel penultimo post. Devo tuttavia aggiungere che possibilità e probabilità non sono sinonimi, come si è creduto nel passato, i loro significati si differenziano. La questione sta molto a monte ed è argomento della filosofia della conoscenza. Per non dilungarmi mi limito a discutere qualche esempio. Supponiamo di disporre di un dado di tipo tradizionale ben costruito con cui iniziare a giocare con un avversario. I due si accordano e concordano, assieme all'arbitro di gioco, sulla bontà del dado e su altri dettagli pratici che sono:
2 Domanda)
Supponiamo di avere il contenitore infinito di prima, in cui ci siano infinite palline.
Ora, se potessi effettuare non una, ma infinite estrazioni, quante possibilità avrei di pescare il numero 5?
A me sembrerebbe un limite indeterminato e non sono riuscito a risolverlo ne sono pratico di statistica.
Questa domanda mi interessa particolarmente perchè può essere adattata a tutti i campi. Per esempio, se esistessero infiniti alberi, quante possibilità avrei che 2 alberi siano perfettamente uguali? Oppure che lo siano tutti?
Oppure ancora, se per esempio esistessero infinite realtà parallele alla nostra, ci serebbe sicuramente una in cui sarò un contadino, una un avvocato, etc.?
.
1) dopo ogni lancio il dado deve poggiare perfettamente su una delle sue facce e non, per esempio, in parte contro la parete della stanza e su un qualsiasi oggetto che lo inclini,
2) il dado delve rimanere intatto,
3) i segni indicanti sulle facce non devono alterasi o sbiadirsi nel corso delle giocate,
4) il lancio è valido se la lettura del risultato avviene, ad opera dei due giocatori e dell'arbitro, entro uno stabilito tempo, sicchè, se dopo il lancio, non si trova e/o non si legge il dado entro il tempo stabilito, la serie delle partite deve essere interrotta e il lancio annullato.
5) un arbitro del gioco, scelto con gradimento dei due giocatori, deve valutare il verificarsi o meno di una o più tra le precedenti situazioni ed è irrevocabilmente autorizzato a dichiarare valido o nullo ogni lancio.
Supponiamo che in un certo lancio del dado (a sei facce e sei valori da 1 a 6) appaia stranamente il valore "7" (sette), cioè un evento non previsto nella precedente casistica dei casi anomali, cosa fare? Deve essere si o no valido il lancio? Infatti, se il gioco consiste che, per ogni coppia di lanci (uno per giocatore), vince chi ottiene il numero più grande, il lancio potrebbe anche non essere annullato dal momento che è, nonostante tutto, decidibile il vincitore, tuttavia il perdente impugnerebbe la validità del lancio indipendentemente dall'eventuale decisione dell'arbitro di convalidarlo. Come dargli torto?
Questo esempio cita un'evento assurdo, si tratta invece di un evento possibile seppure improbabile perchè un dado mal costruito (nel senso che uno dei numeri è fuori norma) ovvero che un buontempone tra gli spettatori potrebbe essere riuscito ad infilare questo dado nel bel mezzo della serie di lanci, ecc.; se i giocatori e l'arbitro fossero stati molto più lungimiranti avrebbero potuto prevedere ed inserire, in qualche forma simili strane eventualità nell'elenco fatto sopra. In tal caso si che il sistema "partita" sarebbe stato, come dire, chiuso e stranezze similari sarebbero state "impossibili" e non soltanto improbabili.
"Lord K":
... a parte che infinito non è un numero e la sua definizione è un limite, quindi sempre un qualcosa molto grande contenuto in un intorno...
A me pare che il problema non sia ben posto. Ripeto che l'infinito non è un numero e non può essere trattato come tale. Posso al massimo determinare cosa accadrebbe se detto n il numero di esperimenti facessi tendere n all'infinito. (Non pensate dica la stessa cosa di quanto sopra, il punto di vista è sostanzialmente diverso!!!)
Una possibilità divisa per la cardinalità degli elementi in [0,1] (che è alef zero per la cronaca)
Sicuro che queste affermazioni siano corrette?
Per tentare di dare un altro esempio prova a vedere il seguente link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hell
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hell
Hai ragione non è alef zero ma alef uno... e poi alef (con qualsivoglia numero vicino) è un modo per definire un numero cardinale che determina il numero di elementi di un insieme infinito. non con un assoluto, ma riferito all'insieme dei naturali... in ogni caso è un simbolo che denota l'infinità di elementi.
Parlando in maniera formale si finirebbe per perdersi in diverse definizioni aventi a che fare con integrali e spazi particolari ove si può definire la probabilità e quant'altro, il punto è che il mio intervento non voleva essere troppo formale, ma far intuire che la problematica è mal posta.
Il mio modo di parlare quindi non cerca una spiegazione diretta ma solo intuitiva.
Parlando in maniera formale si finirebbe per perdersi in diverse definizioni aventi a che fare con integrali e spazi particolari ove si può definire la probabilità e quant'altro, il punto è che il mio intervento non voleva essere troppo formale, ma far intuire che la problematica è mal posta.
Il mio modo di parlare quindi non cerca una spiegazione diretta ma solo intuitiva.
Mi spiace, ma non riesco proprio a farmi convinto della tua spiegazione.
Innanzitutto credo che ci sia una sostanziale differenza tra un'infinità numerabile e il continuo. Che io sappia (e qui mi si perdonino imprecisioni e mi si correggano eventuali errori) nel caso continuo si parla di distribuzione di probabilità. Ovvero ho una certa P(x), detta densità di probabilità, che da sola non vuol dire niente; essa si interpreta dicendo che "P(x)dx rappresenta la probabilità che la variabile assuma valori tra x e x+dx" (anche se immagino che ci sia un modo matematicamente migliore per definirla). In pratica quindi la cosa acquista un senso considerando un intervallo e quindi facendo un integrale.
Riallacciandomi a quanto detto prima, questo esempio che riporti non mi sembra il più appropriato. A parte questo, peccherò di presunzione ma mi sa che hai preso una grossa cantonata al riguardo: l'intervallo [0,1] non è un insieme numerabile (e quindi la sua cardinalità è tutt'altro che aleph zero). Tra l'altro vorrei capire cosa vuol dire per te (e ti assicuro che non lo dico per sfottere) la scrittura $n/N$, dove $N=$aleph zero, visto che
Per sottolineare la differenza tra i due casi (numerabile e continuo) vorrei notare che in casi numerabili di non equiprobabilità si possono tranquillamente trovare situazioni in cui la probabilità di estrazione di un singolo numero sia non nulla. Ad esempio se dico che la probabilità di estrarre il numero naturale $n$ vale $A/n^2$, con $A = 6//pi^2$, non ho alcun problema ad affermare che la probabilità di estrarre il numero 2 vale $A/4$! Tuttavia $sum_{n=1}^\inftyA/n^2=1$. Un ragionamento simile mi pare non si possa ripetere nel caso continuo
Chissà che non si tratti semplicemente di questo.
Aspetto lumi, risposte e correzioni
Innanzitutto credo che ci sia una sostanziale differenza tra un'infinità numerabile e il continuo. Che io sappia (e qui mi si perdonino imprecisioni e mi si correggano eventuali errori) nel caso continuo si parla di distribuzione di probabilità. Ovvero ho una certa P(x), detta densità di probabilità, che da sola non vuol dire niente; essa si interpreta dicendo che "P(x)dx rappresenta la probabilità che la variabile assuma valori tra x e x+dx" (anche se immagino che ci sia un modo matematicamente migliore per definirla). In pratica quindi la cosa acquista un senso considerando un intervallo e quindi facendo un integrale.
"Lord K":
Analogamente a quanto chiesto posso riproporre il seguente: sia [0,1] l'intervallo dei reali compresi tra 0 e 1, pesco a caso un numero, che probabilità ho che questo sia 0,5? Come detto giustamente la risposta è zero! Una possibilità divisa per la cardinalità degli elementi in [0,1] (che è alef zero per la cronaca) ma se scelgo volta per volta un numero nuovo la probabilità è la stessa solo che è $n/alefzero$ se faccio tendere all'infinito n ho che il limite è 1! Ovvero se il numero di esperimenti (estrazioni) tende all'infinito la probabilità di ottenere 0,5 è 1!
Riallacciandomi a quanto detto prima, questo esempio che riporti non mi sembra il più appropriato. A parte questo, peccherò di presunzione ma mi sa che hai preso una grossa cantonata al riguardo: l'intervallo [0,1] non è un insieme numerabile (e quindi la sua cardinalità è tutt'altro che aleph zero). Tra l'altro vorrei capire cosa vuol dire per te (e ti assicuro che non lo dico per sfottere) la scrittura $n/N$, dove $N=$aleph zero, visto che
"Lord K":
l'infinito non è un numero e non può essere trattato come tale
Per sottolineare la differenza tra i due casi (numerabile e continuo) vorrei notare che in casi numerabili di non equiprobabilità si possono tranquillamente trovare situazioni in cui la probabilità di estrazione di un singolo numero sia non nulla. Ad esempio se dico che la probabilità di estrarre il numero naturale $n$ vale $A/n^2$, con $A = 6//pi^2$, non ho alcun problema ad affermare che la probabilità di estrarre il numero 2 vale $A/4$! Tuttavia $sum_{n=1}^\inftyA/n^2=1$. Un ragionamento simile mi pare non si possa ripetere nel caso continuo
"Lord K":
A me pare che il problema non sia ben posto.
Chissà che non si tratti semplicemente di questo.
Aspetto lumi, risposte e correzioni
"Prometeo":
Chiedo la vostra attenzione per due problemi di tipo matematico che, purtroppo, le mie conoscenze non permettono di superare.
1 Domanda)
Sappiamo per definizione che k/∞ = 0 per qualsiasi k appartenente al campo dei numeri reali.
Sappiamo anche che lim x-->∞ k/x tende a 0, senza essere zero stesso. Ovvero é definito in un suo intorno.
Supponiamo ora di avere un contenitore in cui abbia cento palline numerate (per esempio con i numeri naturali da 1 a 100), e che io voglia pescare un numero a caso.
La possibilità di pescare per esempio il numero 5, qualora facessi una sola estrazione, sarebbe naturalmente di 1/100.
Supponiamo ora che il contenitore abbia pareti indefinitamente elastiche, e che quindi si possa allargare all'infinito. Al suo interno allora avrà un numero infinito di palline per definizione e quindi, supponendo che siano sempre tutti numeri naturali, la mia possibilità di pescare il numero 5 sarà 1/∞ = 0, ovvero non avrò alcuna possibilità di pescare il numero 5. Tuttavia un numero verrà sempre pescato, di conseguenza ognuno di questi avrà una, seppur piccola, possibilità di essere pescato. Ma questo va contro l'affermazione che k/∞ = 0.
Come possiamo spiegare questo?
La spiegazione è derivata direttamente dal fatto che probabilità zero non è l'impossibilità dell'evento. Viene assunta zero l'impossibilità solo nel caso in cui si abbia a che fare con variabili aleatorie con spazio degli eventi finito. Nel caso di variabili aleatorie continue la definizione non è attuabile proprio a causa dell'esempio sopra.
La spiegazione che mi sono dato è valida solo al limite, ovvero quando x --> ∞ la possibilità non è zero, ma è un numero nel suo intorno. Tuttavia per definizione del problema le palline sono infinite, ovvero per ogni pallina contata ce ne sarà sempre un'altra.
... a parte che infinito non è un numero e la sua definizione è un limite, quindi sempre un qualcosa molto grande contenuto in un intorno...
2 Domanda)
Supponiamo di avere il contenitore infinito di prima, in cui ci siano infinite palline.
Ora, se potessi effettuare non una, ma infinite estrazioni, quante possibilità avrei di pescare il numero 5?
A me sembrerebbe un limite indeterminato e non sono riuscito a risolverlo ne sono pratico di statistica.
Questa domanda mi interessa particolarmente perchè può essere adattata a tutti i campi. Per esempio, se esistessero infiniti alberi, quante possibilità avrei che 2 alberi siano perfettamente uguali? Oppure che lo siano tutti?
Oppure ancora, se per esempio esistessero infinite realtà parallele alla nostra, ci serebbe sicuramente una in cui sarò un contadino, una un avvocato, etc.?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
A me pare che il problema non sia ben posto. Ripeto che l'infinito non è un numero e non può essere trattato come tale. Posso al massimo determinare cosa accadrebbe se detto n il numero di esperimenti facessi tendere n all'infinito. (Non pensate dica la stessa cosa di quanto sopra, il punto di vista è sostanzialmente diverso!!!)
Analogamente a quanto chiesto posso riproporre il seguente: sia [0,1] l'intervallo dei reali compresi tra 0 e 1, pesco a caso un numero, che probabilità ho che questo sia 0,5? Come detto giustamente la risposta è zero! Una possibilità divisa per la cardinalità degli elementi in [0,1] (che è alef zero per la cronaca) ma se scelgo volta per volta un numero nuovo la probabilità è la stessa solo che è $n/alefzero$ se faccio tendere all'infinito n ho che il limite è 1! Ovvero se il numero di esperimenti (estrazioni) tende all'infinito la probabilità di ottenere 0,5 è 1!
Spero di essere stato un poco chiaro!
per il problema n.1: ho paura che la teoria della probabilita' non sia adatta ad esprimere laprobabilita' di questo tipo di eventi (infiniti eventi semplici tutti equiprobabili).
cmq, si e' parlato di qualcosa di analogo in un post tempo fa, con un intervento chiaro di Sergio ed altri.
prova a cercare su universita'...
cmq, si e' parlato di qualcosa di analogo in un post tempo fa, con un intervento chiaro di Sergio ed altri.
prova a cercare su universita'...
Il problema è sicuramente molto interessante... neanch'io, come voi, ho le conoscenze adatte per affrontarlo, però vorrei condividere un paio di osservazioni:
- domanda 1) qui mi sono posto il quesito "qual è la probabilità di estrarre un numero maggiore di 2?"; essendo l'evento opposto "estraggo 1 oppure estraggo 2", ed essendo, secondo le considerazioni (forse sarebbe meglio chiamarle in qualche altro modo ) fatte, la probabilità di tale evento pari a 0, si deve dedurre che la risposta al quesito è 1. Ma questo quesito lo si può porre sostituendo a 2 un qualunque numero intero positivo, quindi alla fine dovrei essere sicuro di "estrarre un numero maggiore di un qualsiasi numero naturale"!
- domanda 2) supponiamo di star parlando di infinità numerabili; qui si potrebbero fare le seguenti considerazioni: supponiamo di avere un'urna con $n$ palline; vogliamo sapere qual è la probabilità di estrarre una certa pallina almeno una volta in $n$ lanci. Facendo due conti (e sperando di non averli sbagliati!!) si trova che tale probabilità è $p_1 = 1-(1-1/n)^n$. A questo punto si potrebbe pensare di rispondere alla domanda di Prometeo facendo un bel limite, trovando così la probabilità $1-1/e$. In tutto ciò, infatti, si ha un'infinità numerabile di palline con un'infinità numerabile di estrazioni. Tuttavia, tornando alla nostra urna con $n$ palline, ci si può chiedere qual è la probabilità di estrarre almeno una volta una data pallina in $2n$ estrazioni; procedendo come prima si troverebbe il valore $p_2= 1-(1-1/n)^(2n)$, da cui passando al limite $1-1/e^2$ per la risposta finale. Anche qui ottengo un'infinità numerabile di palline e una di estrazioni. Non ci vuole molto, a questo punto, a capire che con questo ragionamento si trova $1-1/e^k$, con $k$ intero positivo.
Come anticipato, questa non vuole essere (e non è affatto) una risposta ai quesiti di Prometeo, semmai aumenta i dubbi! Ovviamente da qualche parte (e spero SOLO da qualche parte) è stata scritta una fesseria, visti i risultati trovati. Spero che intervenga qualcuno a fare lumi!
Nota: in tutte le considerazioni fatte sottintendo che le estrazioni siano effettuate con reimmissione
- domanda 1) qui mi sono posto il quesito "qual è la probabilità di estrarre un numero maggiore di 2?"; essendo l'evento opposto "estraggo 1 oppure estraggo 2", ed essendo, secondo le considerazioni (forse sarebbe meglio chiamarle in qualche altro modo
) fatte, la probabilità di tale evento pari a 0, si deve dedurre che la risposta al quesito è 1. Ma questo quesito lo si può porre sostituendo a 2 un qualunque numero intero positivo, quindi alla fine dovrei essere sicuro di "estrarre un numero maggiore di un qualsiasi numero naturale"!- domanda 2) supponiamo di star parlando di infinità numerabili; qui si potrebbero fare le seguenti considerazioni: supponiamo di avere un'urna con $n$ palline; vogliamo sapere qual è la probabilità di estrarre una certa pallina almeno una volta in $n$ lanci. Facendo due conti (e sperando di non averli sbagliati!!) si trova che tale probabilità è $p_1 = 1-(1-1/n)^n$. A questo punto si potrebbe pensare di rispondere alla domanda di Prometeo facendo un bel limite, trovando così la probabilità $1-1/e$. In tutto ciò, infatti, si ha un'infinità numerabile di palline con un'infinità numerabile di estrazioni. Tuttavia, tornando alla nostra urna con $n$ palline, ci si può chiedere qual è la probabilità di estrarre almeno una volta una data pallina in $2n$ estrazioni; procedendo come prima si troverebbe il valore $p_2= 1-(1-1/n)^(2n)$, da cui passando al limite $1-1/e^2$ per la risposta finale. Anche qui ottengo un'infinità numerabile di palline e una di estrazioni. Non ci vuole molto, a questo punto, a capire che con questo ragionamento si trova $1-1/e^k$, con $k$ intero positivo.
Come anticipato, questa non vuole essere (e non è affatto) una risposta ai quesiti di Prometeo, semmai aumenta i dubbi! Ovviamente da qualche parte (e spero SOLO da qualche parte
) è stata scritta una fesseria, visti i risultati trovati. Spero che intervenga qualcuno a fare lumi!Nota: in tutte le considerazioni fatte sottintendo che le estrazioni siano effettuate con reimmissione
è molto interessante come problema...
non ti so rispondere, ma ti consiglio di postarlo nella sezione "Università" o in "Generale" dove sicuramente avrà più visibilità, anche perchè non mi sembra un argomento da ricerca libera, ma un argomento che sicuramente ha gia' una spiegazione formale.
non ti so rispondere, ma ti consiglio di postarlo nella sezione "Università" o in "Generale" dove sicuramente avrà più visibilità, anche perchè non mi sembra un argomento da ricerca libera, ma un argomento che sicuramente ha gia' una spiegazione formale.
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