Indovinello matematico

[Camillo]

L'ho saputa dal mio barista!!

Un gruppo è formato da 20 persone tra donne, uomini e bambini.
L'ammontare disponibile è di 20 euro e viene distribuito tutto.
A ogni donna vengono dati 0.7 euro, a ogni uomo 2 euro e a ogni bambino 0.3 euro.

Quanti sono gli uomini, le donne e i bambini ?

Camillo

[Marco831]

Si, credo che la mia domanda fosse quella.. solo non ero al corrente del fatto che un'equazione la cui soluzione è da ricercarsi in un'insieme discreto si chiamasse diofantea:)
Per quel che riguarda la programmazione lineare.. per quel che ne so, le soluzioni si ricercano sempre in campo continuo.

[Principe2]

da quello che ho capito la domanda di Marco83 equivale a: "Esiste un algoritmo per determinare le soluzioni intere di una equazione diofantea?". Mi sembra che sia uno dei problemi di Hilbert non ancora risolti... esistono delle particolari equazioni diofantee risolubili (per una trattazione semplice cfr. "Aritmetica Superiore" di Davenport); per quanto riguarda il problema generale, è ancora aperto e (per la cronaca e non vorrei sbagliare) il risultato più generale è un teorema di Roth che dà condizioni necessarie e sufficienti affinchè un polinomio a più indeterminate sia o no riducibile. Questo teorema (che non conosco nei dettagli) ha l'utilità di trasformare l'equazione diofantea in un prodotto e quindi si possono studiare i singoli fattori che, avendo grado minore del polinomio di partenza, si spera siano più semplici...

ciao, ubermensch

[Nidhogg]

Spero di non sbagliarmi ma non si può provare con la programmazione lineare?

[Camillo]

Questo bisogna chiederlo a Luca.
Camillo

[Marco831]

Visto che il tema è gia stato tirato in ballo, esistono metodi matematici per risolvere equazioni ricercando la soluzione in insiemi discreti? Voglio dire, oltre all'andare per tentativi!

[Nidhogg]

Si, ho centrato la soluzione. Comunque è un bel indovinello!

[Camillo]

Esatto : la terza condizione, nascosta, è che le soluzioni devono essere numeri naturali .
Io ho convertito le due equazioni in tre incognite in una equazione in due incognite e ho osservato che il numero di uomini deve essere
<= 10, altrimenti non ci sarebbero abbastanza euro e poi con qualche tentativo si arriva all'unica soluzione possibile.

Camillo

[Nidhogg]

Le equazioni scritte da giacor86 sono giuste. È un sistema di primo grado di due equazioni in tre incognite, che è indeterminato dato che il numero di incognite supera quello delle equazioni. Ma le tre incognite rappresentano un numero di persone e quindi devono essere numeri naturali. Essendo 20 € da distribuire si hanno questi vincoli:

0<=x<=10;0<=y<=28;0<=z<=66.

Procedendo per tentativi, in questo caso molto pochi, si ottiene come unica soluzione accettabile x=8, y=1 e z=11.

[Platone2]

Ache io sono arrivato alla stessa soluzione di archimede, ma per tentativi.
Credo che il sistema abbia un unica soluzione anche se ha piu' incognite che equazioni.
Il fatto e che credo che questo sia un problema che rientri nell'analisi diofantea (ricerca delle soluzioni intere dei determinate equazioi), infatti le soluzioni non vanno ricercate in un campo (in quel caso sarebbero, come e' noto, infinite), ma tra i naturali; e qui le possibilita' cadono drasticamente.

Platone

[Camillo]

Esatto, sono proprio 2 equazioni in tre incognite, quindi quante soluzioni ? però......
La soluzione di archimede è corretta.

Camillo

[matem2]

Scusa, come fai a determinarlo dal valore dei soldi dati a ciascuno delle persone?

[giacor86]

così a prima vista sembra uno dei classici problemi che si risolvono cn un sistemino a 3 incognite... però mi manca una condizione. io ho scritto
x = n° donne
y = n° uomoni
z = n° bambini

x + y + z = 20
7x + 20y + 3z = 200

ma me ne manca una.. credo di aver usato tutte le informazioni che avevo. ma forse sono cieco e non mi accorgo di qualcosa...

[Sk_Anonymous]

8,1,11
Ciao.