Il quesito delle pesate
Lo scorso anno (es. 87) fu proposto il quesito:
Abbiamo 12 palline di cui 11 hanno lo stesso peso e una ha peso diverso. Di quest'ultima non sappiamo se il peso è maggiore o minore delle altre. Con una bilancia a bracci uguali dobbiamo individuare in tre pesate la pallina diversa.
Ringrazio chiunque voglia a risolvere lo stesso quesito aumentando le palline da 12 a 13...non è facile ma è possibile...
Saluto tutti!
Abbiamo 12 palline di cui 11 hanno lo stesso peso e una ha peso diverso. Di quest'ultima non sappiamo se il peso è maggiore o minore delle altre. Con una bilancia a bracci uguali dobbiamo individuare in tre pesate la pallina diversa.
Ringrazio chiunque voglia a risolvere lo stesso quesito aumentando le palline da 12 a 13...non è facile ma è possibile...
Saluto tutti!
Risposte
Beh...mi rispondo io stesso...se qualcuno ha soluzioni migliori me lo faccia sapere:
Soluzione se alla prima pesata si ha equilibrio:
Si indichi con A=(1,2,3,4) l’insieme delle palline sul primo piatto, B=(5,6,7,8) quelle sul secondo, C=(9,10,11,12,13) quelle escluse.
Se alla prima pesata ho equilibrio è evidente che la pallina anomala è in C.
2° pesata: prendo tre palline dall’insieme A (che certo pesano “normale”) e le rimango sul primo piatto, poi tolte le palline B dal 2° piatto ne pongo ivi 3 dell’insieme C.
1) Se ho un bel po’ di c… si ha equilibrio; quindi la pallina anomala è fra le rimanenti 2 di C escluse dalle due pesate fatte; la terza pesata avviene confrontando una delle due palline di C escluse con una “normale”; se alla terza pesata vi è dis-equilibrio beh la pallina anomala è quella che abbiamo ora appoggiato sul piatto, altrimenti (se ho ancora equilibrio) la pallina anomala è quella esclusa da tutte e tre le pesate.
2) Non ho c… e la situazione dopo la seconda pesata e di dis-equilibrio; questo ci dice che la pallina “anomala” è fra le 3 appartenenti a C che ho messo sul 2° piatto.
Il tipo di squilibrio ci dice anche se la pallina anomala è più leggera (il 2° piatto sale) o è più pesante (il 2° piatto scende) delle rimanenti.
Il caso 2) è un po’ complicato da dipanare; la terza pesata si svolge come segue:
Escludo una pallina dal primo piatto e una dal secondo; rimangono due palline per parte, scambio una delle due palline rimaste sul primo piatto con una delle due rimaste sul secondo (ho quindi ancora due palline per piatto) e si presentano ancora tre casi:
1) Equilibrio dopo la terza pesata: la pallina anomala è quella che ho escluso dal 2° piatto.
2) Dis-equilibrio inalterato (cioè i piatti rimangono nella stessa configurazione della seconda pesata) dopo la terza pesata: la pallina anomala è quella che è rimasta sul secondo piatto dopo la seconda pesata.
3) Dis-equilibrio invertito (si inverte la “pendenza” del braccio della bilancia rispetto alla precedente pesata) dopo la terza pesata: la pallina anomala è quella che ho passato dal secondo piatto al primo dopo la seconda pesata.
Soluzione se dopo la prima pesata c’è squilibrio:
Dopo la prima pesata c’e squilibrio, l’informazione che abbiamo è che le cinque palline escluse pesano “normale”.
Seconda pesata: sposto tre palline dal primo piatto sul secondo, escludo tre delle palline che erano sul secondo nella precedente pesata e metto tre palline “normali” (tra quelle escluse dalla prima pesata).
Si aprono tre prospettive:
1) Dopo la seconda pesata c’è equilibrio: la pallina anomala è fra le tre escluse dal secondo piatto; a seconda della pendenza di questo dopo la prima pesata so anche che è più pesante (se il secondo piatto scendeva alla prima pesata) o più leggera (se saliva); la terza pesata risolve il problema mediante il confronto fra le tre escluse dal secondo piatto (se alla terza c’è equilibrio è la pallina rimanente se non c’è equilibrio sapendo che la pallina è ad es. più pesante sarà quella sul piatto che scende dopo la terza pesata).
2) Disequilibrio invariato rispetto alla precedente pesata (i piatti non cambiano pendenza); per fissare le idee si ammetta che il piatto 2 si abbassi e il piatto 1 si alzi nella prima pesata (se la pendenza è opposta si ragiona specularmente); il fatto che dopo la seconda pesata lo squilibrio non venga alterato ci dice che o la pallina rimasta sul primo piatto (che ivi è rimasta nelle due precedenti pesate) è più leggera o che la pallina rimasta sul secondo piatto (che ivi…) è più pesante; per confronto nella terza pesata di una delle due palline con una “normale” stabiliamo con certezza quale delle due è “anomala”.
3) Disequilibrio invertito rispetto alla pesata precedente (il piatto che era più in basso nella prima pesata ora è il più in alto); la pallina “anomala” è necessariamente una delle tre che nella seconda pesata è passata dal primo al secondo piatto; per fissare le idee immaginiamo che nella prima pesata il piatto 1 era più in alto del 2 e che dopo la seconda è il 2 ad essere più in alto dell’uno (si ragiona specularmente nel caso inverso) ; questo ci dice che la pallina oltre ad essere senz’altro una delle tre citate sopra è anche più leggera delle altre.
Elementarmente per confronto fra le tre nella terza pesata, sapendo che la pallina cercata è nello specifico più leggera, ricaviamo quale è la pallina anomala.
Con questo si completa la soluzione del problema dato.
Soluzione se alla prima pesata si ha equilibrio:
Si indichi con A=(1,2,3,4) l’insieme delle palline sul primo piatto, B=(5,6,7,8) quelle sul secondo, C=(9,10,11,12,13) quelle escluse.
Se alla prima pesata ho equilibrio è evidente che la pallina anomala è in C.
2° pesata: prendo tre palline dall’insieme A (che certo pesano “normale”) e le rimango sul primo piatto, poi tolte le palline B dal 2° piatto ne pongo ivi 3 dell’insieme C.
1) Se ho un bel po’ di c… si ha equilibrio; quindi la pallina anomala è fra le rimanenti 2 di C escluse dalle due pesate fatte; la terza pesata avviene confrontando una delle due palline di C escluse con una “normale”; se alla terza pesata vi è dis-equilibrio beh la pallina anomala è quella che abbiamo ora appoggiato sul piatto, altrimenti (se ho ancora equilibrio) la pallina anomala è quella esclusa da tutte e tre le pesate.
2) Non ho c… e la situazione dopo la seconda pesata e di dis-equilibrio; questo ci dice che la pallina “anomala” è fra le 3 appartenenti a C che ho messo sul 2° piatto.
Il tipo di squilibrio ci dice anche se la pallina anomala è più leggera (il 2° piatto sale) o è più pesante (il 2° piatto scende) delle rimanenti.
Il caso 2) è un po’ complicato da dipanare; la terza pesata si svolge come segue:
Escludo una pallina dal primo piatto e una dal secondo; rimangono due palline per parte, scambio una delle due palline rimaste sul primo piatto con una delle due rimaste sul secondo (ho quindi ancora due palline per piatto) e si presentano ancora tre casi:
1) Equilibrio dopo la terza pesata: la pallina anomala è quella che ho escluso dal 2° piatto.
2) Dis-equilibrio inalterato (cioè i piatti rimangono nella stessa configurazione della seconda pesata) dopo la terza pesata: la pallina anomala è quella che è rimasta sul secondo piatto dopo la seconda pesata.
3) Dis-equilibrio invertito (si inverte la “pendenza” del braccio della bilancia rispetto alla precedente pesata) dopo la terza pesata: la pallina anomala è quella che ho passato dal secondo piatto al primo dopo la seconda pesata.
Soluzione se dopo la prima pesata c’è squilibrio:
Dopo la prima pesata c’e squilibrio, l’informazione che abbiamo è che le cinque palline escluse pesano “normale”.
Seconda pesata: sposto tre palline dal primo piatto sul secondo, escludo tre delle palline che erano sul secondo nella precedente pesata e metto tre palline “normali” (tra quelle escluse dalla prima pesata).
Si aprono tre prospettive:
1) Dopo la seconda pesata c’è equilibrio: la pallina anomala è fra le tre escluse dal secondo piatto; a seconda della pendenza di questo dopo la prima pesata so anche che è più pesante (se il secondo piatto scendeva alla prima pesata) o più leggera (se saliva); la terza pesata risolve il problema mediante il confronto fra le tre escluse dal secondo piatto (se alla terza c’è equilibrio è la pallina rimanente se non c’è equilibrio sapendo che la pallina è ad es. più pesante sarà quella sul piatto che scende dopo la terza pesata).
2) Disequilibrio invariato rispetto alla precedente pesata (i piatti non cambiano pendenza); per fissare le idee si ammetta che il piatto 2 si abbassi e il piatto 1 si alzi nella prima pesata (se la pendenza è opposta si ragiona specularmente); il fatto che dopo la seconda pesata lo squilibrio non venga alterato ci dice che o la pallina rimasta sul primo piatto (che ivi è rimasta nelle due precedenti pesate) è più leggera o che la pallina rimasta sul secondo piatto (che ivi…) è più pesante; per confronto nella terza pesata di una delle due palline con una “normale” stabiliamo con certezza quale delle due è “anomala”.
3) Disequilibrio invertito rispetto alla pesata precedente (il piatto che era più in basso nella prima pesata ora è il più in alto); la pallina “anomala” è necessariamente una delle tre che nella seconda pesata è passata dal primo al secondo piatto; per fissare le idee immaginiamo che nella prima pesata il piatto 1 era più in alto del 2 e che dopo la seconda è il 2 ad essere più in alto dell’uno (si ragiona specularmente nel caso inverso) ; questo ci dice che la pallina oltre ad essere senz’altro una delle tre citate sopra è anche più leggera delle altre.
Elementarmente per confronto fra le tre nella terza pesata, sapendo che la pallina cercata è nello specifico più leggera, ricaviamo quale è la pallina anomala.
Con questo si completa la soluzione del problema dato.
E' vero, hai ragione. Mi sono lasciato trascinare dall'entusiasmo
come talvolta mi capita.
Ciao, drake53
come talvolta mi capita.
Ciao, drake53
Caro drake53,
purtroppo il tuo ragionamento fallisce dal principio:
"Prima pesata, confronto 2 gruppi e individuo le 9 con la pallina
differente."
Io non so se la pallina differente pesa di più o di meno, come stabilisco "le 9 con la pallina differente"?
Cioè, supponiamo che il piatto di destra pesi di più di quello di sinistra, è il gruppo di destra a contenere una pallina che pesa di più o quello di sinistra a contenerne una che pesa di meno?.
Ciao, Marc.
Modificato da - marcellus zebra il 15/11/2002 13:29:58
purtroppo il tuo ragionamento fallisce dal principio:
"Prima pesata, confronto 2 gruppi e individuo le 9 con la pallina
differente."
Io non so se la pallina differente pesa di più o di meno, come stabilisco "le 9 con la pallina differente"?
Cioè, supponiamo che il piatto di destra pesi di più di quello di sinistra, è il gruppo di destra a contenere una pallina che pesa di più o quello di sinistra a contenerne una che pesa di meno?.
Ciao, Marc.
Modificato da - marcellus zebra il 15/11/2002 13:29:58
Ciao marc,
se ho 27 palline e ne faccio 3 gruppi di 9.
Prima pesata, confronto 2 gruppi e individuo le 9 con la pallina
differente.
Divido questo gruppo in 3 da 3 palline.
Seconda pesata, individuo il gruppo con la pallina diversa.
Terza pesata, una pallina per piatto.
Quindi il massimo per 3 pesate e' 27, cioe' 3^n
e se sono fortunato
cioe' ho pesato almeno una volta il gruppo con la pallina
so anche se e' piu' leggera, si potrebbe calcolare magari la probabilita'.
drake53
se ho 27 palline e ne faccio 3 gruppi di 9.
Prima pesata, confronto 2 gruppi e individuo le 9 con la pallina
differente.
Divido questo gruppo in 3 da 3 palline.
Seconda pesata, individuo il gruppo con la pallina diversa.
Terza pesata, una pallina per piatto.
Quindi il massimo per 3 pesate e' 27, cioe' 3^n
e se sono fortunato
cioe' ho pesato almeno una volta il gruppo con la pallina
so anche se e' piu' leggera, si potrebbe calcolare magari la probabilita'.
drake53
Ciao,
attenzione a questo fatto. Ogni pesata dà 3 responsi possibili (a=b, ab) sicchè n pesate danno complessivamente 3^n set di risultati possibili con i quali dobbiamo dirimere la questione su quale pallina ha un peso diverso (senza specificare se pesi di più o di meno). In questo senso il ragionamento di drake53 non fa una piega. Ma attenzione, nelle n pesate devono essere confrontate (qualsiasi sia la strategia scelta) almeno n-1 palline poichè ovviamente se non pesassimo mai due palline non potremmo individuare quella ricercata nel caso fosse proprio una di quelle due. Quindi, volenti o nolenti, quasi sempre scopriamo pure un'informazione aggiuntiva. Cioè in quasi tutti i casi determiniamo anche se la pallina pesa di più o di meno. Quindi per x palline, servono circa 2x set di risultati per arrivare alla soluzione. Quindi n pesate bastano per circa (3^n)/2 palline.
Nel caso in questione si mostra abbastanza facilmente che 13 palline è proprio il massimo per 3 pesate.
Mi rendo conto di non essere stato chiarissimo, scusate.
Ciao, Marc.
attenzione a questo fatto. Ogni pesata dà 3 responsi possibili (a=b, a
Nel caso in questione si mostra abbastanza facilmente che 13 palline è proprio il massimo per 3 pesate.
Mi rendo conto di non essere stato chiarissimo, scusate.
Ciao, Marc.
Mi sembra interessante trovare quanto sia il numero massimo di
palline che possono entrare nel problema in funzione del numero
di pesate.
Con una pesata direi che il numero massimo di palline sia 3,
con due pesate sia 9, tre pesate 27 e cosi' via moltiplicando
per 3.
Ad ogni pesata si possono fare 3 gruppi nei quali si individua
quello con la pallina diversa, quindi si scende al problema
con meno palline ed una pesata in meno.
Ciao, Drake53
palline che possono entrare nel problema in funzione del numero
di pesate.
Con una pesata direi che il numero massimo di palline sia 3,
con due pesate sia 9, tre pesate 27 e cosi' via moltiplicando
per 3.
Ad ogni pesata si possono fare 3 gruppi nei quali si individua
quello con la pallina diversa, quindi si scende al problema
con meno palline ed una pesata in meno.
Ciao, Drake53
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