$=>$

[DavideGenova1]

Ciao amici! Vorrei fare una domandina riguardo l'uso del simbolo $=>$.
A volte torna comodo scrivere cose del tipo "$f(x)->L$ se $x->x_0$" al posto di $lim_(x->x_0) f(x)=L$. È corretto o almeno accettabile scrivere "$f(x)->L$ se $x->x_0$" come "$x->x_0 => f(x)->L$"?
Un'altra domandina: quando si deve andare a capo in un'implicazione mi sembra di aver sempre visto la $=>$ e la $<=>$ sulla riga di sotto, tipo:
$x=|x|$
$<=>x>=0$
È scorretto (per esempio se si prevede di non avere spazio abbastanza sulla riga di sotto) andare a capo dopo la freccia, come in
$x=|x|<=>$
$x>=0$?
Grazie a tutti!!!

[DavideGenova1]

Grazie anche a te, Vict!
E $Leftarrow$ si può usare per esempio come in $|x|=0 Leftarrow x>0$ al posto di $x>0 => x=|x|$?
Ad esempio a me verrebbe comodo usarlo a volte per aggiungere a margine di un libro una condizione solo sottintesa dal testo e simili...
Ciao e grazie di nuovo a tutti!

[vict85]

"dissonance":[quote="raffamaiden"]Se \( x \to x_0 \) è vera e \( f(x) \to L \) è vera, con \( x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to L \) hai scritto una cosa vera.

Non sono d'accordo. La scrittura \(x \to x_0 \Rightarrow f(x)\to L\) non mi piace per nulla. Non c'è una implicazione logica qui, perché la prima delle due non è una proposizione ma un complemento al simbolo \(\to\). Da questo punto di vista la scrittura migliore è questa:

\[f(x) \stackrel{x \to x_0}{\to} L,\]

peccato che esteticamente non sia il massimo. Meglio allora arrangiarsi con le parole: \(f(x) \to L\ \text{per}\ x \to x_0\), o cose del genere (ad esempio puoi sostituire "per" con "quando", o scriverlo \(x\to x_0\) prima, o a lato, in un riquadro...).[/quote]

Anche a me non piace. In logica i due simboli hanno differenze anche se sono trascurabili per chiunque non sia un logico. In questo caso si sta usando la freccia con il doppio senso di implicazione e di “tende a” e ritengo che questa sia una pratica piuttosto discutibile. Molto meglio dirlo a parole oppure non usare la notazione abbreviata per i limiti (io sono per la prima).

[dissonance]

Questo non è un abuso di notazione. Semplicemente qui sta sottointendendo \(n \to \infty\), ma non è un problema perché questa informazione è ovvia (una variabile discreta, quale certamente è \(n\), non può che tendere ad infinito). Sottointendere informazioni non necessarie è una buona pratica.

[DavideGenova1]

Grazie, Dissonance! In effetti, sfogliando libri alla ricerca di conferme o smentite alle mie ipotesi di utilizzabilità ho trovato
$a_n->+-oo => 1/a_n->0$ a significare $lim_n a_n=+-oo => lim_n 1/a_n=0$
ma non so se sia un abuso di notazione o meno... Che cosa ne pensi e pensate?
Ciao e grazie a tutti!!!

[dissonance]

"raffamaiden":Se \( x \to x_0 \) è vera e \( f(x) \to L \) è vera, con \( x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to L \) hai scritto una cosa vera.

Non sono d'accordo. La scrittura \(x \to x_0 \Rightarrow f(x)\to L\) non mi piace per nulla. Non c'è una implicazione logica qui, perché la prima delle due non è una proposizione ma un complemento al simbolo \(\to\). Da questo punto di vista la scrittura migliore è questa:

\[f(x) \stackrel{x \to x_0}{\to} L,\]

peccato che esteticamente non sia il massimo. Meglio allora arrangiarsi con le parole: \(f(x) \to L\ \text{per}\ x \to x_0\), o cose del genere (ad esempio puoi sostituire "per" con "quando", o scriverlo \(x\to x_0\) prima, o a lato, in un riquadro...).

[DavideGenova1]

Grazie anche a te, Vict85!!!

[vict85]

"DavideGenova":Un'altra domandina: quando si deve andare a capo in un'implicazione mi sembra di aver sempre visto la $=>$ e la $<=>$ sulla riga di sotto, tipo:
$x=|x|$
$<=>x>=0$
È scorretto (per esempio se si prevede di non avere spazio abbastanza sulla riga di sotto) andare a capo dopo la freccia, come in
$x=|x|<=>$
$x>=0$?
Grazie a tutti!!!

In generale, se stai scrivendo una formula in un testo, è opportuno cercare di evitare di andare a capo. Con un po’ di lavoro di riscrittura si riesce solitamente a risolvere il problema; ci ho perso ore quando ho scritto la tesi. Se proprio non è possibile riscrivere allora prima o dopo è abbastanza equivalente. L'importante è non sacrificare la comprensibilità della formula.

Quando non ci riesci è comunque probabile che portare la formula da inline a display possa risolverti il problema (anche se dipende dall'importanza della formula).

In questo caso penso sia meglio trasformare il simbolo in testo piuttosto che andare a capo; non sempre scrivere tutto in formule rende il testo più leggibile.

Se il problema invece capita in displaystyle andare a capo prima o dopo è equivalente anche se alcuni accorgimenti sono necessari. Trovo comunque che possa esistere un modo di riscrivere la formula che escluda questo evento.

[DavideGenova1]

Grazie a tutti per le preziose risposte!

[Fioravante Patrone1]

Sull'andare a capo.
Io riporto i simboli sia alla fine della riga sopra che all'inizio della riga sotto. Magari con qualche accorgimento di formattazione, per una migliore leggibilità.

[yellow2]

Una piccola ambiguità riguardante l'uso comune di queto simbolo è che $a=>b$ può voler dire sia "siccome vale $a$, vale anche $b$", sia "esiste in generale questa proprietà (da cui traiamo delle conseguenze)". Per cui nel secondo caso, che più o meno è quello che hai citato tu (anche se dire $x->x_0$ è un grande abuso di notazione perché così da sola non ha nessun significato matematico), bisogna fare un po' di attenzione a far notare che si sta enunciando un risultato, esplicitando una definizione ecc.

[Sk_Anonymous]

per la prima si è corretto. L'implicazione è un operatore logico che ha la sua tabella di verità. E' falsa se la prima è vera e la seconda è falsa, vera in tutti gli altri casi. Se \( x \to x_0 \) è vera e \( f(x) \to L \) è vera, con \( x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to L \) hai scritto una cosa vera.

Per la seconda domanda non lo so. Mi sembra una formalità comunque più che altro