Fuori o dentro ad una curva chiusa?
Chiedo a chiunque abbia studiato il problema o comunque ne sappia qualcosa, di esprimersi sul seguente quesito: 
Data l'esistenza di una curva chiusa (che non seghi se stessa), giacente in una porzione del piano euclideo certamente limitata ma non definita in estensione, ed un punto, su questa medesima porzione di piano, non locato sulla curva, esiste un criterio non casuale ma matematicamente certo per determinare se il punto si trova "dentro" o "fuori dall'area delimitata dalla curva stessa? 
Personalmente penso che, in generale, il problema sia indecidibile (nello stesso senso dell'arresto risolutivo sperato dall'osservatore della macchina di Turing, arresto che potrebbe non varificarsi nel corso della "durata" che l'osservatore stesso ha destinato al processo osservativo). Non sono tuttavia escluse soluzioni casuali non programmabili.
Data l'esistenza di una curva chiusa (che non seghi se stessa), giacente in una porzione del piano euclideo certamente limitata ma non definita in estensione, ed un punto, su questa medesima porzione di piano, non locato sulla curva, esiste un criterio non casuale ma matematicamente certo per determinare se il punto si trova "dentro" o "fuori dall'area delimitata dalla curva stessa? Personalmente penso che, in generale, il problema sia indecidibile (nello stesso senso dell'arresto risolutivo sperato dall'osservatore della macchina di Turing, arresto che potrebbe non varificarsi nel corso della "durata" che l'osservatore stesso ha destinato al processo osservativo). Non sono tuttavia escluse soluzioni casuali non programmabili.
Risposte
"fedeb":
....inoltre bisogna specificare il significato di ''io interno alla curva''. che vuol dire????
che se è dentro e cammina in linea retta allora sicuramente raggiunge la curva stessa??
Diciamo di si: accettiamo di definire "punto interno ad una curva chiusa" tracciata su un piano euclideo, un punto su cui passano rette del piano che tagliano in assoluto la curva in un numero finito pari di punti, sempre che non vengano computati sia gli eventuali punti di tangenza che i punti di eventuali segmenti rettilinei della curva chiusa che sono anche segmenti della detta retta.
Nella formulazione iniziale del problema ho omesso le definizioni dei dati del problema per non appesantirlo già da subito; come pure non ho specificato -tra i dati iniziali- che l'osservatore in questione è in grado di percorrere e distinguere linee rette. Ho invece detto, questo è molto, molto importante, che l'osservatore (con la o iniziale sia minuscola che maiuscola) ha risorse limitate. 
Io trovo la questione veramente intrigante... Ora cosi a ghiaccio, sarebbe bellino ragionare in modo diciamo "antropomorfico". Lo stare dentro la curva implica uno stato $A$, mentre lo stato $B$ implica stare fuori dalla curva. Potrei dunque ragionare su queste informazioni per vedere se sono dentro la curva. Per lo meno devo in qualche modo vi deve essere una sorta di dialogo tra l'ambiente e l'uomo che vi è immerso, dunque la capacità dell'uomo di rendersi conto almeno di dove si trova. Sapendo dove si trova per lo meno può vagare qua e la e non appena avverte lo stato $A$, è appena entrato nella curva, che rappresenta secondo Turing la soluzione del problema, che si trova sul nastro. Giusto? 
Ora appena ho due minuti liberi mi sparaflescio su questa diciamo "congettura".
Ora appena ho due minuti liberi mi sparaflescio su questa diciamo "congettura".
salve people
non so se ho compreso bene il problema ma lo trovo molto interessante e poco ovvio
credo il problema sia indecidibile poiche la prima cosa che mi è venuta in mente quando l ho letto é:
se uno si trova nello spazio vuoto e non si ricorda come ci è arrivato li, sapra la direzione giusta per tornare a casa???
io non credo e questa mi sembra una somiglianza abbastanza calzante.
inoltre bisogna specificare il significato di ''io interno alla curva''. che vuol dire????
che se è dentro e cammina in linea retta allora sicuramente raggiunge la curva stessa??
non so se ho scritto banalita o stupidaggini ma credo che questo sia un argomento molto sofisticato...
non so se ho compreso bene il problema ma lo trovo molto interessante e poco ovvio
credo il problema sia indecidibile poiche la prima cosa che mi è venuta in mente quando l ho letto é:
se uno si trova nello spazio vuoto e non si ricorda come ci è arrivato li, sapra la direzione giusta per tornare a casa???
io non credo e questa mi sembra una somiglianza abbastanza calzante.
inoltre bisogna specificare il significato di ''io interno alla curva''. che vuol dire????
che se è dentro e cammina in linea retta allora sicuramente raggiunge la curva stessa??
non so se ho scritto banalita o stupidaggini ma credo che questo sia un argomento molto sofisticato...
"Eudale":
A mio modesto parere, la soluzione del problema pare impossibile... Ammetto di non aver capito bene il problema, ma comunque penso la struttra: è come se si volesse dimostrare in modo deduttivo una cosa induttiva, partendo da proprietà che non permettano alcuna generalizzazione... Proprio dalla limitatezza di cui si parte non si è in grado di dimostrare il l'esistenza di una soluzione. È una sorta di principio di induzione... Forse ho tirato uno sfondone e ammetto di non usare termini corretti, tuttavia su Wikipedia ho trovato un questo discorso:
Dopo il lavoro di Gödel era difficile pensare che potesse esistere un algoritmo che fornisse regole esplicite per dimostrare, all'interno di un sistema formale e in tutti i casi, che da un insieme di premesse si potesse derivare tramite la logica del primo ordine un'ipotetica conclusione. Alan Turing, riducendo il concetto di calcolabilità effettiva a quello di procedura meccanica, con la sua Macchina di Turing, (vedi Tesi di Church-Turing) mostrò che un simile algoritmo in effetti non esisteva.
Il link: http://it.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem
L'esperimento di Turing ha a che fare molto con il teorema di Goedel... La questione devo dire è molto affascinante!
Caro Eudale,
Credo che tu abbia colto almeno l'aspetto, diciamo così, classico del problema, problema che col mio quesito ho inquinato mediante l'introduzione dell'"osservatore" il quale ha risorse non illimitate. Se le sue risorse fossero illimitate (come dire che l'sservatore è Dio) il problema è chiaramente risolvibile dato che l'estensione dell'area da ispezionare è finita benchè di misura non nota, infatti anche l'attesa dell'arrsto della macchina di Turing, che segnala l'avvenuta soluzione del problema impostato in input, può essere verificata solo per caso dall'osservatore che ovviamente non può aspettare per più del tempo che le sue risorse consentono.
In generale possiamo dire che l'Osservatore (che scrivo con la O maiuscola) non può sprofondare nell'esecuzione di un algoritmo di cui si ignora la la lunghezza, ciò è vero anche quando si ha la certezza che il calcolo ha una fine (è appena il caso di dire che se non si sapesse questa ultima cosa, ilproblema sarebbe in assoluto indecidibile). Alla matematica moderna questa problematica è da tempo ben nota, ma stranamente si ha l'impressione che i matematici di tutti i giorni se ne dimenticano.
A mio modesto parere, la soluzione del problema pare impossibile... Ammetto di non aver capito bene il problema, ma comunque penso la struttra: è come se si volesse dimostrare in modo deduttivo una cosa induttiva, partendo da proprietà che non permettano alcuna generalizzazione... Proprio dalla limitatezza di cui si parte non si è in grado di dimostrare il l'esistenza di una soluzione. È una sorta di principio di induzione... Forse ho tirato uno sfondone e ammetto di non usare termini corretti, tuttavia su Wikipedia ho trovato un questo discorso:
Il link: http://it.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem
L'esperimento di Turing ha a che fare molto con il teorema di Goedel... La questione devo dire è molto affascinante!
Dopo il lavoro di Gödel era difficile pensare che potesse esistere un algoritmo che fornisse regole esplicite per dimostrare, all'interno di un sistema formale e in tutti i casi, che da un insieme di premesse si potesse derivare tramite la logica del primo ordine un'ipotetica conclusione. Alan Turing, riducendo il concetto di calcolabilità effettiva a quello di procedura meccanica, con la sua Macchina di Turing, (vedi Tesi di Church-Turing) mostrò che un simile algoritmo in effetti non esisteva.
Il link: http://it.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem
L'esperimento di Turing ha a che fare molto con il teorema di Goedel... La questione devo dire è molto affascinante!
Mi sembra (ma potrei sbagliare) che gli amici Eudale e Ficus2002, che vivamente ringrazio per aver solertemente risposto al quesito del mio precedente post, non abbiano colto il senso della mia domanda. Ora riproporrò la stessa questione con un esempio (quasi) pratico. Immaginiamo che l'osservatore "io" si trovi paracadutato in un territorio deserto in un luogo imprecisato della terra (che immaginiamo piatta e molto estesa) e che "io" sia stato informato di due cose:
a) che la superficie di questo territorio sia finita, seppure molto estesa;
b) che da qualche parte di questo territoria sia stata tracciata una linea chiusa che comprende una parte di territorio, anch'essa molto estesa ma di dimensioni e posizione non note a "io".
E' risolvibile il problema di "io" di appurare se è capitato dentro o fuori dal territorio delimitato dalla curva? Qualcuno potrebbe dire, con un po' di ingenuità, di si; potrebbe infatti suggerire di iniziare a camminare secondo un percorso pressappoco rettilineo e, se "io" è fortunato, incontrerà la linea di delimitazione del territorio e se, proseguendo il cammino nella stessa direttrice, reincontra la linea di confine, in tal caso ha appurato di essere stato paracadutato all'esterno della linea chiusa. Se, invece, incontra bensì la linea ma poi raggiunge il limite della terra (che, ricordo, essere stata ipotizzata piatta e non estesa infinitamente) senza reincontrare la linea, oppure la incontra per la seconda volta linea, in entrambi i casi "io" arguirà di essere stato paracadutato all'esterno di del territorio delimitato.
La ingenuità della risposta sta nel fatto che non sono note le estensioni dei due territori del problema e, benchè il ragionamento di cui sopra è corretto sotto il profilo strettamente ed astrattamente geometrico, non lo è più se a tale aspetto si aggiunge anche quello della presenza dell' osservatore "io" che non dispone di risorse illimitate per cui il suo camminare, senza incontrare né la linea di confine, né il limite della terra (piatta e limitata) debba essere interrotto all'esaurimento delle risorse dell'osservatore che si suppongono note.
Questo problema si pose chiaramente al tempo della Macchina di Turing, che è un computer ideale che legge escrive su un nastro di lunghezza infinita (sia prima che dopo luna speciale testina), nastro che scorre avanti e/o indietro sotto quest'ultima che contiene il programma che dovrebbe risolvere il problema scritto in input sul nastro a monte della testina scrivente. La soluzione, se c'è, verrà scritta sul nastro dopo la serie dei passi intermedi di calcolo e verrà identificata da uno sperato arresto del nastro della macchina di Turing; se il nastro non si arresta "mai" allora il problema è "indecidibile", ma "mai" significa infinito e ciò si scontra con la limitatezza delle risorse dell'osservatore che sono note, al loro esaurimento, è possibile che l'arresto non si sia ancora constatato. Da qui la indeterminatezza del problema. 
a) che la superficie di questo territorio sia finita, seppure molto estesa;
b) che da qualche parte di questo territoria sia stata tracciata una linea chiusa che comprende una parte di territorio, anch'essa molto estesa ma di dimensioni e posizione non note a "io".
E' risolvibile il problema di "io" di appurare se è capitato dentro o fuori dal territorio delimitato dalla curva? Qualcuno potrebbe dire, con un po' di ingenuità, di si; potrebbe infatti suggerire di iniziare a camminare secondo un percorso pressappoco rettilineo e, se "io" è fortunato, incontrerà la linea di delimitazione del territorio e se, proseguendo il cammino nella stessa direttrice, reincontra la linea di confine, in tal caso ha appurato di essere stato paracadutato all'esterno della linea chiusa. Se, invece, incontra bensì la linea ma poi raggiunge il limite della terra (che, ricordo, essere stata ipotizzata piatta e non estesa infinitamente) senza reincontrare la linea, oppure la incontra per la seconda volta linea, in entrambi i casi "io" arguirà di essere stato paracadutato all'esterno di del territorio delimitato.
La ingenuità della risposta sta nel fatto che non sono note le estensioni dei due territori del problema e, benchè il ragionamento di cui sopra è corretto sotto il profilo strettamente ed astrattamente geometrico, non lo è più se a tale aspetto si aggiunge anche quello della presenza dell' osservatore "io" che non dispone di risorse illimitate per cui il suo camminare, senza incontrare né la linea di confine, né il limite della terra (piatta e limitata) debba essere interrotto all'esaurimento delle risorse dell'osservatore che si suppongono note.
Questo problema si pose chiaramente al tempo della Macchina di Turing, che è un computer ideale che legge escrive su un nastro di lunghezza infinita (sia prima che dopo luna speciale testina), nastro che scorre avanti e/o indietro sotto quest'ultima che contiene il programma che dovrebbe risolvere il problema scritto in input sul nastro a monte della testina scrivente. La soluzione, se c'è, verrà scritta sul nastro dopo la serie dei passi intermedi di calcolo e verrà identificata da uno sperato arresto del nastro della macchina di Turing; se il nastro non si arresta "mai" allora il problema è "indecidibile", ma "mai" significa infinito e ciò si scontra con la limitatezza delle risorse dell'osservatore che sono note, al loro esaurimento, è possibile che l'arresto non si sia ancora constatato. Da qui la indeterminatezza del problema.
O che roba è?
"mariodic":
Se hai un cammino chiuso $gamma:[0,1]\to CC$ cioè $gamma\in cc C^1([0,1])$ e $z\in CC\setminus \gamma([0,1])$, allora
$text{Ind}_{\gamma}(z):=1/(2\pi i) \int_{\gamma} {d\zeta}/{\zeta -z}=1/(2\pi i) \int_{0}^{1} {\gamma'(t)}/{\gamma(t) -z}dt$
è un numero intero che rappresenta il numero di volte che $\gamma$ gira attorno al punto $z$. Inoltre, $text{Ind}_{\gamma}$ è costante sulle componenti connesse del complmentare di $\gamma([0,1])$ rispetto al piano e vale zero sulla componente illimitata.
Se hai una curva chiusa $\Gamma:[0,1]\to CC$ (cioè $Gamma \in cc C^0([0,1])$, ma non necessariamente $Gamma \in cc C^1([0,1])$), allora puoi approssimare uniformemente $\Gamma$ con dei cammini chiusi.
Infatti, per il Teorema di Weistrass, esiste una successione di polinomi $P_n,n\in NN$ che converge uniformemente a $\Gamma$ su $[0,1]$. Allora $gamma_n:=P_n(t)-t(P_n(1)-P_n(0)),n\in NN$ è una famiglia di cammini chiusi che converge uniformemente a $\Gamma$ su $[0,1]$.
Si può dimostrare che per ogni $z\notin \Gamma([0,1])$, la successione $text{Ind}_{\gamma_n}(z)$ è definitivamente costante e tale costante rappresenta il numero di giri che $\Gamma$ fa intorno a $z$.
Se $Gamma$ è iniettiva, cioè la curva "non sega se stessa", allora i punti "fuori dall'area delimitata dalla curva stessa" sono quelli per cui $text{Ind}_{\Gamma}$ vale $0$.
Prova a interpretare l'equazione di una retta, non come un 'equazione ma bensì come una disequazione:
$x+y>=0$
Nota che questa equazione è verificata per gli infiniti punti anche che non giaciono sulla retta $x+y=0$
Ottieni l'equazione di un semipiano che divide a metà il piano cartesiano con un angolo di -135 gradi rispetto all'asse x. Adesso prendi un punto che non appartiene alla retta associata ($x+y=0$) ad esempio $P(2,3)$. In quale semipiano si trova? Se sostituisci i valori di x e y nell'equazione ottieni una identità:
$2 + 3 >=0$
Dunque il punto P appartiene al semipiano $2 + 3 >=0$ ed è quello che va diciamo la parte destra vista dall'alto della retta $x+y=0$
Questo fondamentalmente è un metodo, per una curva a curvatura zero come la retta. Per la circonferenza sai che è:
$x^2+y^2=1$ È una circonferenza di raggio 1 che ha centro nell'origine.
Anzichè dell'uguale metti un $>=$, otterai la equazione di tutti i punti del piano esterni o che giaciono sulla circonferenza. Se invece metti al posto dell'uguale un $<$ ottieni l'equazione dei punti interni alla circonferenza esclusi quelli del suo bordo. Ce nè davvero un'infinità di metodi, sia per parabole, iperboli e compagnia. Un metodo generale penso che sia questo, ma ogni curva ha le sue caratteristiche. Se poi non sai l'equazione della curva con questo metodo è un pò complicato.
$x+y>=0$
Nota che questa equazione è verificata per gli infiniti punti anche che non giaciono sulla retta $x+y=0$
Ottieni l'equazione di un semipiano che divide a metà il piano cartesiano con un angolo di -135 gradi rispetto all'asse x. Adesso prendi un punto che non appartiene alla retta associata ($x+y=0$) ad esempio $P(2,3)$. In quale semipiano si trova? Se sostituisci i valori di x e y nell'equazione ottieni una identità:
$2 + 3 >=0$
Dunque il punto P appartiene al semipiano $2 + 3 >=0$ ed è quello che va diciamo la parte destra vista dall'alto della retta $x+y=0$
Questo fondamentalmente è un metodo, per una curva a curvatura zero come la retta. Per la circonferenza sai che è:
$x^2+y^2=1$ È una circonferenza di raggio 1 che ha centro nell'origine.
Anzichè dell'uguale metti un $>=$, otterai la equazione di tutti i punti del piano esterni o che giaciono sulla circonferenza. Se invece metti al posto dell'uguale un $<$ ottieni l'equazione dei punti interni alla circonferenza esclusi quelli del suo bordo. Ce nè davvero un'infinità di metodi, sia per parabole, iperboli e compagnia. Un metodo generale penso che sia questo, ma ogni curva ha le sue caratteristiche. Se poi non sai l'equazione della curva con questo metodo è un pò complicato.
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