Forme modulari
salve a tutti,
ho recentemente letto un libro sulla dimostrazione del famigerato Ultimo Teorema di Fermat, e, a parte la complicata(per me) matematica usata, ho capito che un passo decisivo è stato quando Wiles ha dimostrato una congettura (mi pare di taniyama-shimura), che pone in relazione le curve ellittiche e le forme modulari.
Il problema è che non ho affatto capito cosa siano queste ultime!!
Vi prego di non essere troppo "matematici" nel spiegarmelo, altrimenti sarei punto e a capo...
grazie
ho recentemente letto un libro sulla dimostrazione del famigerato Ultimo Teorema di Fermat, e, a parte la complicata(per me) matematica usata, ho capito che un passo decisivo è stato quando Wiles ha dimostrato una congettura (mi pare di taniyama-shimura), che pone in relazione le curve ellittiche e le forme modulari.
Il problema è che non ho affatto capito cosa siano queste ultime!!
Vi prego di non essere troppo "matematici" nel spiegarmelo, altrimenti sarei punto e a capo...
grazie
Risposte
grazie alessandro per l' ultima parte della spiegazione....ammetto che è un po' difficile, però ho finalemnte un' idea più chiara di cosa siano le forme modulari...magari in seguito lo capirò ancora meglio...
Presto cercherò un esempio di forma modulare di peso k. E' più difficile di quanto pensassi.
Alessandro
Alessandro
Forme modulari, parte 3 di 3
Scusate il ritardo, non ho trovato niente di più semplice di quanto segue.
Lo studio del dominio modulare e delle forme modulari, che abbiamo visto, ha avuto un'applicazione assolutamente inattesa.
In Meccanica Quantistica l'oggetto fondamentale di studio di un sistema fisico è la sua "matrice di diffusione" (scattering matrix).
Essa esprime l'evoluzione dinamica del sistema e alla base c'è l'esperimento delle due fenditure, soprattutto la sua formulazione secondo Feynman: un fotone che attraversa le fenditure percorre ogni possibile traiettoria nello spazio, ciascuna con la sua probabilità, e solo quelle che arrivano "veramente" al rilevatore posto dopo le fenditure sono le traiettorie che, in senso statistico, non si distruggono.
La casualità dell'esperimento delle due fenditure si mantiene, nella teoria quantistica, in OGNI sistema fisico: ad un livello elementare, ogni sistema fisico si evolve SECONDO QUALUNQUE DINAMICA ma accade che alcuni di questi cammini risultino distruttivi, dunque "non avvengano".
Tutto ciò è strettamente legato alla zeta di Riemann: nel 1972 Faddeev e Pavlov, due ricercatori russi, hanno studiato la matrice di diffusione "come se" fosse applicata ad un sistema fisico sul dominio modulare e hanno mostrato che i poli della matrice di diffusione corrispondevano ... AGLI ZERI DELLA FUNZIONE ZETA DI RIEMANN.
Ciò significa qualcosa di semplicemente sconvolgente, poichè non c'è nulla che, nel senso comune, sia meno "dinamico" dei numeri interi e proprio con questi numeri si costruiscono gli oggetti nel dominio modulare, comprese le forme modulari. Eppure si è trovato il modo di esprimere una sorta di "dinamica nel dominio modulare", dinamica che risulta dunque sostanzialmente legata ai numeri interi, e che viene espressa nel formalismo delle matrici di diffusione ed è legata alla funzione zeta di Riemann.
Alessandro
Scusate il ritardo, non ho trovato niente di più semplice di quanto segue.
Lo studio del dominio modulare e delle forme modulari, che abbiamo visto, ha avuto un'applicazione assolutamente inattesa.
In Meccanica Quantistica l'oggetto fondamentale di studio di un sistema fisico è la sua "matrice di diffusione" (scattering matrix).
Essa esprime l'evoluzione dinamica del sistema e alla base c'è l'esperimento delle due fenditure, soprattutto la sua formulazione secondo Feynman: un fotone che attraversa le fenditure percorre ogni possibile traiettoria nello spazio, ciascuna con la sua probabilità, e solo quelle che arrivano "veramente" al rilevatore posto dopo le fenditure sono le traiettorie che, in senso statistico, non si distruggono.
La casualità dell'esperimento delle due fenditure si mantiene, nella teoria quantistica, in OGNI sistema fisico: ad un livello elementare, ogni sistema fisico si evolve SECONDO QUALUNQUE DINAMICA ma accade che alcuni di questi cammini risultino distruttivi, dunque "non avvengano".
Tutto ciò è strettamente legato alla zeta di Riemann: nel 1972 Faddeev e Pavlov, due ricercatori russi, hanno studiato la matrice di diffusione "come se" fosse applicata ad un sistema fisico sul dominio modulare e hanno mostrato che i poli della matrice di diffusione corrispondevano ... AGLI ZERI DELLA FUNZIONE ZETA DI RIEMANN.
Ciò significa qualcosa di semplicemente sconvolgente, poichè non c'è nulla che, nel senso comune, sia meno "dinamico" dei numeri interi e proprio con questi numeri si costruiscono gli oggetti nel dominio modulare, comprese le forme modulari. Eppure si è trovato il modo di esprimere una sorta di "dinamica nel dominio modulare", dinamica che risulta dunque sostanzialmente legata ai numeri interi, e che viene espressa nel formalismo delle matrici di diffusione ed è legata alla funzione zeta di Riemann.
Alessandro
Per Alessandro
Un esempio di funzione che sia una forma modulare per SL2(z)di peso
k, sarebbe di grande aiuto per una migliore comprensione( almeno per me)
Grazie
Camillo
Un esempio di funzione che sia una forma modulare per SL2(z)di peso
k, sarebbe di grande aiuto per una migliore comprensione( almeno per me)
Grazie
Camillo
caspita, la seconda parte è nettamente più complicata della prima...comunque grazie, perchè adesso ho un idea di cosa sia una forma modulare;
adesso aspetto il gran finale[:)][:)][:)]
adesso aspetto il gran finale[:)][:)][:)]
Forme modulari, parte Seconda (di 3)
Scusate il ritardo, pronti per la full-immersion ?
La seguente spiegazione (piuttosto chiara) di cosa sono le forme modulari è contenuta nell'articolo "A motivated introduction to the Langlands Program", reperibile nella pagina web dell'autore Ram Murty:
http://www.mast.queensu.ca/~murty/index2.html
da cui, sostanzialmente, traduco.
Sia SL2(Z) l'intero gruppo modulare, cioè l'insieme delle matrici 2x2 del tipo ((a,b),(c,d)) con a,b,c,d numeri interi e ad-bc=1.
Sono quindi matrici ad elementi interi e determinante unitario.
Una funzione definita nel semipiano complesso y>0 (il semipiano descritto in dettaglio nella parte prima) è detta "forma modulare per SL2(Z) di peso k" se :
1) f calcolata nel numero complesso (az+b)/(cz+d) è uguale a f(z)*(cz+d)^k per ogni matrice ((a,b),(c,d)) appartenente a SL2(Z) (dove il simbolo di apice "^k" indica l'elevamento a potenza);
2) f è "olomorfa all'infinito", ovvero f diventa particolarmente regolare nei punti che tendono all'infinito del piano complesso (i numeri di modulo infinito ed angolo arbitrario).
Nella parte terza vedremo per quale motivo le funzioni modulari sono così importanti.
Alessandro
Scusate il ritardo, pronti per la full-immersion ?
La seguente spiegazione (piuttosto chiara) di cosa sono le forme modulari è contenuta nell'articolo "A motivated introduction to the Langlands Program", reperibile nella pagina web dell'autore Ram Murty:
http://www.mast.queensu.ca/~murty/index2.html
da cui, sostanzialmente, traduco.
Sia SL2(Z) l'intero gruppo modulare, cioè l'insieme delle matrici 2x2 del tipo ((a,b),(c,d)) con a,b,c,d numeri interi e ad-bc=1.
Sono quindi matrici ad elementi interi e determinante unitario.
Una funzione definita nel semipiano complesso y>0 (il semipiano descritto in dettaglio nella parte prima) è detta "forma modulare per SL2(Z) di peso k" se :
1) f calcolata nel numero complesso (az+b)/(cz+d) è uguale a f(z)*(cz+d)^k per ogni matrice ((a,b),(c,d)) appartenente a SL2(Z) (dove il simbolo di apice "^k" indica l'elevamento a potenza);
2) f è "olomorfa all'infinito", ovvero f diventa particolarmente regolare nei punti che tendono all'infinito del piano complesso (i numeri di modulo infinito ed angolo arbitrario).
Nella parte terza vedremo per quale motivo le funzioni modulari sono così importanti.
Alessandro
Caro lupo grigio, rileggo meglio il tuo messaggio e c'è un'altra cosa da precisare: la lunghezza della semicirconferenza NON E' la distanza.
Bisogna considerare l'elemento infinitesimo ds che, nel caso particolare di questa metrica, contiene un'espressione non lineare in dx e dy (direi ds^2=(dx^2+dy^2)/y^2, devo guardare) e produce una metrica iperbolica.
Ovvero: le semicirconferenze hanno LUNGHEZZA INFINITA in questa metrica.
Cercherò di precisare, a presto.
Alessandro
Bisogna considerare l'elemento infinitesimo ds che, nel caso particolare di questa metrica, contiene un'espressione non lineare in dx e dy (direi ds^2=(dx^2+dy^2)/y^2, devo guardare) e produce una metrica iperbolica.
Ovvero: le semicirconferenze hanno LUNGHEZZA INFINITA in questa metrica.
Cercherò di precisare, a presto.
Alessandro
Ciao lupo grigio, qui car049k1 !?!
Il caso x0=x1 corrisponde a due punti allineati verticalmente e la geodetica è la semiretta verticale.
Il motivo di ciò è abbastanza chiaro: prendi due punti con x0 diverso da x1 e prendi la semicirconferenza (cioè la geodetica) che passa per essi. Poi muovi, in modo grafico, uno dei due e portalo sulla retta verticale passante per l'altro: vedi che DAVVERO la semicirconferenza tende a diventare questa semiretta?
Correttamente, "la semiretta è un caso limite di semicirconferenza con un punto all'infinito" ... che dici, forse noi matematici siamo un po' da rinchiudere ???
Ciao
Alessandro
Il caso x0=x1 corrisponde a due punti allineati verticalmente e la geodetica è la semiretta verticale.
Il motivo di ciò è abbastanza chiaro: prendi due punti con x0 diverso da x1 e prendi la semicirconferenza (cioè la geodetica) che passa per essi. Poi muovi, in modo grafico, uno dei due e portalo sulla retta verticale passante per l'altro: vedi che DAVVERO la semicirconferenza tende a diventare questa semiretta?
Correttamente, "la semiretta è un caso limite di semicirconferenza con un punto all'infinito" ... che dici, forse noi matematici siamo un po' da rinchiudere ???
Ciao
Alessandro
Lupo Grigio, ricordati che devi aver fatto il
log-in al forum per poter modificare il messaggio.
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ops!... errata corrige!...
Dove ho scritto 'punti allineati' si deve intendere che è xo=x1... e non xo=yo...
scusate tanto!...
lupo grigio
P.S. Non riesco più a trovare la funzione che permetteva di 'editare' un messaggio... esiste ancora?...
Dove ho scritto 'punti allineati' si deve intendere che è xo=x1... e non xo=yo...
scusate tanto!...
lupo grigio
P.S. Non riesco più a trovare la funzione che permetteva di 'editare' un messaggio... esiste ancora?...
caro Alessandro [troppo complicato la nick 'in cifra' car049k1...]
se ho ben capito nello spazio metrico da te introdotto la 'distanza' fra due punti qualsiasi [di coordinate (xo,yo) e (x1,y1)...] è data dalla lunghezza dell'arco, compreso tra detti punti, della circonferenza passante per essi ed avente il centro sull'asse delle x. Nel caso particolare in cui i punti sono 'allineati' [ossia xo=yo...] tale distanza si riduce ad un segmnento di retta...
... è così?...
... e se è così perchè escludere i punti di ordinata y<=0?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
se ho ben capito nello spazio metrico da te introdotto la 'distanza' fra due punti qualsiasi [di coordinate (xo,yo) e (x1,y1)...] è data dalla lunghezza dell'arco, compreso tra detti punti, della circonferenza passante per essi ed avente il centro sull'asse delle x. Nel caso particolare in cui i punti sono 'allineati' [ossia xo=yo...] tale distanza si riduce ad un segmnento di retta...
... è così?...
... e se è così perchè escludere i punti di ordinata y<=0?...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Ciao Giovanni, effettivamente la metrica definita su uno spazio ha conseguenze sulle funzioni definite in tale spazio.
E' necessario introdurre elementi infinitesimi. Ogni metrica è definita da un elemento infinitesimo ds di lunghezza; in coordinate cartesiane, tale elemento è un'espressione nelle coordinate infinitesime dx e dy.
L'uso degli infinitesimi nel calcolo delle distanze è dovuto proprio a Riemann, che ne parla nella famosa memoria sui fondamenti della geometria. Si richiede soltanto che la funzione per calcolare ds sia definita positiva, proprietà evidente per qualunque distanza.
Ora, è dovuto alla genialità di Riemann aver intuito che, in termini puramente matematici, ogni funzione nelle dx e dy definita è una "possibile" distanza. Da qui è nato tutto lo studio delle forme differenziali, ovvero lo studio differenziale delle metriche diverse da quella euclidea.
Se poi dobbiamo considerare funzioni dal nostro spazio base ad un altro spazio, ogni metrica darà luogo a proprietà particolari, che si considerano di volta in volta.
Ciao.
Alessandro
E' necessario introdurre elementi infinitesimi. Ogni metrica è definita da un elemento infinitesimo ds di lunghezza; in coordinate cartesiane, tale elemento è un'espressione nelle coordinate infinitesime dx e dy.
L'uso degli infinitesimi nel calcolo delle distanze è dovuto proprio a Riemann, che ne parla nella famosa memoria sui fondamenti della geometria. Si richiede soltanto che la funzione per calcolare ds sia definita positiva, proprietà evidente per qualunque distanza.
Ora, è dovuto alla genialità di Riemann aver intuito che, in termini puramente matematici, ogni funzione nelle dx e dy definita è una "possibile" distanza. Da qui è nato tutto lo studio delle forme differenziali, ovvero lo studio differenziale delle metriche diverse da quella euclidea.
Se poi dobbiamo considerare funzioni dal nostro spazio base ad un altro spazio, ogni metrica darà luogo a proprietà particolari, che si considerano di volta in volta.
Ciao.
Alessandro
sembra una cosa molto astratta... =)
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
grazie per la prima parte, è stata molto chiara...spero siano così anche le altre [:)]...
E fin qui ci siamo, se non per un particolare, ossia tu hai definito la particolare metrica da adottare in quel semipiano complesso e senza bordo, (senza frontiera?), ma tale metrica intende misurare la distanza tra i punti di tale sempiano o tra funzionbi definite in quel semipiano? Insomma, dato che defininendo una metrica mi sembra implicito parlare di uno spazio vettoriale, quali sono i vettori di tale spazio? Sono punti o sono funzioni la definite?
quote:
Originally posted by jack
Grazie car049k1 (o posso chiamarti ALesssandro?), stai diventando la mia fonte primaria di rsposte...
Forme modulari, Parte Prima (di 3)
Dopo aver consultato alcuni libri, ritengo che un'esposizione sintetica delle forme modulari si possa dividere in tre parti, di cui questa è la prima.
Andiamo a conoscere il dominio fondamentale delle operazioni modulari.
Consideriamo il semipiano di numeri complessi formato dai numeri di parte immaginaria positiva. Se vediamo i numeri complessi come punti del piano (x;y) si tratta semplicemente del semipiano superiore y>0 "senza bordo" (cioè senza la retta orizzontale y=0).
Ora (è la cosa più scomoda) questo semipiano viene munito di una particolare metrica. Cos'è una metrica? E' una funzione che definisce la distanza tra i punti. In generale, una metrica è data se sono date le sue GEODETICHE, cioè le curve di distanza minima tra i punti, cioè i suoi "segmenti" (quindi le sue "rette").
Nella normale distanza, detta "euclidea", le geodetiche sono davvero i segmenti tra due punti.
Bene, il semipiano sopra descritto viene munito della metrica in cui sono geodetiche:
(1) le semi-circonferenze con origine sull'asse y=0 (notiamo che sono rette aperte, senza estremi, poichè l'asse è stata tolta) oppure
(2) le semirette verticali (anche queste sono senza estremi).
E' utile sottolineare che dati due punti qualunque del semipiano descritto, per essi passa UNA E UNA SOLA curva del tipo (1) se i due punti non sono allineati verticalmente e del tipo (2) se lo sono.
A presto la parte seconda, ciao.
Alessandro
quote:
Originally posted by jack
salve a tutti,
ho recentemente letto un libro sulla dimostrazione del famigerato Ultimo Teorema di Fermat, e, a parte la complicata(per me) matematica usata, ho capito che un passo decisivo è stato quando Wiles ha dimostrato una congettura (mi pare di taniyama-shimura), che pone in relazione le curve ellittiche e le forme modulari.
Il problema è che non ho affatto capito cosa siano queste ultime!!
Vi prego di non essere troppo "matematici" nel spiegarmelo, altrimenti sarei punto e a capo...
grazie
http://www.dm.unito.it/dottorato/dottor ... etti.html#
c'è questa tesi di laurea che non è male anche se è un pò tecnica.
Saluti
Mistral
Il problema non e' trovare un testo o un articolo sulle forme modulari (se andate in una biblioteca di un qualunque dipartimento di Matematica ne trovate a dozzine); il vero problema e' che sono scritti per specialisti. Io stesso, sebbene laureato, avrei problemi a leggerli. Purtroppo la Matematica e' diventata talmente vasta che per conoscere bene un suo settore anche piccolo occorrono anni e anni di studio.
Luca.
Luca.
p.s. ma come mai e' cosi' difficile documentarsi in rete su argomenti universitari?
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
Attendo anch'io con molto interesse informazioni da Alessandro sulle forme modulari; ho cercato di documentarmi direttamente, ma con scarso successo.
Camillo
Camillo
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo